【三模】数学高考测试卷附答案解析

高考模拟测试数学试题

时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.定义：若复数z与z'满足ZZ=1，则称这两个复数互为倒数.已知复数z=-2i（4-i）,则该复数的倒数

为（）

12.12.12.12.

A.----d----1B.--------1C.---1---1D.-------1

3417341734173417

已知集合A=｛x|y==log(x+l)},2+x

2.2B=-X——-<0L则AC8=()

A.{0,1,2}B.(-1,3)C.(2,3)D.{0,2,3}

717C1

3.在区间一二，工上随机地取一个数工，则事件“cosxN—”发生的概率为（）

222

1112

BC

A.6-3-2-D.3-

—x+l,x<0

4.设〃力=♦2Tx>0,〃I*。'，-log075,则()

A./(a)>/(/?)>/(c)B./(/?)>/(«)>/(c)

C./(c)>/(a)>/(/?)D./(c)>/(/?)>/(a)

5.已知等比数列｛a〃｝,满足log2a3+log2aio=l,且。3。“18aH=16,则数列｛〃〃｝的公比为（）

A.4B.2C.±2D.+4

6.设a、尸为两个不重合的平面，能使成立的是

A.a内有无数条直线与“平行B.a内有两条相交直线与P平行

C.a内有无数个点到夕的距离相等D.a、£垂直于同一平面

x2y2

7.双曲线=13〉0/>0）一条渐近线方程为y=2x,过右焦点尸作x轴的垂线，与双曲线

a~

在第一象限的交点为A,若△Q4E的面积是2君（。为原点），则双曲线E的实轴长是（）

A.4B.2x/2C.1D.2

8.已知函数“X）的图象关于原点对称，且满足/（x+l）+/（3—力=0,且当xe（2,4）时,

/(x)=-log,(x-l)+/n(若/(2021)-1则加=()

22

4343

A.-B.-C.---D.---

3434

9.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比〃?=避二1的近似值，黄

2

金分割比还可以表示成2sin18°，则竺!.

2cos227。-1

A.4B.75+1C.2D.V5-1

2。

10.已知是双曲线二-4=l(a>0/>0)的左、右焦点，若点F,关于双曲线渐近线的对称点A满足

arb~

/耳4。=/4。£(。为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为()

A.y=±2xB.y=±\/3xC.y=±5/2xD.y=^x

11.正三棱锥P—ABC底面边长为2,M为AB的中点，且PMLPC,则三棱锥P-ABC外接球的体积为()

A32万/-80%

A.---B.67rC.兀D.——-——

12.已知/(%)=2S皿5+9)(。>0,。<"<》)同时满足以下条件：①当|/(石)一)(々J=4时，1%一百

最小值为②/信+目=/停7)；若/(x)=a在［0,汨有2个不同实根如n,且|加一心?，则实数

«取值范围为()

A.［-73,731B.［0,1)C.(1,百］D.［-1,1)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设平面向量:=(1,2),b=(-2,y),若打人则4+33=.

14.已知数据王,工2,…,马的标准差为5，则数据3%+1,3々+1,…,3与+1的标准差为.

，22

15.已知圆C的方程为(x—l)-+y2=i,2是椭圆r］+v胃_=1上一点，过点尸作圆C的两条切线，切点分

别为A和B,则PAPB的最小值是

,、\-x+6,x<2、

16.若函数/(x)=(a>0且a/1)的值域是［r4,T8),则实数a的取值范围是

DIlUgq人,al乙

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题到21题为必考

题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分

17.已知锐角AABC,同时满足下列四个条件中的三个：

JI1

①A=—②a=13③c=15④sinC=—

33

(1)请指出这三个条件，并说明理由；

(2)求AAHC的面积.

18.如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABC。正方形，PC=2AB=4,PA1AB，且必与8c所

成角60°.

(1)求证：PDJ_平面ABCD；

⑵若M,N分别是E4,PC的中点，求三棱锥5—CMN的体积.

19.某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表:

项目A投资金额x(百万元)12345

所获利润y(百万元)0.30.30.50.91

(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系；

(2)该公司计划用7百万元对A,8两个项目进行投资.若公司对项目8投资x(lWxW6)百万元所获得的利

049

润y近似满足：y=0.16x-——+0.49,求A,B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？

x+1

附：对于一组数据(%,缶),(七,必)，一・，(乙，丫,),其回归直线方程亍=良+6的斜率和截距的最小二乘法估

Yxji-nxy

计公式分别为：3=号......-,a=y-bx.

