第05讲 一元二次方程的实际应用（原卷版）

第05讲一元二次方程的实际应用课程标准学习目标①列一元二次方程解实际应用题的基本步骤②列一元二次方程解实际应用题的基本类型掌握列一元二次方程解实际应用题的基本步骤。掌握列一元二次方程解实际应用题的基本类型，熟练应用各种类型的基本计算公式。知识点01传播问题列一元二次方程解应用题的步骤：①审：理解题意，明确、以及它们之间的数量关系．②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的表示其他未知量，从而列出方程．④解：准确求出方程的解．⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．⑥答：写出答案。传播问题：计算公式：。题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。【即学即练1】1．进入2022年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（）A．1+x+x2＝324 B．（1+x）2＝324 C．1+x+（1+x）2＝324 D．x+（1+x）2＝324【即学即练2】春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？知识点02比赛（握手）问题比赛（握手）问题：计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）：。双循环（两两之间比赛（握手）两次）：。题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。【即学即练1】3．某乒乓球比赛的每两队之间都进行1场比赛，共要比赛28场，设共有x支球队参加该比赛，则符合题意的方程是（）A．x2＝28 B．x2＝28×2 C． D．x（x﹣1）＝28×2【即学即练2】4．某校要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场（双循环），计划安排30场比赛，设有x支球队，可列方程为（）A．x（x+1）＝60 B．x（x﹣1）＝30 C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝60【即学即练3】5．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，全班有多少名学生？【即学即练4】6．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？知识点03数字问题数字问题：数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为。题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。【即学即练1】7．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（）A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2 C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2【即学即练2】8．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数．知识点04平均增长率（下降率）问题平均增长率（下降率）问题：计算公式：平均增长类型：。平均下降类型：。题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。【即学即练1】9．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）A．43903.89（1+x）＝53109.85 B．43903.89（1+x）2＝53109.85 C．43903.89x2＝53109.85 D．43903.89（1+x2）＝53109.85【即学即练2】随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？知识点05商品销售问题（每每问题）商品销售问题（每每问题）：计算公式：总利润＝单利润×数量现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）现数量＝原数量－（原数量＋）特别说明：题目中出现的价格每上涨（下降）a数量会变化b，其中a为涨价（降价）基础，b为变化基数。题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。【即学即练1】11．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（）A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450【即学即练2】12．世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．知识点06图形面积问题图形面积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。【即学即练1】13．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（）A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40【即学即练2】14．如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度．题型01商品销售问题（每每问题）【典例1】服装批发市场有一批服装，如果每件盈利50元，每天可售出500件．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少2件．（1）若以每件能盈利70元的单价出售，每天的总利润为多少元？（2）现市场要保证每天总利润40000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？【典例2】“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2018年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2020年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？【典例3】4月10﹣13日习近平总书记在广东考察时强调：推进中国式现代化，必须全面推进乡村振兴，解决好城乡区域发展不平衡问题，产业振兴是乡村报兴的重中之重，要落实产业帮扶致策，做好“土特产”文章，网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，某直播间销售某种“土特产”，每袋获利40元，每天可卖出20袋，通过市场调查发现：每袋“土特产”的售价每降低1元，每天的销售量就增加2袋．（1）若每袋“土特产”的售价降低6元，求每天的销售量．（2）为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得每天获利1200元，则每袋“土特产”的售价降低了多少元？1．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（）A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256 C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝2562．2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A．2（1+x）＝6.62 B．2（1+x）2＝6.22 C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.623．为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（）A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝10004．为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（）A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝285．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（）A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝84506．一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（）A．[（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 B．[（9﹣x）+x][x+（9﹣x）]＝1458 C．[10（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458 D．[10（9﹣x）+x][x+（9﹣x]＝14587．如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有361人感染．（1）平均每人每轮感染多少人？（2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的a%，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，求a的值．8．2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）．（1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行场比赛；（2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？9．阅读材料，回答下列问题：反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为1300，求这个两位数．10．为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；（2