第四章 数列章末题型归纳总结（原卷版）

第四章数列章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：等差(比)数列的基本运算经典题型二：等差、等比数列的判定经典题型三：等差、等比数列的性质及应用经典题型四：数列通项公式经典题型五：数列求和经典题型六：数列的实际应用经典题型七：数列中的范围与最值问题经典题型八：数学归纳法模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：等差(比)数列的基本运算例1．（2023·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）若数列为等差数列，且，则（

）A． B． C． D．例2．（2023·湖南·高二校联考期中）等差数列中，，则的前2023项和为（

）A．1011 B．2022 C．4046 D．8092例3．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知为等差数列的前项和，若，则（

）A．64 B．32 C．28 D．22例4．（2023·江苏扬州·高二统考期中）已知等差数列满足：，.若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为（

）A． B． C． D．无法确定例5．（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中）已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（

）A．2 B． C．1 D．例6．（2023·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考期中）设数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则公比为（

）A．16 B．4 C． D．例7．（2023·甘肃酒泉·高二校考期中）等比数列中，，则（）A． B． C．2 D．12例8．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）在等比数列中，，则（

）A．3 B．3 C．3或3 D．或例9．（2023·吉林·统考一模）在等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．11例10．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（

）A．3 B．5 C．30 D．45经典题型二：等差、等比数列的判定例11．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知数列各项均为正数，且，.(1)证明：为等差数列，并求出通项公式；(2)设，求.例12．（2023·江苏连云港·高二赣榆一中校考阶段练习）已知数列满足，且.(1)证明：是等差数列；(2)求数列的通项公式.例13．（2023·全国·高二专题练习）设数列的前n项和为，，，．证明：为等差数列；例14．（2023·江西抚州·高二金溪一中校联考期中）已知数列满足(1)记，证明：数列为等差数列；(2)若把满足的项称为数列中的重复项，求数列的前100项中所有重复项的和.例15．（2023·重庆·高二统考期末）已知数列满足，，______，．从①，②这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题．（注：如果两个条件分别作答，按第一个解答计分）．(1)写出，；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(3)求数列的前2n项和．例16．（2023·天津·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且（）.(1)证明：数列为等比数列；(2)令，求数列的前项和.例17．（2023·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求证数列的前项和．例18．（2023·江西赣州·高二校考阶段练习）已知数列的前n项和为，，．(1)求，并证明数列是等比数列；(2)若，求数列的前n项和．例19．（2023·天津北辰·高二校考期末）已知数列的前项和为，且.在数列中，，.(1)求的通项公式；(2)证明：是等比数列.经典题型三：等差、等比数列的性质及应用例20．（2023·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期中）已知等差数列满足，则．例21．（2023·江苏扬州·高二统考期中）已知等差数列中，，则的值为.例22．（2023·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）在等差数列中，，，，则．例23．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则．例24．（2023·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期中）已知等差数列，若，则．例25．（2023·江西上饶·高二校考阶段练习）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则=.例26．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则．例27．（2023·新疆喀什·高二校考阶段练习）在等比数列中，，则.例28．（2023·北京东城·高二北京市第五中学校考期末）已知数列满足，若，则的值为．例29．（2023·山东青岛·高二校联考期中）正项等比数列中，，是方程的两个根，则.例30．（2023·上海·高二校考期中）在等比数列中，若，，则．例31．（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，则．例32．（2023·江西萍乡·高二统考期中）已知等比数列的前项和为，若，则.经典题型四：数列通项公式例33．（2023·山东青岛·高二统考期中）设是数列的前项和，，，则.例34．（2023·浙江绍兴·高二校考期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为.例35．（2023·河南周口·高二统考期中）设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为．例36．（2023·海南·高二校考期中）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为.例37．（2023·四川绵阳·高二绵阳中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则.例38．（2023·高二课时练习）已知数列的前项和为，且，又数列满足，且，分别求数列及的通项公式．例39．（2023·甘肃天水·统考一模）在数列中，，且，求数列的通项公式．例40．（2023·江苏南通·高二校考期中）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求．例41．（2023·全国·高三专题练习）已知：，（）求数列的通项.例42．（2023·甘肃·高二统考期中）已知数列满足，，设.(1)求；(2)求的通项公式.例43．（2023·高二课时练习）已知函数，.数列满足，且，求数列的通项公式.例44．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求通项.例45．（2023·全国·高三专题练习）已知：，时，，求的通项公式．例46．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．例47．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，，．求数列的通项公式.例48．（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）已知数列中，，且.(1)求，并证明是等比数列；(2)求的通项公式.例49．（2023·江西南昌·高一南昌市外国语学校校考阶段练习）数列满足.(1)若，求证：为等比数列；(2)求的通项公式．例50．（2023·高二课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式；例51．（2023·湖南岳阳·统考一模）数列满足，．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式．例52．（2023·全国·高二随堂练习）写出下面各数列的一个通项公式：(1)，，，，……(2)，，，，……经典题型五：数列求和例53．（2023·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则．例54．（2023·江西萍乡·高二统考期末）已知函数关于点对称，其中为实数.(1)求实数的值；(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.例55．（2023·广东江门·高三统考阶段练习）已知数列和，其中的前项和为，且，.(1)分别求出数列和的通项公式；(2)记，求证：.例56．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列的前项和是，且.(1)证明：是等比数列.(2)求数列的前项和.例57．（2023·江苏无锡·高三统考期中）各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．(1)求数列的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．例58．（2023·山东潍坊·高三统考期中）设为数列的前项和，(1)求的通项公式；(2)若数列的最小项为第项，求；(3)设数的前项和为，证明：例59．（2023·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，且．(1)求和；(2)设，求数列前项和．例60．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列中，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和．例61．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列为非零数列，且满足.(1)求及数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.例62．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）在数列中，且.(1)求的通项公式；(2)设，若的前项和为，证明：.例63．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知递增的等差数列和等比数列满足.(1)求和的通项公式；(2)若，求的前项和.例64．（2023·北京·高二校联考期中）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.(1)求数列和的通项公式；(2)求的通项公式和前项和.例65．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．例66．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．例67．（2023·高二校考课时练习）在数列中，，则…的值是.经典题型六：数列的实际应用例68．（2023·全国·高二随堂练习）小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（