^x2-nx

i=\'

20.已知函数/(x)=a(x+2)"—(x+3)2(aeA,e为自然对数的底数)

(1)若/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为3x+y+7=0,求a的值；

⑵讨论.f(x)的单调性.

22

21.已知椭圆。：・+%=1(。>8>0)的左、右焦点分别为耳和鸟，过焦点弱且垂直于X轴的直线与椭

圆c相交所得的弦长为1,椭圆c的离心率为且.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，若直线RP和F2P与直线>=3分别交于G和，两点，设直线耳尸

和F2P的斜率分别为仁和k2,若线段GH的长度小于106，求匕•内的最大值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.

选修4一4：坐标系与参数方程

x-2cos(p

22.已知椭圆.(。是参数)，A和8是C上的动点，且满足Q4_L05(。是坐标原点)，以。

y=sin。

为极点、以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为［-4,。).

(1)求线段AO中点M的轨迹E的普通方程;

11

(2)利用椭圆C极坐标方程证明二#+为定值，并求AAQ?面积的最大值.

选修4一5：不等式选讲

23.设函数/(x)=|2x+l|_|x_4|.

⑴解不等式/(x)>0；

⑵若〃力+3,一4|>W一2|对一切实数了均成立，求实数机的取值范围.

答案与解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.定义：若复数z与z'满足ZZ=1，则称这两个复数互为倒数.已知复数z=-2i（4-j）,则该复数的倒数

为（）

12.12.12.12.

A.----1---iB.--------iC.---1---iD.------i

3417341734173417

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的乘法化简复数z,再利用复数的除法可求得结果.

【详解】•••z=-2i（4—i）=-2-8i,所以,2=百法二可顽二鲂=一五十万',

故选：A.

2.已知集合4=卜卜=log2（x+l）},3=Wo},则4口5=（）

A.（0,1,2}B.（-1,3）C.（2,3）D.{0,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】由对数函数定义域和分式不等式的求解可分别求得集合A8,由交集定义可得结果.

【详兑军】•.,A={HA;+1>0}=（—L+00），8=卜"一°>=［一2,3）,Ap）B=（-l,3）.

故选：B.

71711

3.在区间一二，工上随机地取一个数工，则事件“cosxN—”发生的概率为（）

222

112

C1

A.6-B.-32-D.3-

71711

【分析】根据余弦函数的图象与性质求出区间上满足“C0SX2—”的X的取值范围，再利用几何

222

概型求对应的概率值.

【详解】由题可得：cosxN；在区间一夕三上满足的范围为：［-?,?］再根据几何概型的概率公式得:

7171

7+7..2>

兀3

故选：D.

iJIJi

【点睛】关键点睛：本题考查了几何概型的概率计算问题，正确求解COSXN一在区间一二,不上满足的范

2L22」

围是解题关键.

4.设,八，a=O.7-05.^=logo.50-7-c=log075,则()

-x-l,x>0

A./(。)>/(》)>/(c)B./(/?)>/(«)>/(c)

C./(c)>/(«)>/(/?)D./(c)>/(/?)>/(«)

【答案】D

【解析】

【分析】画出分段函数的图像得到分段函数的单调性，再由对数的性质比较a*,c的大小，然后利用单调性

得到答案.

/、I-x+l,x<0

【详解】函数“力=2,八的图像如图，

［-X-l,x>0

又。=0.7">0.7°=1，

0<b=log050.7<log050.5=1,log075<0,

故选：D

【点睛】本题考查了分段函数的单调性、利用单调性比较函数值的大小、对数函数的性质，属于基础题.

5.已知等比数列｛3｝,满足log2a3+log2Go=1,且a3aM8ali=16,则数列｛④｝的公比为（）

A.4B.2C.+2D.±4

【答案】B

【解析】

【分析】

将已知条件转化为首项和公比的方程组，解方程组即可得到公比夕.

【详解】解：依题意，log2%+log2a|o=log2（a3Mo）=，%=q~2CZ）,

又a3a6gqi=q~=16（2）,

联立①②得夕2=4,

又logzq+logz%）=1有意义，所以。3>0，4o>O，

所以即4>（）,

%

所以4=2,

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力,

属于中档题.

