4.1.1数列的概念与简单表示法课件高二上学期数学人教A版选择性

4.1.1数列的概念与简单表示法第四章

数列2023/12/244.1数列的概念高二数学备课组引

入水星金星地球火星木星土星实际距离0.390.721.01.525.29.5···计算距离···情境：德国天文学家提丢斯(Titius,1729—1796)研究了一列数：3，6，12，24，48，96，192，···他由此得出太阳到行星平均距离的经验定律!注:表中数据的单位为天文单位,1个天文单位等于太阳到地球的距离.0，

天王星谷神星0.40.71.01.62.85.210.019.6如果你是天文学家，通过这列数，你有什么大胆的猜测？引

入像这样如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集(或正整数集的有限子集)上的一类离散函数.

对数列的研究源于现实生产、生活的需要.人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程.按照确定的顺序排列的一列数称为数列.引

入数列特殊的数列概念表示方法等差数列等比数列数学归纳法基本原理简单应用

本章我们将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列—等差数列和等比数列，探究他们的取值规律，建立他们的通项公式和前n项和公式，并应用他们解决问题.我们还将学习数学归纳法，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法.通项公式前n项和公式引

入

在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位:cm)依次排成一列数:

75,87,96,103,110,116,120,128,

138,145,153,158,160,162,163,165,168

①

问题1

它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？它们之间不能交换位置.所以，①是具有确定顺序的一列数.记王芳第i岁时的身高为hi，那么h1=75，h2=87，…，h17=168.hi中的

i

反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，引

入

2.在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:5,10,

20,40,80,96,

112,128,144,160,176,

192,

208,224,240②910111312141512456783同样它们之间也不能交换位置.所以，②也是具有确定顺序的一列数.问题2

它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？记第i天月亮可见部分的数为si，那么s1=5，s2=10，…，s15=240.si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，探究新知

③问题3

你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？它们之间不能交换位置.这也是具有确定顺序的一列数追问上述例子的共同特征是什么？一列数顺序探究新知

一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，1.数列的概念：数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，首项（第1项）第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第2项第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，第n项数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)

简记作{an}.

问题4{an}与an的意思一样吗？

注:

右下角标表示这一项在数列中的位置序号{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，….；an表示数列{an}中的第n项.探究新知(1)“1,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一个数列吗？与“1,3,2,4,5呢？

——数列的有序性(2)数列中的数可以重复吗？问题5数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，——可重复数列讲究：有序性、可重复性、确定性.（辨析数列的概念:）探究新知由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,···,n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an

，记为an=

f(n).

2.数列与函数的关系序号项探究新知2.数列与函数的关系序号项也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2),···,f(n),···就是数列{an}.另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么f(1)，f(2),···,f(n),···构成了一个数列{f(n)}.以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.记为an=

f(n).(n∈N*)

问题6数列作为一种特殊的函数，它与以前我们学过的函数有什么区别？探究新知问题7从函数角度看数列①，这个数列中的项的大小随序号如何变化？1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位:cm)依次排成一列数:

75,87,96,103,110,116,120,128,

138,145,153,158,160,162,163,165,168

①与函数类似，我们可以定义数列的单调性：探究新知递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.摆动数列:从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的

数列.

常数列：各项相等的数列.(1)按项的变化趋势分：(2)按项的个数分：有穷数列：个数有限的的数列无穷数列：个数无限的的数列对任意n∈N*，总有an+1>an(或an+1-an>0).对任意n∈N*，总有an+1<an(或an+1-an<0).课堂练习1．下列说法中，正确的是(

)A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C．数列的项可以相等D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列CC探究新知

与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.例如，数列①可以表示为下表.

它的图象如图所示.2.图象法1.列表法｛3.通项公式法数列的表示法：数列用图象表示时的特点——一群孤立的点探究新知

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项.

例如数列：1,4,9,16,

···的通项公式是

填空：(1)2，4，

，16，32，

，128，…，通项公式为________;问题8数列5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240有通项公式吗？为什么？探究新知

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项.

注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121.②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，…

③不是每一个数列都能写出它的通项公式.如：1，24，8，3，19课堂练习答案：√，×，√.1.判断正误.(1)数列1，1，1，…是无穷数列.()(2)所有的自然数构成的数列均为递增数列.()(3)有些数列没有通项公式.()答案：5.

答案：20.

例题讲解例1根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.课堂练习1.写出下列数列的前10项，并作出它们的图象:(1)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列;

(2)当自变量x依次取1,2,3,‧‧‧时，函数f(x)=2x+1的值构成的数列;课堂练习2.根据数列{an}的通项公式填表:n12‧‧‧5‧‧‧‧‧‧‧‧‧nan‧‧‧‧‧‧153‧‧‧273‧‧‧3(3+4n)21336912223.除数函数(divisorfunction)y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数,例如,d(1)=1,d(4)=3.写出数列d(1),

d(2)

,‧‧‧,d(n),‧‧‧的前10项.例题讲解例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式:探究新知常见数列通项公式求法：(1)常见数列：正整数列，奇数列，偶数列，平方数列等直接写通项公式；(2)分数列：观察分子、分母的特点后写通项公式；(3)指数数列：观察底数、指数的特点后写通项公式；(4)各项符号一正一负：探究新知常见数列通项公式：

课堂练习4.根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式:例题讲解例3如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项?如果是