北大附属学校2022届高一实验班选拔考试(数学)篇二

北大附属学校2022届高一实验班选拔考试

数学

（考试时间：90分钟满分：100分）

友情提示：请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分.

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.小红从家中走了20分钟到一个离家900米的商店，在店里花了10分钟买文具后，用了15分

钟回到家里.下面图形中可以表示小红离家的距离y（米）与时间x（分）之间函数关系的是

2.若一组数据2,3,4,5,x的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等，则x的值为（）

A.1B.6C.5或6D.1或6

3.如图，在四边形A8C。中，ZB=135°,NC=12O°,

AB=娓,BC=2&-2,CD=4,则AD边的长为

()

A.2上B.4逐C.2>/2+^D.近+2也

4.当卜+1|+除一3|+|%-4|+上一7|取得最小值时，x的取值范围是（）

A.-l<x<3B.3<x<4C.4<x<7D.-4<^<-3

5.设王、4是二次方程Y+x—3=0的两根，则"一4后+19等于（）

A.-4B.8C.6D.0

6.三角形的三边a、b、c都是正整数，且满足ahc++ca++a+/?+c=35,则此三角形

的面积等于（）

A3"D3c3用rr

A.-------------D.-C.」一D.7

224

7.在平面直角坐标系中，已知点P（x”yJ和点。（9,以2），则尸、。两点间的距离d的计算公

式为△=/了+（y-必了.现有点42,-3），点8（4,—1）,且用、N分别为x轴、y

轴上的动点，则四边形的周长的最小值为（）

A.2vJ+23B.4^2C.25/2^+———D.2y/5

2

8.给出下列3个命题，其中正确的个数为（）

4

①在AA3C中，A3=AC=5,BC=8,则AA3C的内切圆半径为一；

3

②已知圆。的半径为5,圆。2的半径为8,圆。与圆。2相交于A、B两点，并且AB=8,

则圆。与圆。2的圆心距«。2=4+3；

③己知圆。的半径为5,点P在圆。内，且OP=3,则过点P的弦长x的取值范围是

8<x<10.

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

9.若四边形的一组对边中点的连线的长为d,另一组对边的长分别为a、b,则d与皇的大

小关系是.

10.如图，在平面直角坐标系xoy中，多边形。48CD跖的顶

点坐标分别是0（0,0）、4（0,6）、6（4,6）、。（4,4）、

0（8,2）、£（8,-2）、*4,0）.若直线/经过点/（2,3）,

且将多边形OABCDEF分割成面积相等的两部分，则直线/

的函数表达式是.

11.同时掷出五颗骰子后，向上的五个面上的点数的和是8的概率与向上的五个面的点数的和是

的概率相等，那么a=.

kx-4-S

12.若函数y=’—中自变量的取值范围是一切实数,则实数女的取值范围是_______.

厂+26+4

13.方程+1Ox+J/+5x+1=1的解为

14.如图，下面每个图形中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为.

E

EJEJ国jttj0

三、解答题（本大题共6小题，共52分）

15.（本小题6分）

1

计算：Q_（2+6严|5（G_2）2016_3tan30"+.

V3-v2

16.（本小题8分）如图，在放AA8C中，NC=90°,30是角平分线，点。在A3上，以点。

为圆心，08为半径的圆经过点。，并交BC于点E./一~

（1）求证：AC是圆。的切线；（

（2）若OB=5,CD=4,求5E的长.//

DC

17.（本小题8分）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天

内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的整数倍.发现每天的运营规律如下:

当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元,

27

租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费用是（1-x+l100）元.

（1）为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注:

净收入=租车收入-管理费）

（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

18.（本小题8分）如图，点6是长度为1的线段AE上任意一点，在AE的同一侧分别作正方

形A8CO和长方形BEFG.

（1）当EF=2BE时,

（i）求正方形ABC。的面积与长方形BEFG的面积和的最小值，并指出对应的6E的长;

（"）若点。和点6重合，M为A5中点，N为EF中点、,与8C交于点〃，将AOM4

沿直线AM/VE沿直线MN分别向矩形AEED内折叠，求四边形。未被两个折叠三

角形覆盖的图形面积；

（2）当所=BE,点8在线段4E上移动时，探究AAC户的面积5与正方形ABCD的面

积S2间的关系，请直接写出一个关于5、S2间的等量关系式（不必证明）.

DC

ABE

19.(本小题10分)对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都

满足则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这

个函数的边界值.例如，下图的函数是有界函数，其边界值是1.

(1)分别判断函数y=’(x>0)和y=x+l(—5<x«3)是不是有界函数？若是有界函数，

x

直接写出其边界值；

(2)若函数y=—2x+l(aWx《仇人>。)的边界值是3,且这个函数的最大值也是3,求力的

取值范围;

(3)将函数y=m20)的图像向下平移〃2个单位，得到的函数的边界值是

33

问当加在什么范围时，满足

42

20.(本小题12分)如图，抛物线y=~^x2+|x+2与x轴交于A点、3点，与y轴交于点C,

点。与点C关于x轴对称，点P(m,0)是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线/交抛物

线于点Q.

