有效地实施反思性教与学

PAGE1PAGE4有效地实施反思性教与学黄显忠【摘要】数学教学本身抽象性，数学活动的探究性、数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的学生不可能一次性地直接把握数学学习活动的本质，因此必须坚持实施反思性教与学，才能不断提高问题解决的有效性，优化数学思维能力。【关键词】反思性教与学、反思、建构、数学思维1．问题的提出《普通高中数学课程标准（实验）》指出，高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，人们在学习数学和应用数学解决问题时，不断地经历直观感觉、抽象概括、运算求解、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体表现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断。“反思”在当代认知心理学中属于原认知范畴，它是指对自身的思维过程、思维结果进行再认识和检验的过程。笔者设计了一份调查表，对其中50份问卷作了详细分析，发现目前数学教学中最薄弱的正是数学教学过程中的反思这一环节。因此，座位教师首先要有反思意识，改变传统教学观念，充分发挥学生的主体作用，有意识地引导学生进行反思，进一步为学生良好的个性品质的形成创造条件。2．概念界定反思性教与学是一种有效的教学方式，它的基本特征是探究性，即在考察学习活动中探究其中的问题和答案，重构自己的理解，激活个人的智慧，并在活动中所涉及的各个方面的求证作用下，产生超越已有信息之外的信息，从而帮助学生学会学习，使他们的学习活动成为一种有目标有策略的主动行为，不断提出问题发现有意义的新知识、新方法。3．实施途径：3．1反思解题思路，优化思维品质解题思路的形成是把从题目中捕捉的有关信息于从储存机构中提取的有关信息结合起来，进行加工、重组与再生的过程。对思路的形成过程的反思，就是在解题结束后回顾自己是如何对信息进行加工、重组与再生。下面是笔者在等比例数列概念课复习后布置的一例，先由学生思考、择差，但同学们经历组中后，50位同学中只有一位同学才能最终完成，课后，就请同学书写了一个解题思路的反思。案例1：设数列{an}前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）。设bn=an+1—2an，求证：{bn}是等比数列。解由Sn+1=4an+2可得Sn+2—Sn+1=4an+1—4an，即an+2—2an+1=2（an+1—2an），又已知bn=an+1—2an，∴bn+1=2bn，∵b1=3故{bn}是以3为首项、2为公比的等比数列。学生反思①开始我是这样想的，欲证{bn}是等比数列，须求bn。而bn=an+1—2an，又须求an。已知Sn+1=4an+2，故可利用an与Sn的关系求出an，进而依据等比数列的定义给出证明。但是由an=Sn—Sn-1得出an=4an-1—4an-2后，不知该怎样求出an（思维受阻）。这时，我想到求数列通项的另一种方法，即归纳—猜想—证明，由Sn+1=4an+2逐项求出a1=1，a2=5，a3=16，a4=44，…但an仍无法求出（思维再次受阻）。此时我又重申题意，发现题设bn=an+1—2an还没有充分利用，结合a1=1，a2=5，a3=16，a4=44，…可得出b1=3，b2=6，b3=12，…由此猜测bn=3•2n-1，但在用数学归纳法证明时，如何运用归纳假设又遇到了困难（思维又一次受阻）。看来，试图通过求出bn来证明{bn}是等比数列的途径行不通。能否不求bn呢?欲证{bn}是等比数列，须证bn+1/bn为非零常数，又已知bn=an+1—2an，即证(2an+2—an+1)/2an+1—an为非零常数，这里涉及数列{an}任意相邻三项an+2，an+1，an之间的关系，而由已知Sn+1=4an+2，再利用Sn+2—Sn+1=an+2，可得an+2，an+1，an之间的关系，这样就得到了题目的解答方案。②我在证明{bn}是等比数列的过程中，为什么不能迅速找到简捷的解题途径?后来，导致解题成功的主要原因是什么?一开始，由于受题设中两个比较复杂的关系式的影响，我没有意识到用等比数列定义去解决，而是一味地想求出an与bn，事实上，这是行不大通的。我的立意有偏差，采用了单一的分析思维，思维不合理，缺乏灵活性。从学生的反思是结合如下几个问题：一开始是怎么探索的？选择的是哪一条途径？走过哪些弯路？后来有没有作出调节？解题的关键在哪里？自己在探求思路的形成过程中有哪些成功与不足之处等等。坚持这样的反思，就可以总结出带有规律性的经验，其中有的是解题思想方法，有的是解题策略，有的是解题的元认知知识，还有的是非认知方面的知识，她们都是今后解题的行动指南。另外，这样的反思有利于自己思维监控能力的提高，更是一种学会学习能力的培养。3．2反思知识的交汇点，构建知识网络数学知识是解决数学问题的基础。探寻知识点间的联系是解题思维的重要出发点和解题思维活动过程的重要方面。