第5章 函数的概念、性质及应用单元复习热考题型(解析版)

函数的概念、性质及应用本章知识综合运用知识网络知识网络函数的概念与表示方法函数的概念与表示方法题型一题型一【例题1】下列两组函数中，表示同一函数的是（

）（1）y=1-x2x+2和y=A．仅（1）是 B．仅（2）是 C．（1）（2）都是 D．（1）（2）都不是【答案】A【分析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断即可.【详解】对于（1），两个函数定义域都为x-1≤x所以（1）中两个函数是同一个函数；对于（2），y=x-y=x2-3x故选：A【变式11】如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】由图象观察离家距离的变化情况，从而确定可能路线．【详解】开始离家越来越远，中间离家距离不变，后来离家距离越来越近，因此路线是D符合题意，故选：D．【变式12】已知函数y=fx的表达式为fx=-【答案】-9或【分析】分段讨论解方程即可.【详解】当a≤0时，则fa=-当a>0时，f(a)=a2综上，a=-9或a故答案为：-9或3【变式13】设fx=x+2,x≤-1【答案】3【分析】根据分段函数的定义域，分x≤-1,-1<x【详解】若x+2=3x≤-1若x2=3-1<x<2，则若2x=3x综上：x=故答案为：3函数的奇偶性函数的奇偶性题型题型二【例题2】已知函数fx(1)求fx(2)判断fx(3)求不等式fx>1【答案】(1)-(2)奇函数，证明见解析(3)18【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．【详解】（1）要使函数fx有意义,则x解得-2<x<2，故所求函数f（2）证明：由（1）知fx的定义域为-设∀x∈-且f-x=（3）因为fx>1，所以f可得x+22-x>10，解得x所以1811所以不等式fx>1的解集是【变式21】函数f(x)=x7-ax5+bx【答案】-【分析】根据奇函数的知识求得正确答案.【详解】依题意，f(f(-所以fx所以f-故答案为：-【变式22】函数y=axxA．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据函数的奇偶性与函数值的正负确定选项.【详解】设fx=ax故fx为奇函数，A，D符合，排除B，又a>0，所以当x>0时，y=axx2+故选：A【变式23】函数y=x+1x-b的图象【答案】2【分析】利用平移变换求出给定函数的对称中心，再与给定对称中心比对即得.【详解】函数y=于是函数y=x+1x-b的图象是由函数y=b+1x的图象得y=b+1x-b的图象，再把所得图象向上平移1因此函数y=x+1x-b的图象的对称中心为故答案为：2【变式24】已知函数y=fx的表达式为fx=x+【答案】1【分析】根据题意，由奇函数的性质求出c的值，结合函数fx=x+ax【详解】根据题意，函数fx=x所以有-1+即fx=x所以f0=a故fx则f-所以x2所以fx=x故答案为：1【变式25】已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=【答案】x【分析】设x<0，则-x>0，代入解析式得f-x=x2【详解】设x<0，则：-所以：f-又因为：fx是定义在R所以：f-所以：fx故答案为：x-【变式26】已知一个奇函数y=f(x)与一个偶函数y=【答案】-【分析】按题意列方程即可【详解】记hx=x又f-解得f3故答案为：-6函数的单调性函数的单调性题型题型三【例题3】设a∈R，函数(1)若a=1，求证：函数y(2)若a>0，请判断函数y=【答案】(1)证明见解析；(2)R上的增函数，证明见解析.【分析】（1）利用奇函数的定义可证得结论成立；（2）任取x1,x2∈R，且x1>x【详解】（1）当a=1时，函数fx=由于f-所以函数y=f（2）当a>0时，函数fx为R当a>0时，f任取x1,xfx由x1>x2，得2x所以函数y=fx为【变式31】函数fx=x【答案】-∞,1/【分析】求出y=x【详解】由x2-3x+2≥0可解得x≤1或因为y=x2-3所以fx的单调递减区间为-∞故答案为：-∞【变式32】若函数fx=4x+ax在区间【答案】-【分析】利用函数在区间上的单调性，结合定义法求实数a的取值范围，【详解】函数fx=4x+ax在区间即fx由3≤x1<x2，有x由4x1x2>36，则a故答案为：-【变式33】函数y=xx【答案】-【解析】根据f(x)的解析式，可得f(x)为奇函数，当x≠0时，f(x)=xx【详解】因为y=f(所以f(-x)=-x根据奇函数的性质可得，f(x)当x=0时，y=当x≠0时，f不妨令x>0，设g(根据对勾函数的性质可得，当0<x在(0,2]上任取x1,x则f(x1因为0<x所以x1所以f(x1所以g(x)=所以f(x)=当x→0+时，f(x又f(0)=0，所以f(x根据奇函数的性质，可得f(x)=所以f(x)在故答案为：-【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分析理解，计算证明的能力，属中档题.