全等三角形的证明

全等三角形全等三角形判定知识透析1.判定定理(1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)(4)两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)2.

“ASA”和“AAS”可总结为两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等即可证全等3.证明两个直角三角形，可根据“HL”证明，但并不是只能用这个方法。两个直角三角形已知有两个直角是相等的，所以做题时还可以考虑“AAS”“ASA”“SAS”进行证明全等三角形判定知识透析abcdef123456SSS边边边定理的识别abcdef123456SAS边角边定理的识别abcdef123456ASA角边角定理的识别abcdef123456AAS角角边定理的识别BCADEASA角边角定理的识别BCADESAS边角边定理的识别BCADEAAS角角边定理的识别ABCDASA角边角定理的识别ABCDAAS角角边定理的识别ABCDSAS边角边定理的识别哪些证明方法不行？AAA反例：ACBFEDASS，SSA已知△ABC中，AB＝AC，过点A任作一直线（不与BC垂直）和BC交于点D．在△ABD和△ACD中，有AB＝AC，AD＝AD，∠B＝∠C，显然它们不全等．ABDCASS，SSA已知△ABC中，AB＝AC，过点A任作一直线，和BC的延长线交于点D．在△ABD和△ACD中，有AB＝AC，AD＝AD，∠D＝∠D，显然它们不全等．ABDC证明的书写SSS证明书写ABCEDFAB=DEAC=DFBC=EF在△ABC和△DEF中，△ABC≌△DEF∴∴∠A=∠D，∠B=∠E,∠C=∠FBCADE已知：AD=AB，AE=AC,ED=CB求证：∠D=∠B已知：A为EC中点，且为DB中点,ED=CB求证：∠D=∠BSSS书写训练ADCB1234已知：BC=BD,AC=AD求证：∠3=∠4ABCD1234已知：AB=DC,AC=DB求证：∠2=∠4,∠1=∠3OBCADMN如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．(2009云南)abcdef123456SAS边角边ABCEDFAB=DEAC=DF∠A=∠D在△ABC和△DEF中，△ABC≌△DEF∴∴BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠FSAS书写过程已知：∠A=∠D,AB=AE,AC=DF求证：△ABC≌△DEFBCADE在△ABC和△ADE中，∠1=∠212DA=ABEA=AC△DAE≌△BAC∴∴∠E=∠C，∠D=∠B，DE=BC已知：DA=AB,EA=AC求证：△DAE≌△BACABCD在△ABC和△DBC中，∠1=∠2AB=DBBC=BC△ABC≌△DBC∴∴∠A=∠D，∠ACB=∠DCB，AC=DC12已知：AB=BD,BC=BC求证：△ABC≌△DBCSAS书写训练BCADE已知：DA=BA,EA=CA求证：∠D=∠BADCB1234已知：∠1=∠2,AC=AD求证：∠3=∠4已知：AC=DB,∠2=∠4求证：∠1=∠3ABCD1234ABCDEO已知：AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE求证：(1)△ABE≌△ACD；(2)OB＝OC（2009重庆）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)若∠D=50°，求∠B(2010江苏苏州)

证明：(1)∵点C是线段AB的中点∴AC=BC又∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD∴∠1=∠2，∠2=∠3∴∠1=∠3在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE∠1=∠3AC=BCCD=CE(2)∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠1=∠2=∠3=60°在△ACD和△BCE中，∵△ACD≌△BCE∴∠E=∠D=50°abcdef123456AAS角角边BCADE在△ABC和△ADE中，∠1=∠212DA=AB△DAE≌△BAC∴∴∠D=∠B，EA=AC，DE=BC∠E=∠CAAS书写过程已知：∠E=∠C,AB=AD求证：△ABC≌△ADE在△ABC和△ADE中，∠1=∠2BC=BC△ABC≌△DBC∴∴∠3=∠4，AB=DB，AC=DCABCD1234∠A=∠D已知：∠E=∠C,AB=AD求证：△ABC≌△ADEAAS书写训练BCADE已知：∠E=∠C,ED=CB求证：AD=ABADCB1234已知：∠3=∠4,∠C=∠D求证：BC=BD已知：AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC求证：△BED≌△CFD(2009湖州)DCBEAF∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BDE=∠CFD=90°∵AB=AC∴∠B=∠C∵D为BC的中点∴△BED≌△CFD∴BD=CD1分1分1分1分BCADE已知：∠E=∠C,ED=CB求证：AD=AB已知：∠E=∠C,EA=CA求证：∠D=∠B综合已知：DA=BA,EA=CA求证：∠D=∠B已知：AD=AB，AE=AC,ED=CB求证：∠D=∠BADCB1234已知：∠1=∠2,∠3=∠4求证：AC=AD已知：∠1=∠2,AC=AD求证：∠3=∠4已知：BC=BD,AC=AD求证：∠3=∠4已知：∠3=∠4,∠C=∠D求证：BC=BDADCB1234已知：∠3=∠4,∠C=∠D求证：△ACD为等腰三角形已知：∠1=∠2,∠C=∠D求证：CD⊥ABABCD已知：∠2=∠4,AC=DB求证：AB=DC1234已知：∠2=∠4,AC=DB求证：∠1=∠3已知：∠1=∠3,∠2=∠4求证：AC=DB已知：AB=DC,AC=DB求证：∠2=∠4,∠1=∠3ABCD已知：∠2=∠4,AC=DB求证：AB=DC1234已知：∠2=∠4,AC=DB求证：∠1=∠3已知：∠1=∠3,∠2=∠4求证：AC=DB已知：AB=DC,AC=DB求证：∠2=∠4,∠1=∠3已知方向SSSASSSSAAAASASA总结总结ASSASASAAAS强化训练翻折型旋转型已知：∠1=∠2,BE=CF,AF=DE求证：AB=DCABCD12EF已知：∠1=∠2,∠A=∠D,BE=CF求证：AB=DC∵BE=CF∴BE+EF=CF+EF即BF=CE翻折型已知：AB=DE，AC∥DF，BC∥EF求证：△ABC≌△DEFABCDEF已知：AB=AC,BD=CD求证：AD⊥BCABCDOACEDB已知：AB=AC,AD=AE求证：BD=CE（2010山东济南）∵AB=AC∴∠B=∠C∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∴180°-∠ADE=180°-∠AED即∠ADB=∠AEC

