论勾股数 Microsoft Word 文档

PAGEPAGE7 勾股数列，论勾股数单位：四川省达县黄庭学校教师：罗昱森完成时间：2010年5月勾股数列，论勾股数(罗昱森四川省达县黄庭学校635014)摘要:根据无穷勾股数列前两项的存在与否,得出该数列的存在与否,论述在的条件下,满足取确定奇数的最简勾股数组的无穷性或不存在性.关键词:数列,,无穷,不存在,特征方程,不等式=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③同时有解或无解,代数环境.我们要研究一种特殊形式的二次不定方程，在我国古代数学书《周髀算经》中,已经栽有“句广三，股修四，径偶五”（即勾三，股四，弦五的原始提法）这个三边是整数的直角三角形，因此已经找到了不定方程：（=1\*ROMANI）的一组解：（3，4，5.），刘徽九章注（263）年中又栽有：，，，，由此可知在我国古代已经找到（=1\*ROMANI）式的很多组解.在古希腊，毕达哥拉斯也找到了（=1\*ROMANI）式的很多组整数解.因此,西方称这些解为毕达哥拉斯三元组.今天,借住前人的研究成果,由我和大家继续讨论(1)式的解的规律性,论述其解所具有的性质.当然,勾股数组自然是无穷的,一组勾股数给出后,总可以将其同时乘上一整数而得到另一组勾股数,所以我们只需要找最简勾股数,即互素的勾股数组.引理:不定方程(1)的适合条件的一切正整数解可以用下列公式表出: ,一奇一偶.此引理的证明过程比较简单,在此我就不给出了.看下面的问题:问题一:求一组勾股数,除上面所列的(3,4,5)和(20,21,29)外,使得.问题二:求一组最简勾股数,使.……………..像这样,在满足一奇一偶的条件下,我们可以任意规定的间距,这些问题是否有解,有多少解,应该如何解,为什么?当然,的位置可以交换,问题一就是找适合条件的植,仔细观察,绝对值中所处的代数环境很相似,我们分别把它当作的一元二次方程来解,解的形式和判别式的形式完全一样,所以我就大胆地猜想:一个数如果可以充当满足的条件的值,那它就也有可能充当满足条件的,这样就可能会又有一个新的值支持该值满足条件,照这样继续下去,就得到一个奇偶相间的无穷递增数列,问题一中支持(3,4,5)的,支持(20,21,29)的,果然如此,数字2既可充当,又可充当,可能还有一个大于5的偶数支持5满足条件,有吗?它又是多少呢?是否有规律可循呢?假设无穷数列满足条件,当时,有：(=2\*ROMANII)则必为与的线性组合.我们设,代入(=2\*ROMANII)式,整理后得到:则有关于的方程组:数列{}奇偶相间,所以,有唯一整数解:可见,有且只有一递推公式:按照公式可推得支持的数列为{125122970169…….},将5和12代入公式,得到(119,120.169),经检验有,其实检验都是多余的,因为此结果是由严密的代数运算得出的.可见,满足的孪生勾股数组是无穷的.现在就有一个新问题产生了:像这样支持的数列有多少呢?因为此数列的递推公式为,所以数列的前两项有着特殊的大小关系,即:,我们可以利用此关系来证明很多结论,现在利用该关系证明数列{12512…}的完备性:反证法::假设另有一组数列第一项为,第二项为满足条件,则有0<a<b<2a或b>3a,（1）解关于b的一元二次方程,得到无正整数解.（2）也没有整数解.所以,假设不能成立.即：只有唯一数列满足条件现在看的情况,同样的方法有,都无满足条件的值,所以,不存在相隔整数3的最简勾股数组,即问题二无解.容易证明支持的数列也不存在,用同样的方法研究取其它奇数的情形,支持它的数列有两组或者不存在,为什么有两组呢?其实,一奇数确定,如果已经得到一组支持它的数列,我们总可以按照递推公式倒推,便得到另一组正负相间且奇偶相间的数列,取其绝对值重新由小到大排列,便得到另外一组与原数列效果相同的数列,这两组数列的前两项就是该奇数所对应的（1）或（2）的解.现又求得两组支持的数列{14922…}和{23819…},因数列{12512……}倒推所得数列与它自身相同,所以支持的数列只有一组,利用该数列把前十二组等式列出：…………看上去似乎有些神奇,容易看出:其勾股数发散速度甚快,这就使得我们在目前计算机的计算能力之下,也不能得到很多组解,但并不能因此否定勾股数解的无穷性,利用特征方程的根为,取数列第一项和第二项,求得数列{12512…….}的通项公式为::,我们就把前两项互素,一奇一偶,且特征根为,的数列命名为勾股数列.当然，数列发散甚快，但是收敛的。现计算一下其收敛值：令：，.则:.前面已经证明:3和5都没有与之对应的勾股数列,其他奇数又怎样呢?我已经说过,勾股数列的前两项有特殊意义,我们可以利用它证明很多结论,今利用它得出100以内有解的奇数表,如下:数列一数列二1{1,2,5,12…}7{2,3,8,19…}{1,4,9.22…}17{2,7,16,39…}{3,4,11,25…}23{1,6,13,32…}{4,7,18,43…}31{3,10,23,56…}{4,5,14,33…}41{2,9,20,49…}{5,8,2150…}47{1,8,17,42…}{6,11,28,67…}49{4,13,30,73…}{5,6,17,40…}71{5,16,37,90…}{6,7,20,47…}73{2,11,24,59…}{7,12,31,74…}79{1,19,39,97…}{8,15,38,91…}89{4.15,34,83…}{7,10,27,64…}97{6,19,44,107…}{7,8,23,55…}（表一）根据这张表也不能得出什么结论,因为我们只讨论了100以下的情况,也看不出其存在的规律性,但有一点,有解的奇数并不多.，用二次同余理论得出有解胡奇数和8的整数倍数相邻,.即:. 我仔细观察了上表,在100以下,有解的奇数除1,和49外,其它的都是素数,而49也只有一个非平凡因数7,当然,1很特殊,只有自己一个因数.有解的奇数分布还具有什么性质呢?还有一些问题没有解决.现在利用上表中每组数列的前两项，把其对应的勾股等式列出：等式一等式二71723314147497173798997（表二）下面再利用表中的数列把相隔7的前十个勾股等式列出：………此勾股数发散速度比前一组慢，因为支持它的数列有两组。结论:(1)在的条件下,满足取确定奇数的最简勾股数组具有无穷性或不存在性.(2)取一确定不为1的奇数,且,下列三不等式:=1\*GB3①=2\*GB