6.设a、夕为两个不重合的平面，能使频成立的是

A.a内有无数条直线与“平行B.a内有两条相交直线与/?平行

C.a内有无数个点到£的距离相等D.a、/?垂直于同一平面

【答案】B

【解析】

【分析】应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确

【详解】应用立方体，如下图所示：

选项4a内有无数条直线可平行于/,即有无数条直线与£平行，但如上图a与夕可相交于/,故A不一定

能使成立；

选项8：由面面平行的判定，可知8正确

选项C：在a内有一条直线平行于/,则在a内有无数个点到夕的距离相等，但如上图a与夕可相交于/,

故C不一定能使a//p成立；

选项如图a_Ly,pLy,但a与£可相交于/,故。不一定能使成立；

故选：B

【点睛】本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题

22

7.双曲线E:鼻一2r=1（。〉0,。＞0）的一条渐近线方程为y=2x,过右焦点尸作x轴的垂线，与双曲线

a~b~

在第一象限的交点为A,若△Q4E的面积是2君（。为原点），则双曲线E的实轴长是（）

A.4B.C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】通过双曲线的渐近线方程求出离心率，结合三角形的面积转化求解。，即可得到结果.

【详解】解：因为双曲线E的一条渐近线方程为y=2x,所以2=2,e=£=1+4=逐，

aa\a1

由AOAE的面积是2石，即L匹=26,

2a

所以从=4，b=2,所以a=l,

双曲线的实轴长为2,

故选：D.

【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了

学生综合分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

8.已知函数〃x）的图象关于原点对称，且满足/（%+1）+/（3一力=0,且当xe（2,4）时,

/(x)=-log,(x-l)+/n(若/(2021)-1则加=()

22

4343

A.-B.-C.---D.---

3434

【答案】C

【解析】

【分析】由/(x+l)+/(3—x)=0和奇函数推出周期，根据周期和奇函数推出/(l)=g,根据解析式求出

/(1)=-1-/77,由—1—m=^解得结果即可.

【详解】因为函数/(X)的图象关于原点对称，所以为奇函数，

因为〃x+l)=_/(3_x)=/(x_3),

故函数的周期为4,则“2021)="1)；

而/(-1)=-/(1)，所以由,⑵；1=/(-I)可得/(1)=1；

而/⑴=—/(3)=log|(3—1)—，〃=!，

23

4

解得=一一.

m3

故选：C.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的周期性，属于基础题.

9,数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比加=避二1的近似值，黄

2

金分割比还可以表示成2sin18°，则免.

2cos2270-1

A.4B.亚+1C.2D.亚一1

【答案】C

【解析】

【分析】

把加=2sinl8°代入局4一疗中，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值.

2cos2270-1

【详解】解：由题可知2sin18°=，"=~~-

2

所以〃/-4sin180-

则心/4-〃，_2sinl8°,4-4sin218°

、2cos*227°-1-2cos2270-1

2sinl8°«2cosl8°

cos54°

_2sin36。

cos54°

=2.

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是

基础题.

22

10.已知耳，鸟是双曲线5-与=1（a>0力>0）的左、右焦点，若点工关于双曲线渐近线的对称点A满足

a-b~

/6AO=NAO6（0为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±2xB.y—+y/3xC.y=+>j2xD.y=±x

【答案】B

【解析】

［分析］先利用对称得AF21OM,根据/可4。=NAO£可得AFt=c,由几何性质可得ZAF{O=60,

即ZMOF2=60,从而解得渐近线方程.

【详解】如图所示：

25

由对称性可得：M为AF2的中点，且AF21OM,

所以耳A_LA6,

因为N£AO=NAOG，所以A£=£O=c,

故而由几何性质可得ZAF.O=60,即NMOF]=60,

故渐近线方程为y=±®x,

故选B.

【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出NM。8=60。是解

题的关键，属于中档题.

11.正三棱锥产一ABC底面边长为2,M为AB的中点，且则三棱锥P—A8C外接球的体积为（）

A32万,/y8也乃

A.---BR.67rCr.767rDn.——-——

【答案】c

【解析】

【分析】首先根据PM_LPC求得三棱锥的侧棱长为血，再找到外接球球心的位置，最后利用勾股定理求

解即可.