在△ABD和△ACE中∵AB=AC

∠B=∠C

∠ADB=∠AEC∴△ABD≌△ACE∴BD=CE已知：AB=BC，BF平分∠ABC，AF∥DC求证：CA是∠DCF的平分线。(2009赤峰)ABCDF已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AB=2，DC=4，延长BC到E，使CE=AD证明：BD=DE

（2009崇左）ABCDE已知：△ABC为等边三角形，AE=CD，(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFDABCEDF∠BFD=∠BAF+∠1=∠BAF+∠212旋转型已知：AB=AC，BD=CE。求证：DG=GEABCGEPD已知：△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：△ADE为直角三角形△ADE为直角三角形∠EAD=90°∠EAC=45°∠EAC=∠DBCBCADE已知：D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．ABCDE123已知：等边△ABC和等边△EDC，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．（2009湖北荆州）ABDCEF124356已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°(1)列出图中所有的全等三角形(2)求证CF=EF(3)∠5=∠6已知：AB=AC，以两边为腰作两个等腰直角三角形，∠1=40°（1）求∠DBC的度数；（2）求证：BD=CE（2009绍兴）1提高扩展垂直平分线定理:垂直平分线上的点到线段两端距离相等ABCP已知：PC⊥AB，

AC=BC求证：PA=PBPC是AB的垂直平分线AB被PC垂直平分已知：四边形ABCD，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC∠AED=，AB=4，EC=3求：AD的长度ABCDEABCDO已知：OA平分∠BAC，∠1=∠2求证：是等腰三角形EF1221ABCDEP已知：BD是∠ABC的角平分线，AE⊥BD求证：∠2=∠1+∠C在BC上截取BP=AB，连接EP∴△ABE≌△PBE∴∠3=∠2在△APC中，∠3=∠1+∠C∴∠2=∠1+∠C3角平分线第二种辅助线：若有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角两边相交构造等腰三角形21ABCDE已知：BD是∠ABC的角平分线，AE⊥BD求证：∠2=∠1+∠C已知：∠B=60°，角平分线AD、CE交于O求证：AE+CD=ACABCDEOPBCD已知：AD是∠BAC的角平分线你该怎么做？AP在AC上截取AP=AB连接DP角平分线第三种辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形12已知：AD是∠BAC的角平分线，AB>AC求证：AB-BD>AC-CDBCDA在AB上截取AP=AC，P连接PDAP=ACAD=AD∠1=∠2在△APD和△ACD中，△APD≌△ACD∴∴PD=CD12AB-BD>AC-CDAB-BD>-AB-AP>BD-PD>BD-PD==APPD=BP已知：AD是外角平分线求证：BD+CD>AB+ACPDA在BA上截取AP=AC，连接PDC△APD≌△ACD∴∴PD=CDBD+CD>AB+ACBD+>AB+BD+PD>==PDAP=BPBABCDEOP在AC上截取AP=AE，连结PO∴△AEO≌△APO∴∠1=∠21234∵∠B=60°∴∠2+∠3=120°∴∠1=∠2=∠3=∠4=60°∠PCO=∠DCOOC=OC∠3=∠4AE+CD=ACAP+CD=ACCD=CP△PCO≌△DCO已知:∠B=60°，角平分线AD、CE交于O。求证:AE+CD=AC已知:∠B=60°，角平分线AD、CE交于O。求证:AE+CD=ACABCDEOP作∠AOC的角平分线OP∴△AEO≌△APO1234∵∠B=60°∴∠2+∠3=120°∴∠1=∠2=∠3=∠4=60°∠PCO=∠DCOOC=OC∠3=∠4AE+CD=ACAP+CD=ACCD=CP△PCO≌△DCO小结1.角平分线第一种辅助线：过角平分线上的一点向角的两边作垂线（常考）2.角平分线第二种辅助线：若有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角两边相交构造等腰三角形3.角平分线第三种辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形ABCDP已知：AD为中线求证：AB+AC>2AD中线辅助线作法：有中线时，常加倍他们构造全等三角形ABCDP已知：AB=5，AC=3，AD为中线求证：AD的取值范围已知：Rt