(1)求直线8。的解析式；

(2)当点P在线段OB上运动时，直线/交3。于点M,试探究加为何值时，四边形CQMD

是平行四边形；

(3)在点尸的运动过程中，是否存在点。，使

△80。是以8。为直角边的直角三角形？若存在，求

出所有的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

北大附属学校2022届高一实验班选拔考试

数学答题卷

一、选择题（每小题3分，共8题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号12345678

答案

二、填空题（每小题4分，共6小题）

9.；10.;11.

12.；13.;14.

三、解答题（共6小题，共52分）

15.（本小题6分）

17.（本小题8分）

19.（本小题10分）

20.（本小题12分）

北大附属学校2022届高一实验班选拔考试

数学参考答案

一、选择题（每小题3分，共8题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号12345678

答案BDDBDCAC

二、填空题(每小题4分，共6小题)

9.io.y=--x+4；11.27；12.-2<k<2;

22

13.xx=0,x2=-5；14.390.

三、解答题（共6小题，共52分）

15.（本小题6分）

解:(1)原式=-2_[(2+0)(2—6)]如5(2_百)_0+3+#+立

=-1+有+应（6分）

16.（本小题8分）

解:（1）证明：连接因为3。平分NA6C,

所以NOBD=NCBD,

因为点在圆。上，所以OB=OD,NODB=NOBD,

则"DB=4CBD,所以OD//BC,

则ZODA=NC=90°,所以OO_LAC,又点。在圆。上,

所以AC是圆。的切线；（4分）

(2)过点。作OFLBC于点F,则BR=£F,NOFC=90°,又NC=NODC=90。，

所以四边形8。尸是矩形，OF=CD=4,在RMOF中,BF=^OB1-OF-=3,

所以=b=6.(8分)

17.（本小题8分）

27

解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0<x<100,由50x-（巴x+1100）>0

148

解得x>24上，又x是5的整数倍，所以每辆车的日租金至少应为25元.（3分）

223

（2）设每天的净收入为y元，

223

当0<x<100时，y=子》一1100,y随x的增大而增大，

所以当x=100时，y有最大值为223x20—1100=3360；

当x>100时，

x-100271323

y=（z5cn0------）%-（—x+1100）=——x2H----x-1100,

5555

323

对称轴工=亨=161.5不是5的整数倍，所以当x=160时，y有最大值为4116；

因为4116>3360,

所以当每辆车的日租金为160元时，每天的净收入最多是4116元.（8分）

18.（本小题8分）

解：(1)设BE=x(0<x<l),则AB=l—x,M=2x,(1分)

(i)根据题意得：S=(1-X)2+2X2=3X2-2X+1,

112

当％=—，即8E=一时，S=-.(3分)

33min3

I?

(ii)当点C和点G重合时，BE=—，AB=AO=—,所以四边形未被两个折

33

21122

叠三角形覆盖的图形面积为一-4x-x-x-=-.(6分)

32339

(2)S,=-S.(8分)

22

19.(本小题10分)

解：(1)y=，(x＞0)不是有界函数；

x

y=x+l(—5＜x＜3)是有界函数，其边界值是4；(2分)

(2)函数y=-2x+l(a〈x〈dZ?>a),y随x的增大而减小，所以一2Z?+1Wy<-2。+1,

__1

—2。+1=3解得|“一—，所以一1＜人〈2.

依题意得4(5分)

-2/7+1>-3[b＜2

(3)由题意，函数平移后的表达式为y=Y一机(-14x4九根20)

当x=-1时，y-1—m；当x=0时，y=—m；当x=时，y=m2-m；

根据二次函数的对称性，当OW加＜1时，1一根2〃，一〃2：当，〃＞1时，1-〃?＜〃，-/〃；

13311

①当04机＜一时，1—mNm,t—1—m,因为一,所以——＜m＜—,

24224

故0W/〃4—；

4

13333

②当一＜加〈1时，1—加＜加，t—m,因为一W/W一,所以一W—,

24242

故一K/nWl；

4

333

③当1〈加＜2时，t-m,因为一K/K—,所以1＜加4—；

一422

33

④当机22时，t=ne-m＞2,所以不存在满足巳＜tW工的加值.

42

13333

综上所述，当0＜加＜—或二＜相＜三时，满足己＜r＜二.(io分)

44242

20.(本小题12分)

解：依题意得A(-1,0),5(4,0),C(0,2),

(1)因为点。与点C关于x轴对称，所以。(0,-2),

设直线5。为丁=辰—2,将8(4,0)代入得％=g

所以直线8。的解析式为y=2；(3分)