由图，设PA=PB-PC=x，则PM-yjx2-1，而CM=V3，

因为所以由勾股定理得PAr+PC?=加。2即尤2_]+了2=3解得了=0,

由对称性可知：三棱锥尸一ABC外接球的球心在三棱锥P-ABC的高P。上，

假设为。点，则OP=OC=R,因为~0=噂=逅，

63

所以。。=逝_R,

3

又由于点。是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，

所以3衿=苧,

三角形ooc中，由勾股定理得cr>2+℃>2=。。2,

2

即E=片，

解得R=®

2

所以三棱锥P—ABC外接球的体积为R.

故选：C

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的

位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中

心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于

球的直径.

12.已知/(x)=2sin(69x+o)(3>0,0<o<7r)同时满足以下条件：①当=4时，|西一马|

最小值为]；②喑+@=喑-0；若/(x)=a在[0,旭有2个不同实根如n,且|加-〃则实数

。的取值范围为()

A.[-73,73]B.[0,1)C.(1,731D.[-1,1)

【答案】D

【解析】

57r5万C5万

【分析】根据条件结合正弦函数的图象和性质先求出/(X)的解析式，设，=2乂+半£---,24H----,

66

5万八5万5%C54，，y

则转化为2sinE=。在—,2万十—上有2个不同实根不匕，作出y=2sin，在万+二的图

66o6

象，由正弦函数的图像性质可得答案.

【详解】函数J'(x)=2sin(a)x+°),/(x)的最大值为2,最小值为-2.

当|/(内)一/(工2)|=4时，则/(x)分别在x„x2取得最大值和最小值.

所以|内-引的最小值为一x——=一,：.(o=2,函数/(x)=2sin(2x+0).

2co2

由>x)=/(枭X)，则“X)的图象关于直线x=2对称，

JIJI兀

故有2x—卜(p=卜兀—,B|J(p—kit—,keZ、

326

由0<0〈]，则夕=V，函数/(x)=2sin(2x+齐).

/(1)=〃在［0,司有2个不同实根m,n且|

9।3

设£=2x+葛G5万小5万57r57r

—,2万十—则2sinf=。在-—,2^+--有2个不同实根％,力

6666

577,1TT7T/TT

则％=2m+—j2=2H+—,由"九一九|之§,贝ij1]—r2|>-^-

57r57r

作出y=2sinf在rw—,2^+—的图象，如图.

66

-.5%

2sin—2sin[2^+^

6

2sin卫C.11乃，r11%7不In

2sin-----=-1,且------

666~6

所以当—lWa<l时，直线y=。与y=2sinr的图象有两个交点

2万

即方程2sin/=a有两个不等实根八心，且，一寸之-二.

所以当—lWa<l时，〃x)=2sin(2x+朗)=a有两个不等实根加，n,且帆_〃上(

所以一

故选：D.

【点睛】思路点睛：该题考查的是有关三角函数的问题，解题思路如下:

(1)由条件①确定。的值;

(2)由条件②和确定出函数图象的一条对称轴，结合条件0<求得。的值;

5万5万-5乃一5乃八5万一

(3)得到函数的解析式之后利用换元法设t=2x+—e——，2万十——则2sin，=a在—,2^+—有

66666

2个不同实根乙小，利用y=2sin,的图像性质求得参数。的取值范围.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设平面向量。=(1,2),B=(—2,y),若£,人则卜+3匕|=.

【答案】572

【解析】

【分析】根据向量垂直关系求得y=l，利用a+3b=\/a+9b即可求得模长.

【详解】由题：平面向量2=(1,2),b=(-2,y),若H，

所以£7=0,-2+2y=0,解得：y=l,

a+i>=\!a+9b=出+45=5垃.

故答案为：5夜

【点睛】此题考查根据向量垂直求参数，求向量的模长，关键在于熟练掌握向量的基本运算法则.

14.已知数据王,%，…，%的标准差为5,则数据3%+1,3々+1,…,3%+1的标准差为.

【答案】15

【解析】

【分析】由数据标准差可得方差，根据方差的性质可得新数据的方差，由此得到标准差.

【详解】数据看,/，…，%的标准差为5,则其方差为25,

3万+1,3乙+1,…,3/+1的方差为25义9=225,则其标准差为7225=15.

故答案为：15.

22

15.已知圆C方程为(x—iy+y2=i,p是椭圆亍+1_=1上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分

别为A和B,则PAPB的最小值是

【答案】2A/2-3

【解析】

【分析】利用相切后的对称性，设NAPB=26»,表示出丽.丽，根据式子的特点利用基本不等式求出最

小值.

