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文档简介

2016考研线性代数线性方程组二根据以往考研在考试中会在本部分出一道大题，题型经常是和相似矩阵和二次型相结合的综合性大题。本章知识点很整合系统，所以复习的时候比较容易。但是，对于综合型题目，尤其是线性方程组的抽象题目，还是有一点难度的，下面文都教育数学老师总结的一些重要结论，希望对大家有所帮助。重要结论：1、若，则的列向量组为方程组的解，且2、若与同解，则。3、与的公共解即为的解。4、当A列满秩时,A在矩阵乘法中有左消去律:AB=0B=0；AB=ACB=C.5、推论2如果A列满秩,则r(AB)=r(B).6、设AX=有n个未知数,则它的基础解系中包含解的个数(即解集的秩)=n-r(A).7、如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)n.题型：有基础解系的证明例：已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩；（Ⅱ）求的值及方程组的通解.【分析】（=1\*ROMANI）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（=2\*ROMANII）利用初等变换求矩阵的秩确定参数，然后解方程组.（=1\*ROMANI）设是方程组的3个线性无关的解，其中.则有.则是对应齐次线性方程组的解，且线性无关.（否则，易推出线性相关，矛盾）.所以，即.又矩阵中有一个2阶子式，所以.因此.（=2\*ROMANII）因为.又，则.对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，，故原方程组与下面的方程组同解..选为自由变量，则.故所求通解为，为任意常数.题型：综合题设元线性方程组，其中，，．（I）证明行列式；（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求．（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I）【证法1】数学归纳法．记以下用数学归纳法证明．当时，，结论成立．当时，，结论成立．假设结论对小于的情况成立．将按第一行展开得：故．【注】本题（1）也可用递推法．由得，．于是（I）【证法2】消元法．记．（II）【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为所以，．（III）【详解】当时，方程组为此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为，其中为任意常数．以上是本章的主要知识点的总结，重

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