2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题三立体几何微专题2立体几何与空间向量大题考法1平行与垂直关系的证明及线面角的求解

大题考法1平行与垂直关系的证明及线面角的求解(2023·茂南区校级三模)如图1，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点．将△ADE沿DE折至△PDE(如图2)，使得PB＝eq\r(10).(1)证明：平面PDE⊥平面BCDE；(2)若点M在棱PD上，当MB与平面PDE所成角最大时，求MB的长．(1)证明：取DE的中点O，因为△ABC是等边三角形，所以AO⊥DE，因为△ABC的边长为4，所以AO＝PO＝eq\r(3)，在△BOE中，BE＝2，EO＝1，∠BEO＝eq\f(2π,3)，由余弦定理BO2＝BE2＋EO2－2BE×EOcos∠BEO，得BO2＝22＋12－2×2×1×(－eq\f(1,2))＝7，因为PB2＝BO2＋PO2，所以PO⊥OB，又因为DE∩OB＝O，DE，OB⊂平面BCDE，所以PO⊥平面BCDE，又因为PO⊂平面PDE，所以平面PDE⊥平面BCDE.(2)解：取BC的中点N，则ON⊥DE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(eq\r(3)，－2，0)，P(0，0，eq\r(3))，D(0，1，0)，设eq\o(PM,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，因为eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，1，－eq\r(3))，所以eq\o(PM,\s\up6(→))＝(0，λ，－eq\r(3)λ)，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，λ＋2，eq\r(3)－eq\r(3)λ)，因为PO⊥平面BCDE，ON⊂平面BCDE，所以ON⊥PO，又因为ON⊥DE，PO∩DE＝O，PO，DE⊂平面PDE，所以ON⊥平面PDE，所以平面PDE的一个法向量为eq\o(ON,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0，0)，记MB与平面PDE所成角为θ，则sinθ＝|eq\f(\o(ON,\s\up6(→))·\o(BM,\s\up6(→)),|\o(ON,\s\up6(→))||\o(BM,\s\up6(→))|)|＝eq\f(3,\r(3)\r(（－\r(3)）2＋（λ＋2）2＋（\r(3)－\r(3)λ）2))＝eq\f(\r(3),\r(4λ2－2λ＋10))，因为当λ＝eq\f(1,4)时，sinθ取得最大值，此时θ最大，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，eq\f(9,4)，eq\f(3\r(3),4))，所以|eq\o(BM,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(39),2).利用向量求直线与平面所成的角(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．注意：直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．(2023·汕头潮阳区三模)如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求直线AC与平面BCE所成角的正弦值．(1)证明：因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，因为AO⊂面ABD，面ABD⊥面BCD，且面ABD∩面BCD＝BD，所以AO⊥面BCD，又CD⊂面BCD，所以AO⊥CD.(2)解：以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴，垂直OD且过O的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设OA＝m，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，则C(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)，0)，D(0，1，0)，B(0，－1，0)，A(0，0，m)，由DE＝2EA，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(EA,\s\up6(→))，故E(0，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)m)，因为eq\o(EB,\s\up6(→))＝(0，－eq\f(4,3)，－eq\f(2,3)m)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(3,2)，0)，设n＝(x1，y1，z1)为面EBC法向量，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(EB,\s\up6(→))·n＝－\f(4,3)y1－\f(2,3)mz1＝0，,\o(BC,\s\up6(→))·n＝\f(\r(3),2)x1＋\f(3,2)y1＝0，))令y1＝1，则z1＝－eq\f(2,m)，x1＝－eq\r(3)，所以n＝(－eq\r(3)，1，－eq\f(2,m))，因为AO⊥面BCD.则面BCD法向量可取eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0，0，m)，cos〈n，eq\o(OA,\s\up6(→))〉＝|eq\f(－2,m·\r(4＋\f(4,m2)))|＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝1，所以OA＝1，所以A(0，0，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)，－1)，n＝(－eq\r(3)，1，－2)，设