4.3.1 等比数列的概念（八大题型）

4．3．1等比数列的概念【题型归纳目录】题型一：等比数列的判断题型二：等比数列的通项公式及其应用题型三：等比数列的证明题型四：等比中项及应用题型五：等比数列的实际应用题型六：等比数列通项公式的推广及应用题型七：等比数列性质的应用题型八：灵活设元求解等比数列问题【知识点梳理】知识点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．知识点诠释：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列；⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了．知识点二、等比中项如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．知识点诠释：①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项．②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一．③当时，、、成等比数列．④是、、成等比数列的必要不充分条件．知识点三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为：推导过程：（1）归纳法：根据等比数列的定义可得：∴；；；……当n=1时，上式也成立∴归纳得出：（2）叠乘法：根据等比数列的定义可得：，，，……，把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即又a1也符合上式∴．（3）迭代法：∴．知识点诠释：①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等比数列的通项公式的推广已知等比数列中，第项为，公比为，则：证明：∵，∴∴由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况．知识点四、等比数列的性质设等比数列的公比为①若，且，则，特别地，当时．②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为．③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．知识点五、等比数列中的函数关系等比数列中，，若设，则：（1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点．①当且时，等比数列是递增数列；②当且时，等比数列是递减数列；③当且时，等比数列是递减数列；④当且时，等比数列是递增数列．（3）当时，等比数列是摆动数列．知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列．【方法技巧与总结】等比数列常用的两种解题方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解；（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁．2、性质法（利用等比数列的性质解题）（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量．【典型例题】题型一：等比数列的判断例1．（2023·全国·高二随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（

）．A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列【答案】B【解析】设新数列为，则，因为为等比数列，故，故，而，故为等比数列且公比为，故选：B.例2．（2023·高二课时练习）已知数列是等比数列，下面的数列中必为等比数列的个数是（

）①

②

③

④A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，对于①，，数列为等比数列，①正确；对于②，当时，，此时数列不是等比数列，②错误；对于③，，数列为等比数列，③正确；对于④，，当时，不是等比数列，④错误.故选：B.例3．（2023·贵州黔东南·高二校考阶段练习）数列1，1，1，…，1，…必为（

）A．等差数列，但不是等比数列 B．等比数列，但不是等差数列C．既是等差数列，又是等比数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列【答案】C【解析】数列1，1，1，…，1，…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列.故选：C.变式1．（2023·江西南昌·高一校考阶段练习）如果数列是等比数列，那么（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列【答案】C【解析】对于C，设等比数列的公比为，则，所以为非零常数，则数列是等比数列，故C正确；对于ABD，取，则，数列是等比数列，则，，，故，，，所以，则数列不是等比数列，故A错误.而，，，显然，所以数列不是等比数列，故B错误.而，，，则，所以数列不是等比数列，故D错误.故选：C.变式2．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（

）.A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对数列{}，，若，则可得，此时{}不是公比为2的等比数列；若{}是公比为2的等比数列，则，即，故”是“{}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件，故选：B变式3．（2023·高二课时练习）已知是公比不为1的等比数列，则以下数列：①；②；③；④；⑤，其中等比数列的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，，对于①，因为不是常数，所以不是等比数列，故①不正确；对于②，为非零常数，所以是等比数列，故②正确；对于③，为非零常数，所以是等比数列，故③正确；对于④，为非零常数，所以是等比数列，故④正确；对于⑤，为非零常数，所以是等比数列，故⑤正确.故选：D【方法技巧与总结】一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．题型二：等比数列的通项公式及其应用例4．（2023·高二课时练习）在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【解析】（1）等比数列中，，，则.（2）等比数列中，，，，由，可得.（3）等比数列中，，，由，可得.（4）等比数列中，，，由，可得.例5．（2023·高二课时练习）等比数列满足：，，公比．求的通项公式．【解析】由，且，则解得，，或，，又公比，则数列为递减数列，所以，，则，得，则，所以数列的通项公式为．例6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和满足：.求的通项公式；【解析】由已知，当时，，解得，当时，，则，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.变式4．（2023·高二课时练习）已知数列为等比数列．(1)若，，求；(2)若，，求和q；(3)若，，求.【解析】（1）因为数列为等比数列，且，，所以，（2）因为，，所以，解得，（3）因为，，所以，由题意可知，所以，所以，解得或，当时，，所以，当时，，所以，综上或变式5．（2023·高二课时练习）已知数列是公比为q的等比数列．(1)若，，求的通项公式；(2)若，，，求n．【解析】（1）由等比数列的通项公式可知，，两式相除得，即．所以．因此，这个数列的通项公式是．（2）因为，，所以．又，因此，即．变式6．（2023·西藏拉萨·高二校考期中）在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求.【解析】（1）因为是等比数列，且，，所以（2）因为是等比数列，设公比为，所以，故.【方法技巧与总结】等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．题型三：等比数列的证明例7．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知数列满足，