.2

,rPA

【详解】设=万.丽=|⑸，而kos26=|苏『(2cos20_1)(2—^-1),

令附所『=1—■―-2

可得PAPB=x+一—3xe(l,9],

X

PAPB>2y/2-3，当且仅当》=应时取等号.

故答案为：2后-3

【点睛】注意相切以后对称性，及二倍角的应用，观察式子特点，选择基本不等式求最小值.

/、f-x+6,x<2r、

16.若函数(a>0且a/1)值域是［4,T8),则实数a的取值范围是

J+log”X,X>，

【答案】(1,2］

【解析】

【详解】试题分析：由于函数〃x)={(。>0M。1)的值域是［4,+8),故当xK2时，满

DI3a人,人乙

足/(x)=6-x>4,当x>2时，由/(x)=3+log“xN4,所以log«xNl，所以log“221nl<a<2，

所以实数。的取值范围l<aV2.

考点：对数函数的性质及函数的值域.

【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数

的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，

本题的解答中，当了〉2时，由/(x"4,得log.xNl,即log.2Nl,即可求解实数。的取值范围.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题到21题为必考

题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分

17.已知锐角AABC,同时满足下列四个条件中的三个：

JT1

①A=一②〃=13③c=15④sinC=-

33

⑴请指出这三个条件，并说明理由；

(2)求△ABC的面积.

【答案】⑴△ABC同时满足①，②，③，理由见解析.(2)30百

【解析】

【分析】(1)判断三角形的满足条件，推出结果即可.

(2)利用余弦定理求出〃，利用面积公式求解AABC的面积.

【详解】(DAABC同时满足①，②，③.

理由如下：

若AABC同时满足①，④，则在锐角△ABC中，

11万

sinC=-<-,所以0<C(一

326

7T7T7T

又因为4=一，所以一<A+C<—

332

jr

所以这与AAHC是锐角三角形矛盾，

2

所以AA6c不能同时满足①，④，

所以AABC同时满足②，③.

因为c>。所以C>A若满足④.

则则,这与AAbC是锐角三角形矛盾.

62

故AAHC不满足④.

故AA6c满足①，②，③.

⑵因为，-b2+c2—2hccosA>

所以132=ZJ2+152-2XZ?X15X1.

2

解得8=8或8=7.

724-132—152

当。=7时，cosC=———<0

2x7x13

所以C为钝角，与题意不符合，所以力=8.

所以△ABC的面积S=4儿sinA=30

2

【点睛】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.

18.如图，四棱锥P-A3C。中，四边形ABC。为正方形，PC=2A5=4,PA1AB，且必与所

成角60.

p

(1)求证：P。，平面ABC。；

(2)若V,N分别是PA,尸。的中点，求三棱锥3—CMN的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)

3

【解析】

【分析】⑴由线面垂直的判定可证得平面尸AZ>,由此得到AB_LPZ),即CD，。。，在APAD中，

利用余弦定理可求得AP,由长度关系可证得PE>_LA£>,由线面垂直的判定定理可证得结论；

(2)根据长度关系可确定％WWN=3咏'利用体积桥和三棱锥体积公式可求得乙一"C，由此计算得到结

果.

【详解】(I)1•四边形ABCD为正方形，.•.A3_LAT>,

•.AB_LQ4，PAr^AD^A,尸4,4。(=平面月4£>,，48_1平面月4£>，

又P£>u平面尸A£>，.•.ABLPZ)，又AB//CD,：.CDSD,

PD=yJPC2-CD2=26,

­.•AD//BC,与6C所成角60',.•.NPAD=6(r，

在△卓。中，PD2=AP2+AD2-2AP-AD-cos60'»即12=AP?+4-2AP，

解得：AP=4.PA2=AD2+DP2'：.PD±AD^

又A8cAD=A，AB,ADu平面AB。。，，PD_L平面ABC。.

⑵QN为尸C中点，・•.S.BCN=；S/8C，VB-CMN~VM-BCN=~^M-PBC，

A/为P4中点，AfP：AP=1：2，Kw-P6c=5匕-P8C，「,匕T-CMN=1l-PBC,

^A-PHC~^P-ABC,^£>=^X^x2x2x2^/3>/.VBYMN=等'

即三棱锥3—CMN的体积为且.

3

【点睛】思路点睛：立体几何中的求解三棱锥体积问题通常采用两种思路来进行求解:

（1）体积桥：将三棱锥进行等体积代换，转化为高易求的三棱锥体积的求解问题；

（2）割补：将三棱锥切割为几个部分或者补足为某个易求体积的几何体来进行求解.

