专题21 一次函数的应用压轴题四种模型全攻略（原卷版）

专题21一次函数的应用压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一次函数的应用——分配方案问题】 1【考点二一次函数的应用——最大利润问题】 5【考点三一次函数的应用——行程问题】 8【考点四一次函数的应用——几何问题】 12【过关检测】 15【典型例题】【考点一一次函数的应用——分配方案问题】例题：（2023春·云南临沧·八年级统考期末）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策该省的A市有吨物资，市有吨物资经过调研发现该省的甲乡需要吨物资，乙乡需要吨物资于是决定由A、两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为元吨、元吨，从市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为元吨、元吨．(1)设从A市往甲乡运送吨物资，从A、两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为元，求与的函数解析式．(2)请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．【变式训练】1.（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打折的优惠．设小明当天购书标价总额为x元，方案一应付元，方案二应付元．(1)当时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；(2)直接写出与x的函数关系式；(3)小明如何选择购书方案才更划算？2.（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示．

(1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．【考点二一次函数的应用——最大利润问题】例题：（2023春·贵州黔南·八年级统考期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：甲商品乙商品进价（元/件）4010售价（元/件）5015小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？最大利润是多少？【变式训练】1.（2023春·广西南宁·八年级校考期末）小冬在某网店选中，两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：款玩偶款玩偶进货价（元/个）2015销售价（元/个）2820(1)第一次小冬用550元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？2.（2023·河南洛阳·统考二模）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．(1)求购进A，B两种模型每件分别需多少元？(2)若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．【考点三一次函数的应用——行程问题】例题：（2023春·山东淄博·七年级统考期中）甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地．如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离千米与小时之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：

(1)求线段对应的函数解析式．(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．【变式训练】1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20米处出发，以a米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b米，两架航模距离地面的高度y米与时间x分钟的关系如图．两架航模都飞行了20分钟．

(1)直接写出a、b的值；(2)求出两架航模距离地面高度y甲、y乙（米）与飞行时间x（分钟）的函数关系式；(3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？2.（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，甲、乙两车分别从相距的、两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达地后因有事立刻按原路原速返回地．乙车从地直达地，两车同时到达地．甲、乙两车距各自出发地的路程（千米）与甲车出发所用的时间（小时）的关系如图，结合图像信息解答下列问题：

(1)乙车的速度是千米/时，乙车行驶小时到达地；(2)求甲车从地按原路原速返回地的过程中，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式；(3)求甲车出发多长时间两车相距千米？【考点四一次函数的应用——几何问题】例题：（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（

）A．B． C． D．【变式训练】1.（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P从B点出发，以每秒的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按的路线移动，相应的的面积与点P的运动时间的图象如图②所示，且．当时，．

2.（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，的面积也发生变化．

(1)写出的面积y与的长之间的关系式；(2)当时，求y的值．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图，若该用户本月用水21吨，则应交水费（

）

A．52.5元 B．48元 C．45元 D．42元2．（2023·陕西西安·校考二模）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论不正确的是（）

A．物体的拉力随着重力的增加而增大B．当拉力时，物体的重力C．当物体的重力时，拉力D．当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N3．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校统考阶段练习）在5.1劳动节期间，甲乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了米、乙才开始追赶甲，乙行了2分钟后，速度变成甲登山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙登山时间x（分）之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息有下列说法：①甲的登山速度米/分；②分；③当乙行了分钟后，甲乙相遇；④甲乙相遇后，甲再经过1分钟与乙相距米，其中正确的有（

）

A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、填空题4．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）拖拉机工作时，油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）d关系式为．当时，升，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作小时．5．（2023春·安徽宿州·七年级统考阶段练习）如图，李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为．设边的长为，AB边的长为，则y与x之间的关系式是．

6．（2023春·北京石景山·七年级统考期末）小石的妈妈需要购买盒子存放升的食物，且要求每个盒子要装满．现有两种型号的盒子，单个盒子的容量和价格如下表．型号单个盒子容量（升）单价（元）（1）写出一种购买方案，可以为；（2）恰逢五一假期，型号盒子正在做促销活动，即购买三个及三个以上可一次性返现金元，则购买盒子所需要的最少费用为元．三、应用题7．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．共花费265元；若两次购进的A、B两种花草价格均分别相同．(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若购买A、B两种花草共30棵，且B种花草的数量少于A种花草数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．8．（2023秋·广东茂名·八年级校联考期中）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元．(1)请分别写出，与x之间的关系式：，；(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．9．（2023春·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）为进行垃圾分类，我校准备购买，两种型号的垃圾箱，通过市场调研发现：购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需340元；购买5个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需540元．(1)求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？(2)若需要购买，两种型号的垃圾箱共30个，其中购买型垃圾箱不超过15个，当购买型垃圾箱多少个时总花费（元）最少，最少费用是多少？10．（2023春·贵州黔西·八年级校联考期末）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费35元，购买1个甲种文具，3个乙种文具共需要花费30元．(1)求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元，又不多于1000元，求有多少种购买方案？(3)学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？11．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，已知甲车匀速行驶；乙车出发后休息，与甲车相遇后继续行驶，结果同时分别到达B，A两地．设甲、乙两车与B地的距离分别为，，甲车行驶的时间为，、与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：

(1)乙车休息了______．(2)求甲车的速度．(3)求乙车与甲车相遇后关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．(4)当两车相距时，直接写出x的值．12．（2023秋·安徽滁州·八年级校联考阶段练习