(1)求(2)若，求证数列是等比数列并求数列的通项公式(3)求数列的通项公式【解析】（1）取，则.（2）∵，又∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴数列是以公比为2的等比数列，∴（3）∴∴例8．（2023·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了．预计以后每年年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．(1)用表示与，并写出与的关系式；(2)求证：当时，数列为等比数列，并说明的现实意义；(3)若公司希望经过年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的近似值（取整数）．【解析】（1）依题意，，，.（2）由（1）知，，则，当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，当时，，才能保证每年投入生产高于万元.（3）由（2）知，数列是以为首项，为公比的等比数列，因此，即，由，得，解得，所以企业每年上缴资金约为万元.例9．（2023·福建福州·高二校考期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．(1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列的通项公式．【解析】（1）因为，所以，所以，又，所以，因为，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列；是以为首项，公比为的等比数列，所以.变式7．（2023·北京丰台·高二统考期中）已知数列满足，且．(1)设数列满足，证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式．【解析】（1），，，，因为，故，．是首项，公比的等比数列．（2）由（1）知，，又，所以，所以．故数列的通项公式为．变式8．（2023·福建宁德·高二统考期中）已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.【解析】（1）由，可知，，所以可得，即，而，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.（2）不等式对于恒成立，即对于恒成立，即对于恒成立.设，由，当时，，即，即，当时，，即，即，所以最大，，所以，故的最小值为.变式9．（2023·高二课时练习）数列中，，，且是以3为公比的等比数列，记．(1)求、、、的值；(2)求证：是等比数列．【解析】（1）由数列中，，，且数列是以3为公比的等比数列，可得，则，解得，又由，解得，同理可得.（2）证明：由，可得，则，所以数列的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且首项分别为，公比为，所以，因为，所以且，所以数列是首项为，公比为的等比数列.变式10．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知数列的首项，.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式.【解析】（1）因为，所以，即，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可求得，所以，即.【方法技巧与总结】1、定义法：（常数）为等比数列；2、中项法：（）为等比数列；3、通项公式法：（，为常数）为等比数列．4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可．题型四：等比中项及应用例10．（2023·新疆巴音郭楞·高二八一中学校考期中）数1与4的等差中项，等比中项分别是（

）A．， B．，2 C．，2 D．，【答案】D【解析】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为；根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2.故选：D.例11．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校考期中）在等比数列中，，，则与的等比中项是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知所以与的等比中项是，故选：A例12．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为，则，，.故选：B.变式11．（2023·陕西西安·高二校考期中）若为实数，数列﹣1，，﹣25是等比数列，则的值为（

）A．5 B．﹣5 C． D．﹣10【答案】B【解析】根据题意，设该数列的公比为q，则有，联立可得：.故选：B．变式12．（2023·贵州·高二校联考期末）已知三个数成等比，且1和4为其中的两数，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【解析】三个数成等比，且1和4为其中的两数则.若为1、4其中一个.则或，若不为1、4其中一个则,解得，的最小值为.故选：B.变式13．（2023·山东潍坊·高二统考期末）设，，，是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去得到的新数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】根据题意，成等比数列，则，则，则.故选：B．变式14．（2023·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）已知，，，四个实数成等差数列，4，，1三个正实数成等比数列，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，，四个实数所成等差数列的公差为，则由题意可得，又为正实数，故.故选：A【方法技巧与总结】（1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项．（3）a，G，b成等比数列等价于．题型五：等比数列的实际应用例13．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（

）．参考数据：A．万亿 B．万亿 C．万亿 D．万亿【答案】B【解析】依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列，其中，公比，所以2022年进出口累计总额为（万亿）.故选：B例14．（2023·浙江杭州·高二统考期末）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为，公比为的等比数列，第四个单音的频率为.故选：B.例15．（2023·浙江宁波·高二统考期末）取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于，则n的最大值为（