【变式34】已知函数f(x)=|x+【答案】(0,【解析】将绝对值函数化为分段函数形式，判断单调性.【详解】由题意f(当0<x<1当12≤x<2时，函数f(当x≥2时，函数f综上所述，函数f(x)=|故答案为：(0,1【变式35】已知函数fx=logax(1)判断上述函数在区间0,1上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；(2)若t>0，利用上述函数在区间0,1上的单调性，讨论ft和f2【答案】(1)函数在区间0,1上的单调递减，证明见解析；(2)当t=1时，ft=f2t2【分析】（1）利用定义法结合对数函数单调性即可得到其单调性；（2）利用（1）中的结论即可得到大小关系.【详解】（1）fx=log证明：当0<a<1时，任取则fx因为0<x1<x2即fx1-fx2>0当a>1时，任取0<f因为0<x1<x2即fx1-fx2>0综上所述，fx=log（2）当x>1时，0<a<1时，函数f当a>1时，函数fx=由（1）fx在0,1上单调递减，在1,+当t=1时，2t2当0<t<1时，t2ft1t-2∴f当t>1时，0<2t2+1<1，所以ft综上，当t=1时，f当t>0且t≠1时，函数的定义域与值域函数的定义域与值域题型题型四【例题4】（1）求函数y=（2）求函数y=x【答案】（1）-∞,-1∪3,+【分析】（1）函数化成y=x+1x+1（2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题.【详解】（1）y=x2当x>0时，y=x+当x<0时，y=--x故函数值域为-∞（2）函数定义域为x≤2，令t=2-x,  【变式41】设f(x)=(x-a)2【答案】-【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解.【详解】因为f(当x>0时，f当x≤0时，f(x又f(0)是f(x所以a≤0a2≤1，解得-1≤故答案为：-1≤【变式42】求下列函数的值域（1）y=（2）y=（3）y=（4） y（5） y（6）y=（7）y=（8）y（9）y=（10）y=【答案】（1）(-∞,-1)∪(-1,+∞)；（2）(0,5]；（3）[-12,+∞)；（4）{y|y≠1且y≠25}；（5）[2,4]；（6）(-∞,1]；（7）[2,2]【详解】解：（1）分式函数y=定义域为{x|x≠4}，故故值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)；（2）函数y=52则y=5t（3）函数y=1-2x-x易见函数y=1-2x故函数y=1-2x-x在x故值域为[-1（4） y=故值域为{y|y（5） y=4-而0≤-(x-∴0≤-(x即2≤y≤4，故值域为（6）函数y=x+1-2x所以x=1-t22所以t=1时，函数ymax=-（7）由题意得{x-3≥0则y2故-(x-4)2由y的非负性知，2≤y≤2（8）函数y=-x2-6x-5（9）函数y=3x故7x-2≠0，所有（10）函数y=令t=2x-1，则由x>根据对勾函数t+2t在(0,2可知t=2时，ymin【变式43】已知奇函数fx=ax+b⋅A．13或3 B．12或2 C．3 D【答案】A【分析】根据奇偶性求得b，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．【详解】因为fx是奇函数，所以f-x即a-x+b⋅经检验b=-1符合题意，所以f当a>1时，0<则函数y=ax在-1,1上单调递增，所以fx=a所以，f(x)解得a=3或a=-13(舍去当0<a<1时，则函数y=ax在-1,1上单调递减，所以fx=a所以，f(x)解得a=13或a=-3(舍去综上，a=13故选：A．【变式44】记y=log0.71-16x2的减区间D，则【答案】-【分析】由复合函数的单调性判断方法求出区间D，由对勾函数的单调性求出函数y=8【详解】y=log0.71-16x2的定义域为x∈-14,y=令t=2x-1，由x∈(-因为y=2t+3t所以当t=-62即x=2-64时，函数取得最大值1-26故答案为：-【变式45】已知幂函数fx=2(1)求fx(2)若fx>3x+kx-【答案】(1)f(2)-【分析】（1）根据幂函数的定义求出m的值即可；（2）恒成立问题，参变分离，求最值.