2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析戴又发一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上．下列反常积分收敛的是（）（A）（B）（C）（D）【解析】．故选D．（2）函数在内（）（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点（D）有无穷间断点【解析】，当时，由，，得，故函数在内有可去间断点，故选B．（3）设函数，若在处连续，则（）（A）（B）（C）（D）【解析】显然时，当时，由，在处连续，有，所以，故选A．（4）设函数在内连续，其2阶导数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】若函数的2阶导数存在，那么使函数2的阶导数为零，且三阶导数不为零的点是函数的拐点，当2阶导数不存在时，只要在某点处的2阶导数改变符号，该点就是拐点，显然的拐点个数为2，故选C．（5）设函数满足，则与依次是（）（A），0（B）0，（C），0（D）0，【解析】记，得，于是，所以，；，，故选Ｄ．（6）设是第一象限中的曲线与直线围成的平面区域，函数在上连续，则（）（A）（B）（C）（D）【解析】记，区域可表示为，，，，于是，故选Ｂ．(7)设矩阵A=，，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为（）（A）（B）（C）（D）【解析】由方程组有无穷多解，得，而当时，，当时，，所以或．当时，，所以或．故选Ｄ．（8）设二次型在正交变换下的标准型为，其中，若，则在正交变换下的标准型为（）（A）（B）（C）（D）【解析】设二次型对应的矩阵为，由经正交变换化为标准型，得，其中，又因为，于是有，所以在正交变换下的标准型为．故选Ａ．二、填空题：9~14每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．（9）设，则．【解析】，，，．所以48．（10）函数在处的阶导数为.【解析】因为，；，；，；，；．（11）设函数连续，由方程，若，则．【解析】由，得，又，，所以．（12）设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则．【解析】由，得，于是微分方程的特解为，由，，得，所以．(13)若函数由方程确定，则．【解析】由，方程两边对求导，，代入得；方程两边对求导，，代入得；所以．(14)设三阶矩阵的特征值为，,其中为3阶单位矩阵，则行列式．【解析】由矩阵的特征值为，且,可知矩阵的特征值为，所以．三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明﹑证明过程或算步骤．（15）（本题满分10分）设函数，若与在是等价无穷小，求限的值．【解析】．因为与在是等价无穷小，所以，即．（本题满分10分）设，是由曲线段及直线所围成的平面区域，分别表示绕轴和轴旋转所成旋转体的体积，若，求的值．【解析】由表示绕轴旋转所成旋转体的体积，得，由表示绕轴旋转所成旋转体的体积，得，因为，即，，，，．（17）（本题满分10分）已知函数满足，，，求的极值．【解析】由，得，，又由，得，所以．．又因为，即，．所以．令，，得，所以的极值为．（18）（本题满分10分）计算二重积分，其中．【解析】∵区域关于轴对称，于是，所以，令，，所以．（19）（本题满分10分）已知函数，求的零点的个数．【解析】由，．令得唯一驻点，当时，；当时，，所以有极小值．因为．当，有，当时，，当时，，所以的零点的个数为２．（20）（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比．现将一初始温度为120℃，物体在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30℃，若要将物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？，【解析】设物体在时刻的温度为，有题意有，解此微分方程，得，又由，所以由，所以所以，令，得，所以还需冷却30min．（本题满分11分）已知函数在区间上具有2阶导数，，设，曲线在点处的切线与轴的交点是．证明：．【解析】曲线在点处的切线方程为，令，得切线与轴的交点是，即．由，得，所以；下面证明，令，则由，得时，，所以即，所以．（22）（本题满分11分）设矩阵，且．（1）求的值；（2）若矩阵满足，其中为单位阵，求．【解析】（1）因为由，得．(