）（参考数据：）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度之和为，第三次操作去掉的线段长度之和为，…，第n次操作去掉的线段长度之和为，由题意知，，则，则，因为，所以指数函数为增函数，又，，所以，故选：B.变式15．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）某种细菌在生长过程中，每分钟分裂一次（由一个分裂为两个），经过2小时后，此细菌可由一个分裂成（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【解析】依题意，分钟后细菌的个数为个，分钟后，细菌的个数为个，每过分钟细菌数量变为原来的倍，所以小时后，即为分钟后，细菌的个数应为个.故选：D.变式16．（2023·安徽·高二校联考开学考试）某高科技企业为一科技项目注入启动资金1000万元作为项目资金，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年后，该项目资金达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标，则的最小值为（，）（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】由题意设经过年后，该项目资金为万元，则，且，得，得，所以令，得，所以至少要经过5年，项目资金才可以达到或超过翻一番的目标.故选：B【方法技巧与总结】等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．题型六：等比数列通项公式的推广及应用例16．（2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，公比，若，则______．【答案】【解析】等比数列中，公比，所以．故答案为：．例17．（2023·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则______．【答案】【解析】因为，且，所以令，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故．故答案为：．例18．（2023·广西·平桂高中高二阶段练习）数列是等比数列，且，，则___________．【答案】16【解析】设的公比为q，则，∴，∴﹒故答案为：16．变式17．（2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，且，则______．【答案】47【解析】∵，∴数列是公比的等比数列，∴，∴．故答案为：47变式18．（2023·江苏·高二专题练习）在等比数列中，存在正整数m，有，，则＝________．【答案】1536【解析】由题意知q5＝＝8，则．故答案为：1536【方法技巧与总结】（1）应用，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求．（2）等比数列的单调性由，共同确定，但只要单调，必有．题型七：等比数列性质的应用例19．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等比数列，的前项积分别为，，若，则.【答案】【解析】根据题意，等比数列，的前项积分别为，，则，，故．故答案为：.例20．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）在正项等比数列中，若，则．【答案】【解析】在正项等比数列中，因为，可得，则.故答案为：.例21．（2023·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知数列为等比数列，且，则．【答案】【解析】由为等比数列，则，又，则，即，所以．故答案为：．变式19．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知在等比数列中，，是方程的两个实数根，则．【答案】【解析】∵，是方程的两个实数根，∴，，故，，根据等比数列的性质有：且，故．故答案为：变式20．（2023·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）若为等差数列，是其前项的和，且，为等比数列，，则的值为.【答案】/【解析】∵为等差数列，是其前项的和，且由性质知，∴，解得：.∵为等比数列，∴由性质知，，解得：.当时，；当时，；综上，.故答案为：.变式21．（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数，数列为等比数列，，，．【答案】【解析】因为，所以.又因为数列为等比数列，，所以，所以设①则②由①+②得：所以故答案为：变式22．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）若等比数列满足，，则．【答案】112【解析】，故，解得，故．故答案为：112变式23．（2023·云南昆明·昆明一中校考一模）已知等比数列的各项都是正数，，，则的公比为.【答案】【解析】由等比数列下标的性质且的各项都是正数，可求得，再由，求得答案.因为为各项都是正数的等比数列，所以由，得且.，则故答案为：变式24．（2023·辽宁锦州·高二统考期末）在由正数组成的等比数列中,则.【答案】16【解析】设等比数列的公比为q(q＞0)，则，所以.故答案为：16．变式25．（2023·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在等比数列中，若，，则.【答案】64【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，可得，所以.故答案为：64.变式26．（2023·江西·高三校联考开学考试）已知正项等比数列的前项积为，若是中唯一的最小项，则满足条件的的通项公式可以是（写出一个即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】令，则数列单调递增，且，，，，，，所以，，，，即，当时，即，所以，所以是中唯一的最小项，故符合题意.故答案为：（答案不唯一）变式27．（2023·贵州贵阳·高三统考开学考试）已知数列是等比数列且各项均为正数，，，数列的前n项积为，则的最大值为．【答案】/【解析】因为数列是等比数列，且，，所以，，即，解得（舍去），所以，所以是递减数列，又，所以当时，，当时，，所以，所以的最大值为，故答案为：变式28．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时，．【答案】6【解析】在等比数列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得单调递减，且，因为，，所以当时，，当时，，所以当取得最大值时，．故答案为：6变式29．（2023·高二课时练习）等比数列中，，，则公比q的值为.【答案】或【解析】∵，，∴是方程的两根，∴或，∵，∴或，∴或故答案为：或【方法技巧与总结】利用等比数列的性质解题（1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．（2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．题型八：灵活设元求解等比数列问题例22．（2023·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，且最后一个数是25，求此四个数．【解析】设前三个数为．所以前三个数为因为后三个数成等比数列，所以，所以或．当时，不满足题意，所以舍去．所以这四个数为．例23．（2023·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数．【解析】设四个数分别为a，b，c，d，则，，，，将代入得：，将，代入得：，将，代入得：，解得：或2，当时，则，这与前三个数成等比数列，矛盾，舍去；当时，解得：，，，故满足要求，故这四个数为1，2，4，6．例24．（2023·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．【解析】设四个数依次为、、、．则，解得或．故所求的四个位数依次为2，4，8，12或，，，．变式30．（2023·江苏·高二课时练习）已知三个数成等比数列，它们的积为，它们的平方和为，求这三个数．【解析】不妨设这三个数分别为、、，则这三个数的乘积为，这三个数的平方和为，整理可得，解得或．若，则这三个数分别为、、；若，则这三个数分别为、、；若，则这三个数分别为、、；若，则这三个数分别为、、．综上，这三个数分别为、、或、、或、、或、、．变式31．（2023·全国·高二专题练习）有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为，中间两个数的和为，求这四个数．【解析】设前三个数分别为、、，则第四个数为．由题意得，解得或．当，时，这四个数为、、、；当，时，这四个数为、、、．变式32．（2023·全国·高二课时练习）已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数．【解析】设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则，解得或，故所求四个数依次为或【方法技巧与总结】几个数成等比数列的设法（1）三个数成等比数列设为．推广到一般：奇数个数成等比数列设为，（2）四个符号相同的数成等比数列设为．推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为，（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为．【过关测试】一、单选题1．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）在等比数列中，，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】设该等比数列的公比为，因为，所以由，因此．故选：C.2．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）在等比数列中，，，成等差数列，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由于，，成等差数列，所以，所以.故选：C3．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等比数列中，若，则（