【详解】（1）因为fx所以2m2-5m又m=12时，f(所以m=2，f（2）由（1）得，f(x)=x2，即x2>3x+kx-1在0,1当x=0时,0<1当x∈0,1时，得k<x+1由对勾函数的性质得，x+1x-所以x+1x所以实数k的取值范围为-∞【变式46】已知函数fx(1)若函数fx的值域是-∞,0(2)若函数fx在-1,0上单调递减，求实数(3)是否存在实数m，使得fx在2,3上的值域恰好是2,3？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由【答案】(1)0或4(2)m(3)存在，m【分析】（1）根据二次函数的性质即可根据判别式求解，（2）根据二次函数的单调性即可求解，（3）根据根据对称轴与所给区间的关系，分类讨论函数的单调性，即可根据最值求解.【详解】（1）∵函数fx=-x且二次函数fx图象∴fx有且只有一个值即Δ=解得m=0或m∴m的值为0或（2）函数fx=-x2要使fx在-1,0上是单调递减的，应满足∴m的取值范围是m（3）当m2≤2，即m≤4时，f若存在实数m，使fx在2,3上的值域是2,3则有f2=3f3=2当m2≥3，即m≥6时，f则有f2=2f3=3当2<m2<3，即4<m<6所以fx在x∴f解得m=-2或6∴综上，存在实数m=6，使fx在2,3上的值域恰好是函数的应用函数的应用题型题型五【例题5】某新建居民小区欲建一面积为700m2的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计方案为：绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（单位：m），人行道的占地面积为Sm(1)设矩形绿地的南北侧边长为x m，试写出S关于(2)如何设计绿地的边长，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到）【答案】(1)S=8x+(2)绿地的南北侧边长约，东西侧边长约时，人行道占地面积最小.【分析】（1）由题设东西侧边长为700xm，则（2）应用基本不等式求S的最小值，并求出对应x值，即可得结论.【详解】（1）由矩形绿地的南北侧边长为x m，则东西侧边长为由题意S=(x+6)700x（2）根据平均值不等式，得8x当且仅当8x=4200此时S达到最小，700x所以，当绿地的南北侧边长约为，东西侧边长约为时，人行道占地面积最小．【变式51】已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=3x-1-1,0<A．-23 B．23 C．0【答案】D【分析】将原方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合函数性质求解答案即可.【详解】由于函数y=fx是定义在R作y=关于x的方程fx解得fx=2或由于y=2与y则y=fx图像与y同理，x＜0时，m=-23故选：D【变式52】如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形MNPQ构成的面积为200m2的十字形地域，现计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为420元/m2；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/m2.设总造价为(1)将S表示为x的函数；(2)当x为何值时，总造价S最小？并求出这个最小值．【答案】(1)S(2)10米，11800元【分析】（1）设AM=y，求得y=50x（2）由（1）中S关于x的函数关系式，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由题意，正方形MNPQ构成的面积为200m2且矩形MNPQ的面积为x2m2设AM=y，则4xy且200-x2>0所以S=420=400x所以S关于x的函数关系式为S=400（2）解：由（1）知，S=4由S=400当且仅当400x2=即AD的长为10米时，总造价为S最小，且最小值为11800元.【变式53】某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为x2+2(1)试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？(2)该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.试问哪一种方案较为划算？请说明理由.【答案】(1)从第三年开始盈利.