19.某公司对项目4进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：

项目A投资金额x（百万元）12345

所获利润y（百万元）0.30.30.50.91

（1）请用线性回归模型拟合y与X的关系：

（2）该公司计划用7百万元对A,8两个项目进行投资.若公司对项目B投资x（lWxW6）百万元所获得的利

049

润y近似满足：y=0.16x———+0.49,求A,B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？

x+1

附：对于一组数据（王,%）,（々,必），…，（怎，为），其回归直线方程9=以+&的斜率和截距的最小二乘法估

/___

^x^-nxy

计公式分别为：3T----------，a^y-bx.

2

x2-nx~

Ei=l

【答案】（l）:=0.2x；（2）对A，8项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大.

【解析】

【分析】（1）根据获得的利润有如下统计数据表，分别求得工=3,亍=0.6,方片=55,进而求得月泊的值，

/=1

即可求得回归直线的方程；

（2）设对8项目投资x百万元，则对A项目投资（7—X）百万元，利用总利润的表达式，集合基本不等式，

即可求解.

【详解】（1）根据获得的利润有如下统计数据表，

1+2+3+4+5—0.3+0.3+0.5+0.9+0.12

可得］==3，y=-----------------------=0.6,且2毛=55

55：=1

/__

一〃xy

A11-5x3x0,6

所以人二月----------=0.2,

2-255-5x3?

S),x.-nx

<=i

则4=5-81=0.6—0.2x3=(),

所以回归直线方程为：y=0.2x.

(2)设对8项目投资x(1WXW6)百万元，则对A项目投资(7-x)百万元.

所获总利润

049「0.491I()49

y=0.16x--+0.49+0.2(7-x)=1.93-0.04(%+1)+--<1.93-2,0.04(%+l)x—=1.65.

x+1Lx+1」Vx+1

049

当且仅当0.04(x+l)=匕，即x=2.5时取等号，

x+1

所以对A,B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大.

20.已知函数/(x)=a(x+2)eX—(x+3)2(awR,e为自然对数的底数)

(1)若/(%)在点(0,/(0))处的切线方程为3x+y+7=0,求a的值；

⑵讨论f(x)的单调性.

【答案】(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)先由切线方程求出切点坐标，将切点坐标代入函数/(X)的方程即可.

⑵求出了'(x)=(x+3)(ae-2),则只需对四<一2进行讨论，即分“40,0<a<2/,a=2e^a=2e3

进行分类讨论，即可.

【详解】解：(1)：切线3%+丁+7=0经过点(0,-7).

0)=-7,即2a—9=—7,解得a=1..

(2)f'(x')=a(x+3)ex-2(x+3)=(x+3)(«e'-2).

a40时，a/-2<0,可得f(x)在(-,-3)上单调递增，在(-3,3)上单调递减..

2

。>0时，令。炉一2=0,解得x=ln-,

a

2

令In—=—3,解得a=2/

a

222

0<"2"时，ln->-3,则函数在（一8,-3）上单调递增，在（-3,In-）上单调递减,在（In-,+8）

aaa

上单调递增..

〃=2/时，/（X）=（X+3）2>0,函数/（幻在R上单调递增..

222

时，—则函数/（%）在（-oo』n—）上单调递增，在（In—,-3）上单调递减，在（-3,+8）上

aaa

单调递增•.

综上可得：当时，在（一8,—3）上单调递增，在（—3,+8）上单调递减.

22

当0<av2e3时，函数F（x）在（-00,-3）上单调递增，在（_3/n—）上单调递减，在（In—,+8）上单调递增.

aa

当〃=2/时，函数/（x）在R上单调递增.

22

当。>2/时，函数/（幻在（-8/n—）上单调递增，在（In—,-3）上单调递减，在（一3,转）上单调递增.

aa

【点睛】关键点睛：本题考查根据切线方程求参数含参数的单调性讨论，解答本题的关键是分。40，

0VQV2/,。=2/和Q=2/对〃/一2进行分类讨论，属于中档题.

22

21.已知椭圆C:；+[=l（a>人〉0）的左、右焦点分别为《和弱，过焦点亮且垂直于x轴的直线与椭

a

圆。相交所得的弦长为1,椭圆。的离心率为苴.

2

（I）求椭圆C的标准方程；

（2）点p是椭圆C上