）A． B．3 C．±3 D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A．4．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为，则，，.故选：B.5．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）在等比数列中，的前项之积为，则的公比（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由等比数列中，的前项之积为，可得，因为，所以，可得.故选：D.6．（2023·山东潍坊·高三统考期中）设等差数列的前项和为，且公差不为，若，，构成等比数列，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是等差数列的前项和，所以，得，因为，，成等比数列，所以，设等差数列的首项为，公差为，则，因为，解得，，，所以.故选：D.7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵数列是等差数列，且，∴，可得，则.∵数列是等比数列，∴，又由题意，∴，∴，∴，∴.故选：D．8．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知数列满足且.若是递增数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据，可得，所以，所以，从而可得数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，整理有，因为所以整理得：即故选：C.二、多选题9．（2023·山东青岛·高二统考期中）已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则（

）A．将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列B．取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列C．从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列D．数列不是等比数列【答案】ABC【解析】由于数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，对于A：将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列，故A正确；对于B：取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列且公比为，故B正确；对于C：从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列且公比为，故C正确；对于D：数列是一个无穷等比数列，故数列仍是公比为的等比数列，故D错误．故选：ABC．10．（2023·山东淄博·高二校考阶段练习）已知数列的首项为4，且满足，则（

）A．为等差数列 B．为递增数列C．为等比数列 D．的前项和【答案】BCD【解析】由可得，所以数列为等比数列，且公比为2，故A错误，C正确，，由于均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以为递增数列，B正确，，设的前项和为，则，D正确，故选：BCD11．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）在数列中，，，下列结论正确的是（

）A．数列是等比数列B．数列是等差数列C．D．数列是递增数列【答案】BC【解析】由，整理得，故数列是以3为首项，6为公差的等差数列，则B选项正确，A选项错误，由等差数列可得，所以，，则C选项正确，由通项公式可知数列是递减数列，D选项错误.故选：BC.12．（2023·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前n项和是，，，成等比数列，且，则下列正确的是（

）A．，，成等比数列B．数列单调递减C．，，也成等比数列D．的最大值为【答案】BD【解析】设等差数列的公差为，由题意可得，则，解得或（舍去），所以，，对于选项A，因为，则，，，所以，即，，不成等比数列，故A错误；对于选项B：因为，所以数列单调递减，故B正确；对于选项C：因为，，，可得，所以，，不成等比数列，故C错误；对于选项D：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故D正确；故选：BD.三、填空题13．（2023·福建龙岩·高二校考阶段练习）在等比数列中，，，且，则.【答案】64【解析】等比数列中，，故，结合，以及可得，设等比数列公比为q，则，故，故答案为：6414．（2023·上海·高二校考期中）等比数列的n前项和为，若，，则．【答案】3【解析】设等比数列的公比为，首项为，且，若，则，与题