反思解题所用的知识点，寻找知识之间的“交汇点”，理清知识点形成的“知识链”，能使学生加深对数学知识间的关系和联系理解，逐步从纵向和横向形成知识网络，扩充知识结构，形成一个条理化、有序化、网络化的有机体系，促使解题活动中的知识点产生“连锁反应”，优化思维能力。案例2：新教材第二册（上），P91序言：“用一个垂直于圆锥的轴的平面戴圆锥，得到的截面是一个圆。如果改变平面与圆锥曲线轴线的夹角，会得到椭圆、双曲线、抛物线等。”电脑演示，章头图、为了说明为什么是椭圆、双曲线、抛物线。我们先从简单的圆柱开始研究用一平面截一半径为1m圆柱：①当平面与底面平行时，截面边界为圆。②当平面与底面不平行时，截面边界是什么曲线？学生回答：椭圆。（此时，用动画演示。）师：为什么是椭圆呢？今天先取其中当平面与底面成角的情况来研究。求证：用一平面截一半径为1m圆柱，当平面与底面成角时，截面边界是椭圆要说明曲线为椭圆,可以用方程来说明。从平面与所成角变化的过程，曲线在底面上的射影仍为同一个圆。说明变化中有不变的情况。1）依据求曲线议程的方法，先应建立平面直角坐标系。请学生回答坐标系的建立。G1Q1Y1X1M12）在曲线上任取一点，分别过G1Q1Y1X1M1O1作，，应该寻找：O1Y，之间的关系YGOQMX点在曲线上移动时，点在底面上的射影MGOQMX也在⊙O上移动，我们可以先求得点M的方程。以AB为轴，中点为原点建立坐标，得M的方程应为……………①3）如何我们与坐标之间的关系？由学生探究发现：4）代入①可得：即：5）当底面与截面所成角为时，方程又为：即：AAAA1CDBB1 如何用数学的知识，解决呢？生：把几何体展开，画出曲线在平面上的曲线。AA1AAA1AA1BB1由学生试着画出曲线，可能出现如右情况：师：取特殊点如、来验证，事实上、即为中点在平面上又是什么样的曲线呢？由学生进行探究，CDCDPH接下去用数学方法来解决。要说明是一正弦曲线，应建立坐标系，以CD为大纲，C为原点建立坐标，由求曲线的方法，在曲线上取一点CDPHCDPHGO学生回答，易错：过作CD的垂线（几何体）是这条吗？应在原过与底面平行的一个圆周上，CH即为一段圆弧，如右图联第？与CH关系，应关系与角的关系？问为时，即等于即为正弦曲线部分探究：函数y=Asinωx中的A和ω与截面的倾斜角、半径有关？（由学生分组合作讨论）师生反思：对知识的““交汇点”的反思可遵循以下三个层次：概括知识点→寻找知识点间的联系点→认识知识的““交汇点”，逐步提高对知识的理解层次。层次一，本题所用知识点是轨迹方程的求法、正弦曲线、圆柱的侧面展开。层次二，通过对圆柱（无限高）面上的截面是椭圆探究，有助于学生理解圆锥曲线的形成。（通过布置长作业，有部分学生证明了圆锥截面的曲线）层次三，通过探讨圆柱面上的椭圆在圆柱侧面展开图中的形状，引导学生综合运用立几、三角、解几等知识分析问题，掌握把空间问题涉及到曲线问题解决的方法，培养学生空间想象能力、转化能力，渗透从特殊到一般、数形结合思想上述反思过程是对知识的“精加工”，以次产生的“顿悟”，能使学生加深对所用知识的理解，优化思维品质。3．3反思多题一解，感悟数学模型一个数学问题，从多个角度加以思考，这是思维的发散性；同样，多个数学问题从同一角度加以思考，这就是思维的收敛性。在遇到问题的开始阶段，由于解题尚处于探索阶段，因而常呈发散性，一旦通过分析比较，确立了解题方案，思维必定会趋于收敛。当一种思考方法在不同情境下多次奏效，就会起到积极的强化作用，此时，如果能及时引导学生对多题一解进行反思，从中感悟出数学模型，将有利于思维的培养。案例31）具有公共边的两个正方形ABCD与ABEF构成直二面角，求异面直线AE与BD所成的角2）三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，Q为底面ABC上的一点，直线PQ与侧面PAB、PBC所成的角分别为300、450，求PQ与侧面PAC所成的角3）在球面上有四点P、A、B、C，若PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4。PC=5，求这个球面的面积。4）三棱锥的三组对棱分别相等，且棱长依次为3、4、5，求此三棱锥的体积上述四题，虽然形式与内容不同，但利用“完形”思想构建长方体（正方体）的策略解题，很简洁。教与学反思：反思这一数学模型的构建，能强化学生的空间想象能力。在解决数学问题的过程中，如何选择思维的起点是关键。良好的思维起点是思维素质的重要组成部分，反思思维起点，是提高收敛思维能力的重要途径。4．引导学生学会反思：反思包括学生学的反思和教师教的反思，最终是为了学的反思。数学的学习并不总是“做”出来的，不管教师设计多么好的活动，“只有当学生通过自己的思考建立起自己的理解力时，才能真正学好数学”。新的数学观念形成后，学习者就会试图用新的观念去重新认识已经积累起来的解题技巧、方法和规律，把它纳入到刚刚建立起来的认知结构。这就是一个反思过程。反思学习是智能发展的高层次表现。反思通俗地说就是指完成一项任务后回顾一下自己的职能活动过程，想一想自己的发现过程、解题过程，有何经验、有何教训，即时总结最佳学习策略。“反思”是建构学说在教学实践中的主要体现，它是对主体建构活动的再建构，既二重建构，唯有反思，才能控制思维操作，才能促进理解，提高自己的元认知水平，从而促进数学观点的形成和