(2)两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.【分析】（1）列出纯收入的函数表达式，解纯收入大于0的不等式即可.（2）分别计算两种方案的盈利和时间，比较后得结论.【详解】（1）由题意可知，总收入扣除支出后的纯收入y=12-x2+10由x∈N（2）方案①：纯收入y=-x2+10x以1万元的价格卖出该设备，共盈利10万元；方案②：年均盈利z=由x∈N*，x+16z=-当4年后年均盈利达到最大值2万元时，以2万元的价格卖出该设备，共盈利4×2+2=10万元.两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.【变式54】由于突发短时强降雨，某中学地下车库流入大量雨水．从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y（单位：m3）与时间t（单位：h）成正比，1小时后雨停，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y与t的函数关系式为y=k(1)求y关于t的函数表达式；(2)已知该地下车库的面积为256m2，当积水深度小于等于0.05m【答案】(1)y=(2)3小时以后【分析】（1）如图，该曲线是正比例函数和指数型函数连接而成，利用它们都经过(1,200)求解；（2）当t≥1时，解不等式500×2【详解】（1）由图可知，当0≤t≤1时，当t>1时，y∵图象经过点1,200，∴k×25故y=（2）令500×2即25t≤∵消防部门从t=1时开始排水，故至少需要3个【变式55】近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格fx（单位：元）与时间x（单位：天）1≤x≤30,x∈N*的函数关系满足fx=10+kx15202530g105110105100设该文化工艺品的日销售收入为Mx（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：①gx=ax+b；②gx=请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量gx与时间x(3)利用问题（2）中的函数gx，求Mx【答案】(1)k(2)选择函数模型②gx=(3)961【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得k的值.（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得a,b,m（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.【详解】（1）因为第15天的日销售收入为1057元，所以M15=f（2）由表中的数据知，当时间x变化时，gx先增后减而函数模型①gx=ax+b；③所以选择函数模型②gx由g15=g25g15=5所以日销售量gx与时间x的变化关系为g（3）由（2）知g所以M即Mx当1≤x≤20，x当且仅当10x=90x当20<x≤30，x∈所以fx综上所述：当x=3时，fx函数零点问题函数零点问题题型题型六【例题6】判断函数fx=2x3-【答案】0.75【分析】首先由f0⋅f1<0结合fx【详解】因为fx所以f0=-1<0因为f0⋅f1<0因为fx=2x所以fx有且只有一个零点x取区间0,1的中点x1=0.5，所以f0.5⋅f取区间0.5,1的中点x2=0.75，所以f0.75⋅f取区间0.75,1的中点x3=0.875，所以f0.75⋅f取区间0.75,0.875的中点x4=0.8125，所以f0.75⋅f因为0.8125-0.75=0.0625<0.1所以fx=2x【变式61】已知幂函数y=f(x)的图像过点P【答案】0，1，-【分析】设幂函数解析式，求解函数解析式，解方程即可得函数函数y=f【详解】设幂函数fx=xα，因为函数y=f所以fx=x3，则函数y=f(所以函数y=f(x)-x的零点为故答案为：0，1，-1【变式62】利用二分法计算函数fx=lnx-x+7在区间【答案】9,9.25【分析】利用二分法的定义即可求解.【详解】由题意可知，取区间9,9.5的中点x1f9f9.25所以f9所以第二次操作后确认在区间9,9.25内有零点.故答案为：9,9.25.【变式63】用“二分法”求方程x3+x-4=0在区间1,3内的实根，首先取区间中点【答案】3【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数f(因为f(1)=-2<0，f所以下一个有根区间是(1,2)，那么下一个取的点是x=1.5故答案为：1.5【变式64】已知函数f(ffffff（1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点；（2）若f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f（x）=0的一个近似解（精确到）.