平均变异指标

《统计学》课件制作及主讲嵇冉2

天道酬勤。世间没有不经过勤劳而成为天才的人。

第五章平均指标和标志变动度3

通过学习，使学生认识到综合指标所反映现象的规模、结构、比例、水平、集中、分散等数量特征。要求学生了解平均指标的概念、作用，掌握几种平均数的特点和计算方法，掌握变异指标的概念及计算。教学目的及要求41.平均指标的概念、特点2.平均指标的种类3.平均指标的计算公式4.标志变异指标的概念5.标志变异指标的计算

主要内容5第一节平均指标的概念和特点一、平均指标的概念

1.问题的提出

2.概念将总体各单位标志值之间的差异加以抽象化，所形成的反映总体单位标志值一般水平的指标叫~。

6二、平均指标的特点

①抽象性；②同质性；③具体性。

7三、平均指标的基本公式

总体标志总量平均指标=

总体单位总量8

第二节算术平均数

是各单位标志值通过一定方式汇总，再与全部单位总数对比的指标。

9

一、简单算术平均数

假设总体有n个单位，各单位的标志值用表示；标志值一般水平用表示。则：10二、加权算术平均数1.单项数列计算平均数例：某班组有20名工人按日产零件分组（件）工人数（人）132144154166174

合计20

计算平均每个工人的日产零件数？11平均每个工人的日产零件数：按日产零件分组（件）工人数（人）132144154166174

合计20x1x2x3x4x5

f1f2f3f4f5Σf权数12推导公式：13公式的变形：142.组距数列计算平均数按职工工资水平分组（元）职工人数（人）2500以下102500~3500103500~4800304800~6000406000以上10

合计100计算平均工资？15解：按工资水平分组

组中值职工人数2500以下

2500~35003500~48004800~60006000以上200030004150540066001010304010

合计—10016

3.根据组平均数计算总平均数例1：某企业有三个基本车间，各车间职工的工资和人数资料如下，计算平均工资。车间名称平均工资（元）

职工人数

甲4690.00280

乙4360.00420

丙4871.20150

合计

？850解：4558.9217第三节调和平均数

是标志值的倒数的算术平均数的倒数。（倒数平均数）一、简单调和平均数实例：设市场上某种蔬菜价格，早市每斤2.50元，中午每斤2.00元，晚市每斤1.00元。⑴早、中、晚各买1斤，问平均每斤价格？18⑵早、中、晚各买1元，问平均每斤价格？解：①2.502.001.00；②早上1元买1/2.50斤，中午买1/2.00斤，晚上买1/1.00斤；③平均每元可以买（1/2.50+1/2.00+1/1.00）/3；④平均每斤价格=3/（1/2.50+1/2.00+1/1.00）。19公式：20二、加权调和平均数例：某工厂生产某种产品分两批销售，资料如下：

批次出厂价格（元/件）销售收入第一批252000第二批203000

合计

？5000

计算平均出厂价格？解：21公式：

批次出厂价格（元/件）销售收入第一批第二批252020003000

合计21.745000x1…xn

m1…

mnΣmm—表示权数22三、计算和运用平均数应注意的几个问题计算平均数必须是在同一个总体中，不同总体计算是没有意义的;运用平均数时注意组平均数来补充说明总平均数;注意运用相对数计算平均数。23第四节几何平均数

~是n个变量连乘积的n次方根。应用条件

：变量连乘积等于总比率、总速度的现象，计算平均比率或平均速度。一、简单几何平均数公式：24例：某机械厂有毛坯车间、粗加工车间、精加工车间、装配车间四个流水连续作业的车间。本月份第一车间制品合格率为95%，第二车间为92%，第三车间为90%，第四车间为85%。计算平均车间制品合格率？解：25二、加权几何平均数公式：26例：从《中国财政统计》的资料中，对国家历年财政总支出的增长速度做一下简单分组，得出结论：从1973年到1988年的16年中，国家财政总支出的环比发展速度（以上年为100）为：98%有2年，96%有1年，92%有1年，104%有5年，112%有4年，120%有2年，130%有1年。则1973—1988年间我国国家财政总支出的年平均发展速度：27第五节众数和中位数

（前三种平均数——计算平均数；另有两种是根据所处的特殊位置来计算的——位置平均数。）一、众数

总体中出现次数最多的标志值。用Mo表示。例：十个学生年龄为：16、17、17、18、18、18、18、19、20、22。则18为众数。

上例：16、17、18、19、20、21、22、23、24、25。众数不存在281.分类数据的众数

例：（美国）调查300个人的政党背景形成的数据分布如下，试确定众数。政党背景次数或频数民主党共和党无党派人士9070140众数为：无党派人士292.顺序数据的众数解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即

Mo＝不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意24108934530836311510合计300100.030

例：假定有瓦工砌墙的资料如下，试确定众数。每日平均砌墙量（M3）人数（人）0.800.900.951.001.10203080105

合计145Mo=0.953.数值型数据的众数—单项数列313.数值型数据的众数—组距数列

应首先确定次数最多的一组为众数组。例：某村农户月收入额的资料如下，试确定众数。月收入额分组（元）

农户数（户）500~600600~700700~800√800~900900~10001000~11001100~12001200~1300240480105060027021012030

合计300032有两个公式：下限公式：上限公式：Ｍo—众数；Ｌ—众数组下限；Ｕ—众数组上限；△1

—众数组次数与前一组次数之差；△2

—众数组次数与后一组次数之差；d—众数组的组距。

33

下限公式：上限公式：34二、中位数

～是将总体各单位的标志值按大小顺序排列，处于数列中点位置的标志值。Me1.未分组资料确定中位数例：某班组11名工人，日产零件资料：15、17、19、20、22、22、23、23、25、26、30中位数的位次=（n+1）/2=（11+1）/2=6则第6位为中位数，Me=22（件）35

