2011高绵阳三诊数学理科答案

PAGE高三数学（理科）答案第3页（共4页）绵阳市高中2011级第三次诊断性考试数学（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBABDADDBBCA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．1514．15．216．①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分．……3分17．解（1）∵m·n=，………3分∴．注意到，∴，得．………6分（2）由c2=a2+b2－2abcos，得5=（a－b）2+ab，ab=1，………9分因此△ABC的面积．…12分18．解（1）设“一局比赛出现平局”为事件A，则，…4分所以，即一局比赛的结果不是平局的概率为．………6分（2）设“在一局比赛中甲进两球获胜”为事件B．因为可取0，1，2，3，…7分所以，，，．…9分分布列为0123PxExEFDGBAzy．…………12分19．解（1）证明∵面DGEF⊥面ABEG，且BE⊥GE，∴BE⊥面DGEF，得BE⊥FG．又∵GF2+EF2=（）2+（）2=4=EG2，∴∠EFG=90，有EF⊥FG．而BE∩EF=E，因此FG⊥平面BEF．4分（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，2，0），F（0，1，1），于是，=(1,－1,－1)，=(1,1,－1)，=(0,1,－1)．设相交两向量、的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则由n1⊥，得x1－y1－z1=0；由n1⊥，得x1+y1－z1=0．解得y1=0，x1=z1，因此令n1=（1，0，1）．事实上，由（1）知，平面BEF的一个法向量为n2=（0，1，1）．所以cos<n1,n2>=，两法向量所成的角为，FDGBEAH从而图2中二面角A－BF－FDGBEAH另法如图，补成直三棱柱，利用三垂线定理求出二面角H－BF－E的大小为，进而求得二面角A－BF－E的大小为．（3）连结BD、BG将多面体ADG－BFE分割成一个四棱锥B－EFDG和一个三棱锥D－ABG，则多面体的体积=VB－EFDG+VD－ABG．．………………12分另法补成直三棱柱或过F作ADG的平行截面FKM，则多面体的体积=V柱－VF－BEH=或=V柱+VF－BEMK=．20．解（1）由题意知，b2=a2－3，由得2a4－11a2+12=0，所以（a2－4）（2a2－3）=0，得a2=4或（舍去），因此椭圆C的方程为．………………4分（2）由得．所以4k2+1＞0，，得4k2+1＞m2．①………………6分设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0），则，，于是，，．设菱形一条对角线的方程为，则有x=－ky+1．将点M的坐标代入，得，所以．②………………9分将②代入①，得，所以9k2＞4k2+1，解得k∈．………………12分法2．直线l的方向向量为（1，k），则由菱形对角线互相垂直得，即，－3km=4k2+1，，代入①即得．法3设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0），则，，于是，两式相减可得，即x0+4ky0=0．①因为QD⊥AB，所以．②由①②可解得，，表明点M的轨迹为线段（）．当，k∈（，+∞）；当，k∈（－∞,）．综上，k的取值范围是k∈．21．解（1）∵，∴，结合，可得，，………………3分因此=，所以，即，n∈N*．………………6分（2），，，，………………9分=，∴．………………12分22．解（1）∵a＞0，，∴=，………………2分于是，，所以曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为，即（a－2）x－ay+1=0．………………4分（2）∵a＞0，eax＞0，∴只需讨论的符号．………………5分ⅰ）当a＞2时，＞0，这时f′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．ⅱ）当a=2时，f′（x）=2x2e2x≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．………………6分ⅲ）当0＜a＜2时，令f′（x）=0，解得，．当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：xf'（x）+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）在，为增函数，f（x）在为减函数．………………9分（3）当a∈（1，2）时，∈（0，1）．由（2）知f（x）在上是减函数，在上是增函数，故当x∈（0，1）时，，所以当x∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．当a∈（1，2）时，，设，则，