）元之间，并说明理由．A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万例69．（2023·全国·高二随堂练习）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（

）万元．A． B． C． D．例70．（2023·河南·高二校联考期末）如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距（

）A．mm B．mmC．mm D．mm例71．（2023·辽宁大连·高二统考期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（

）元．A． B． C． D．例72．（2023·贵州安顺·高二统考期末）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（

）（参考数据：，）A．7 B．8 C．9 D．10例73．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（

）A．7年 B．8年 C．9年 D．10年经典题型七：数列中的范围与最值问题例74．（2023·北京东城·统考二模）已知函数，若数列满足，且对任意的都有，那么实数的值范围是（

）A． B． C． D．例75．（2023·安徽阜阳·高一安徽省太和中学阶段练习）设等差数列中首项为，公差为d，且从第5项开始是正数，则公差d的范围是A． B． C． D．例76．（2023·北京·高二清华附中校考期中）已知数列的前项和，下列判断中正确的是（

）A． B．数列是单调递减数列C．数列前项的乘积有最大值 D．数列前项的乘积有最小值例77．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得取得最大值的n的值为（

）A．18 B．19 C．20 D．21例78．（2023·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，则（

）A．有最小值12 B．有最大值12 C．有最大值6 D．有最小值6例79．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．没有最大值例80．（2023·河南驻马店·高二统考期中）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．的最大值为或例81．（2023·江西·高二统考期末）数列的前项和，则取最大值时的值为（

）A． B．2 C． D．4例82．（2023·广西河池·高二统考期末）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例83．（2023·四川成都·高一石室中学校考期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（

）A．20 B．17 C．19 D．21例84．（2023·辽宁沈阳·高二校联考期末）设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11例85．（2023·高二校考课时练习）已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（

）A． B．20 C． D．19例86．（2023·广东江门·高二统考期末）设为数列的前n项积，若，且，当取得最小值时，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11经典题型八：数学归纳法例87．（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上例88．（2023·上海宝山·高二校考期中）用数学归纳法证明时，从“到”左边需要增加的代数式是例89．（2023·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为.例90．（2023·高二课时练习）已知，则．例91．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．例92．（2023·全国·高二随堂练习）证明：凸n边形的内角和等于．例93．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）例94．（2023·陕西西安·高二校考期中）在数列中，，．(1)写出，，，，猜想这个数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例95．若数列满足，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．例96．已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（

）A．32 B．33 C．44 D．45例97．已知等差数列的前n项和为，公差为d，则“有最大值”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例98．已知为等比数列，公比，则（

）A．81 B．27 C．32 D．16例99．在数列中，，，且，则（

）A．0 B．1300 C．2600 D．2650例100．已知数列的前n项和，则该数列的通项公式为（

）A． B．C． D．②转化与化归思想例101．已知等差数列的