【答案】（1）证明见解析；（2）1.3.【分析】（1）根据f(（2）根据（1）知f(x)=2x3-【详解】（1）∵f(∴f（1）=－1＜0，f（2）=7＞0，∴f（1）·f（2）=－7＜0且f(x)=2x3所以f（x）在区间（1，2）上存在零点；（2）由（1）知f(x)=2x3由表知，f（1）=1，f（）=1，∴f（1）·f（）＜0，∴f（x）的零点在（1，）上，∵f（），∴f（）·f（）＜0，∴f（x）的零点在（，）上，∵f（），∴f（）·f（）＜0，∴f（x）的零点在（，）上；∵f（）=－，∴f（）·f（）＜0，∴f（x）的零点在（，）上，∵f（），∴f（）·f（）＜0，∴f（x）的零点在（，）上，由于｜－｜＜0，且，，所以f（x）=0的一个精确到的近似解是1.3.反函数反函数题型题型七【例题7】（1）函数f(x)的图像与函数y=ln(x【答案】e+1【分析】根据反函数性质求解.【详解】在y=ln(x-由反函数的性质知f(1)=故答案为：e+1（2）若函数fx=x2x≥0的反函数【答案】x【分析】根据反函数的定义即可求解.【详解】由x≥0，得f(x)≥0，由所以f-故答案为：xx【变式71】函数y=2x【答案】y=log【分析】根据反函数的定义即可求解.【详解】当x≥1时，原函数的反函数为x=2y即原函数的反函数为y=log2故答案为：y=log2【变式72】已知a∈R，函数f(x)=log2(【答案】3【分析】由条件可得f(1)=2，然后求出a的值，然后可得答案【详解】因为f-1(2)=1，所以f(1)=2，所以所以f(5)=故答案为：3【变式73】设常数a∈R，若函数f(x)=log2(【答案】2【分析】根据原函数和反函数图象关于直线y=x【详解】由题意得f(x)=log2所以log2(6+a故答案为:2.【变式74】已知函数f((1)若0<f(1-2x)-f(2)若定义在R上奇函数g(x)满足g(x+2)=-g(x)，且当【答案】(1)3-2(2)h【分析】(1)根据对数函数的单调性解对数不等式；(2)根据奇函数的定义结合反函数的求解方法求解.【详解】（1）原不等式可化为0<log所以1<2-2xx+1<得3-22所以x的取值范围是3-22（2）因为g(x)是奇函数，所以g当x∈[-3,-2]时，-g(此时g(x)∈[0,1]，x当x∈(-2,-1]时，-x-g(此时，-g(x)∈[-1,0)，x=所以h(模拟练习1．已知函数y=fx与它的导函数y=f'x的定义域均为R，则“y=fx在R上严格增”A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】D【分析】通过特例可得两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.【详解】取fx=x3，则f'而f'x=3故“y=fx在R上严格增”推不出“y=取gx=12x2，而gx=1故“y=f'x在R上严格增”推不出“y故“y=fx在R上严格增”是“y=f故选：D.2．已知定义在R上的函数fx，对于给定集合A，若∀x1,x2∈R，当x1-x2P：若fx是“1封闭”函数，则fx一定是“k封闭”函数Q：若fx是“a,b封闭”函数(a,b∈N*则下列判断正确的为（

）A．P对，Q对 B．P不对，Q对 C．P对，Q不对 D．P不对，Q不对【答案】C【分析】根据定义可得∀x∈R都有f(x+1)=f(【详解】对命题P：对于集合{1},∀x1,x2∈R使x1-x2则fx2+1-f对于集合{k},∀x1,而fx所以fx即fx2+k=fx2+k对命题Q，其逆否命题为，若f(x)是“{ab}封闭”函数，则f(x)不是“[a,只需判断出其逆否命题的正误即可，∀x1,x2若ab∈[a,b]，则ab≥aab≤即∀x1,x2满足f(x)是“[a,b]封闭”所以命题Q的逆否命题为假命题，则原命题也为假命题，Q错误.故选：C【点睛】思路点睛：函数性质及命题真假判断，根据给定条件可得∀x∈R都有f(x+1)=3．若存在实数a，使得x=1是方程(x+a)2=3【答案】-【分析】根据x=1是(x+a)【详解】由题意知，(1+a)2=3+b显然b+3≥0，即b≥-3，若故b∈故答案为：-4．某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据题意可分析出出租车费用为分段函数的模型，故可以提出求解里程计价费用与里程的函数关系问题，并假