如果是偶数，则：上例：某班组12名工人，日产零件资料：15、17、19、20、22、22、23、23、25、26、30、31。中位数的位次=（n+1）/2=（12+1）/2=6.5则第6、7位中间的数值为中位数，Me=（22+23）/2=22.5（件）362.顺序数据的中位数解：中位数的位置为

300/2＝150

从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中，中位数为

Me=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意24108

93453024132225270300合计300—373.数值型数据—分组资料确定中位数

例：某村农户月收入额资料如下，试确定中位数。月收入额分组（元）

农户数（户）500~600600~700700~800800~900900~10001000~11001100~12001200~1300240480105060027021012030

合计300038月收入额分组

农户数农户数向上累计农户数向下累计500~600600~700700~800√800~900900~10001000~11001100~12001200~1300240480105060027021012030240720177023702640285029703000300027602280123063036015030

合计3000——39有两个公式：下限公式：上限公式：L—中位数组下限，U—中位数组上限，fm—中位数组次数，Sm-1—

中位数组以前各组的累计次数，Sm+1—中位数组以后各组的累计次数，∑f—总次数，d—中位数组的组距。

40下限公式：上限公式：41第六节标志变动度一、标志变动度的概念

1.问题的提出在统计研究中，一方面要计算平均数，用以反映总体各单位标志值的一般水平，另一方面也要测定标志变动度，用以反映总体各单位标志值的差异程度。同时，平均数的代表性还必须用标志变动度指标来测量，标志变动度大，平均数的代表性就小，相反，标志变动度小，平均数的代表性就大，如果标志变动度等于零，则说明平均数具有完全的代表性。所以，为了全面准确地反映出总体特征，在计算了平均数之后，还要进一步计算标志变动指标，以便对平均数作出补充说明。42举例：甲组5人工资：500、600、700、800、900乙组5人工资：600、650、700、750、800

2.概念：

反映总体单位标志值之间差异程度的指标。即反映标志值的变动范围或离差程度，也称标志变异指标。43二、标志变异指标的作用1.衡量平均数代表性大小。

例如：有两个乡的水稻平均单产都是400公斤，甲乡的水稻单产在350—450公斤之间的地块，只占播种面积的60％，而乙乡在350—450之间的地块，只占播种面积的30％，试问：哪个乡具有比较稳定而又可靠的收获量？显然，在这种情况下，甲乡的收获量是比较稳定可靠的。所以，在计算平均数之后，还应该测定标志的变动度。

442.衡量经济活动过程的节奏性、均衡性。

资料表明：甲乙两车间的钢材月产量计划都已完成。但甲车间全月均衡完成，各旬计划完成率变异程度小；而乙车间前松后紧，各旬计划完成率变异程度大。

计划数

实际完成

上旬

中旬

下旬

全月绝对数占全月%绝对数占全月%绝对数占全月%绝对数占全月%甲车间乙车间120120382031.716.7404033.333.3426035.050.012012010010045三、测定标志变动度的指标（一）分类数据——

异众比率非众数组的频数占总频数的比率。公式：用于衡量众数的代表性解：

在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好。异众比率(例题分析)不同品牌饮料的频数分布

饮料品牌频数比例百分比(%)

可口可乐旭日升冰茶百事可乐汇源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计501100（二）顺序型数据

——四分位差（四分互差）

Q=Q3-Q1目的：避免极端数值的影响。三、测定标志变动度的指标48三、测定标志变动度的指标（三）数值型数据

1．极差（全距）

总体单位标志值中最大值与最小值之差。

R甲

=900–500=400（元）

R乙

=800–600=200（元）虽然两组平均数相同，均为700元，但两组工资变动范围不一样。甲组标志变动度远远大于乙组。49

极差特点：优点:说明总体中两个极端标志值的变异范围，其计算方法简便、易懂、容易被人掌握。

缺点：受极端值影响很大，不能全面反映各单位标志值的差异程度。所以，在实际应用上有一定的局限性。

502.平均差

总体各单位标志值与算术平均数的离差绝对值的平均数。⑴简单平均式51仍以甲、乙两组工资为例：

甲组

乙组工资离差离差绝对值工资离差离差绝对值

500-200200600-100100600-100100650-505070000700008001001007505050900200200800100100

合计0600

合计030052解：

甲组的平均差比乙组的平均差大，所以甲组的平均数代表性小。53⑵加权平均式54例：有200人的工资资料如下：

月工资（元）

人数（人）xf5006007008009003050703020

合计200计算平均差。55解：月工资（元）

人数（人）工资总额（元）

离差离差绝对值以人数加权的离差绝对值xf

xfx-x

5003015000-18018054006005030000-808040007007049000202014008003024000120120360090020180002202204400

合计200136000——1880056

表明月平均工资与每人的月工资额平均相差94元。3.标准差（也叫均方差）

总体各单位的标志值与算术平均数离差的平方平均数的平方根。

标准差是测定标志变动度最重要的指标，它的意义与平均差的意义基本相同，但在数学性质上比平均差要优越，由于各标志值对算术平均数的离差的平方和为最小，所以，在反映标志变动度大小时，一般都采用标准差。标准差是反映标志变动度的最重要的指标。58⑴简单平均式

仍以甲、乙两组工资为例：

甲组

乙组工资

离差

离差平方工资

离差

离差平方

500-20040000600-10010000600-10010000650-50250070000700008001001000075050250090020040000800