2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数微专题2基本初等函数函数与方程小题考法2函数与方程

小题考法2函数与方程(1)(2023·广州黄埔区校级模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2\a\vs4\al(|x－1|)－1，0<x≤2，,\f(1,2)f（x－2），x>2，))则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为()A．－32B．32C．16D．8(2)(2023·汕头潮阳区三模)已知函数f(x)＝ae2x－x2有三个零点，则实数a的取值范围是()A．[0，eq\f(1,e2))B．(0，eq\f(1,e2))C．[0，eq\f(4,e2))D．(0，eq\f(4,e2))解析：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又函数g(x)＝xf(x)－1，所以g(－x)＝(－x)f(－x)－1＝(－x)[－f(x)]－1＝xf(x)－1＝g(x)，所以函数g(x)是偶函数，所以函数g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的，所以函数g(x)在[－6，6]上所有的零点的和为0，所以函数g(x)在[－6，＋∞)上所有的零点的和，即函数g(x)在(6，＋∞)上所有的零点之和，由0<x≤2时，f(x)＝2|x－1|－1，即f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，0<x≤1，,2x－2，1<x≤2，))所以函数f(x)在(0，2]上的值域为[eq\f(1,2)，1]，当且仅当x＝2时，f(x)＝1，又因为当x>2时，f(x)＝eq\f(1,2)f(x－2)所以函数f(x)在(2，4]上的值域为[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]，函数f(x)在(4，6]上的值域为[eq\f(1,8)，eq\f(1,4)]，函数f(x)在(6，8]上的值域为[eq\f(1,16)，eq\f(1,8)]，当且仅当x＝8时，f(x)＝eq\f(1,8)，函数f(x)在(8，10]上的值域为[eq\f(1,32)，eq\f(1,16)]，当且仅当x＝10时，f(x)＝eq\f(1,16)，故f(x)<eq\f(1,x)在(8，10]上恒成立，g(x)＝xf(x)－1在(8，10]上无零点，同理g(x)＝xf(x)－1在(10，12]上无零点，依此类推，函数g(x)在(8，＋∞)无零点，综上函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.故选D.(2)函数f(x)＝ae2x－x2(a∈R)有三个零点，即为f(x)＝0有3个实根，可得a＝eq\f(x2,e2x)有3个实根，设g(x)＝eq\f(x2,e2x)，可得g′(x)＝eq\f(2x（1－x）,e2x)，由0<x<1时，g′(x)>0，g(x)递增；x>1或x<0，g′(x)<0，g(x)递减，可得x＝0处g(x)取得极小值0，x＝1处取得极大值eq\f(1,e2)，画出y＝g(x)的图象和直线y＝a，可得：当0<a<eq\f(1,e2)时，y＝g(x)和y＝a的图象有3个交点，故选B.答案：(1)D(2)B函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．1．(2023·广州荔湾区校级模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,m)，0≤x<1，,\f(－x,m（x＋1）)，－1<x<0，))g(x)＝f(x)－4x－1.若函数g(x)在区间(－1，1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是()A．{－1}∪[eq\f(1,4)，＋∞)B．(－∞，－1]∪[eq\f(1,4)，＋∞)C．{－1}∪[eq\f(1,5)，＋∞)D．{－1}∪(eq\f(1,5)，1)解析：令h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，0≤x<1，,\f(－x,x＋1)，－1<x<0，))则f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,m)，0≤x<1，,\f(－x,m（x＋1）)，－1<x<0，))＝eq\f(1,m)h(x)，令g(x)＝f(x)－4x－1，即f(x)＝4x＋1，故eq\f(1,m)h(x)＝4x＋1，所以h(x)＝4mx＋m，作出函数h(x)的图象如图所示，函数g(x)的零点个数即为函数y＝h(x)的图象与直线y＝4mx＋m的交点个数，直线y＝4mx＋m过定点(－eq\f(1,4)，0)，当直线y＝4mx＋m过点(1，1)时，m＝eq\f(1,5)；当直线y＝4mx＋m与曲线y＝eq\f(－x,x＋1)＝eq\f(1,x＋1)－1(－1<x<0)相切时，设切点坐标为(x0，eq\f(1,x0＋1)－1)，由y′＝－eq\f(1,（x＋1）2)，故切线的斜率为k＝－eq\f(1,（x0＋1）2)，所以－eq\f(1,（x0＋1）2)＝eq\f(\f(1,x0＋1)－1－0,x0＋\f(1,4))，解得x0＝－eq\f(1,2)，则4m＝－eq\f(1,（－\f(1,2)＋1）2)＝－4，解得m＝－1，结合图象可知，当m≥eq\f(1,5)或m＝－1时，函数y＝h(x)的图象与直线y＝4mx＋m只有一个交点，即函数g(x)在区间(－1，1)上有且仅有一个零点，所以实数m的取值范围是{－1}∪[eq\f(1,5)，＋∞)．故选C.答案：C2．(2023·高州一模)函数f(x)＝eq\f(－x2＋4x－4,ex)，若关于x的方程f2(x)－2nf(x)＋eq\f(4,e8)＝0有6个不同的实数解，则实数n的取值范围为________________．解析：f(x)＝eq\f(－x2＋4x－4,ex)的定义域为R，所以f′(x)＝eq\f(（－2x＋4）ex－（－x2＋4x－4）ex,（ex）2)＝eq\f(x2－6x＋8,ex)＝eq\f(（x－2）（x－4）,ex)，所以当2<x<4，f′(x)<0，当x<2或x>4时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，2)，(4，＋∞)上单调递增，在(2，4)上单调递减，其中f(2)＝0，f(4)＝－eq\f(4,e4)，f(x)＝eq\f(－（x－2）2,ex)≤0令f(x)＝t，要想关于x的方程f2(x)－2nf(x)＋eq\f(4,e8)＝0有6个不同的实数解，则方程t2－2nt＋eq\f(4,e8)＝0在(－eq\f(4,e4)，0)上有两个根，则Δ＝4n2－eq\f(16,e8)>0，解得n>eq\f(2,e4)或n<－eq\f(2,e4)，不妨设方程的两个根为t1，t2，且t1<t2，则t1t2＝eq\f(4,e8)>0，由两根均小于0，所以t1＋t2＝2n<0，则n<－eq\f(2,e4)，令g(t)＝t2－2nt＋eq\f(4,e8)，则