不等式关系与不等式1

11.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;不等式就是对两个代数式的大小的比较。2.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;3.在了解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;1.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;2.不等式的基本性质的应用.1.用不等式(组)表示不等关系;2.差值比较法：作差→变形→判断差值的符号;3.不等式基本性质的应用.教学过程：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.而在数学中,我们则是用不等式来表示不等关系.(一)用不等式表示不等关系引例1限速40km/h的路标,指示司机在行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是:v<40引例2某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示〈问题1:设点A与平面a的距离为d,B为平面a上的任意一点,则d<|AB问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求,600过500mm钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?解:假设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根.根据题意,应有如下的不等关系:(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:(二)不等式的基本性质1.判断两个实数大小的充要条件由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了.2.不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.不等式研究的范围是实数集R.3.同向不等式与异向不等式4.不等式的性质由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0根据两个正数的和仍是正数(2)不等式的传递性可以推广到n个的情形.后,可以把它从—边移到另一边.点评：这一定理可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.:(2)这一定理可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.(2)当两边都是正数时，两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向。点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面行“穷举”.(2)当两边都是正数时，两边同时开方所得的不等式和原不等式同向。--—45.不等式的基本性质小结---naaa(一)用不等式表示不等关系例1如图,函数y=f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x吨的函数关系,y=g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系,试问:(1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本);(2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本).例2某用户计划购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件?例3某厂使用两种零件A,B,装配两种产品甲,乙,该厂的生产能力是月产量甲最多2500件,月产量乙最多1200件,而组装一件产品,甲需要4个A,2个B;乙需要6个A,8个B.某个月,该厂能用的A最多有14000个,B最多有12000个.用不等式将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来.例4若需要在长为4000mm的圆钢上,截出长为698mm和518mm两种毛坯,问怎样写出满足上述条件所有不等关系的不等式组?(二)不等式的基本性质结论:例1是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要.证明:略--xxy思考题:nn+1)的大小.3.已知x,y均为正数,设M=--+,N=,试比较M和N的大小.分析:利用f(一1)与f(1)设法表示a,b然后再代入f(2)的表达式中,从而用f(一1)与来表示f(2),最后运用已知条件确定f(2)的取值范围.证明:略思考题:-同时成立的条件.sincsinc.4.设函数f(x)的图象为一条开口向上的抛物线.已知x,y均为不等正数,f(px+qy)<pf(x)+qf(y)1.在以下各题的横线处适当的不等号:2.选择题:2B.ab22221-a1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系“三个二次”之间的关系;2.熟练掌握一元二次不等式的解法;3.掌握简单的分式不等式、高次不等式以及绝对值不等式的解法;4.能利用分类讨论的思想讨论简单的含参一元二次不等式解法;5.理解图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想.教学过程：阅读课本的上网计时收费问题.某同学要把自己的计算机接入因特网,现在有两家ISP公司可供选择,收费标准不一样.计算并比较两种不同的收费方式,由此抽象出不等式的关系,引出一元二次不等式的概念.1.一元二次不等式的解法含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(2)一元二次不等式的解法轴的相应位置确定一元二次不等式的解集.利用“二次函数”图像和性质解一元二次不等式,首先要明确“二次函数”的开口方向及其在x轴上的截距.下表给出“三个二次”之间的关系,这是解一元二次不等式的核心:7y有两相异实数根y有两个相等实数根⑦判别式二次函数一元二次方程yx没有实数根R⑦口诀:二次不等式,系数先化正;大于取两边,小于取中间.(3)解一元二次不等式的一般步骤①利用不等式的性质,将不等式进行同解变形为一般形式(其中a>0):2221122112.简单的分式不等式解法g(x)3.简单的绝对值不等式解法4.含参数不等式解法——分类讨论在处理系数含有参数的二次不等式问题时,务必注意对参数进行讨论.例1解下列不等式0,方程无解.故不等式的解集为R.⑵法1:注意到二次项系数小于0,函数图像开口向下121第二步“求出零点”,方程的解为x=-,x=12诀”方法在解决一元二次不等式、一元高次不等式及一元分式不等式中都有着非常广泛的应用,其中所包含的同解变换思想、分类讨论思想值得同学们认真体会;另外,它的算法“步骤”更适合初学者掌握.2-x-x-4评注:⑴解简单的分式不等式及高次不等式其实跟解二次不等式的道理是相通的,无外乎将其尽量化成一次式的乘积,然后通过讨论求解.其等价性类似此例：⑵第2小题还有一种解法比较普遍,即先通分,将不等式一边化为0求值”,此法谓“穿根法”.⑵分两种情况:求实数m的取值范围.a且a————44m2)x3 a a2}例7某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度xkm/h有如下的解:设这辆汽车刹车前的速度至少为xkm/h}在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.例8一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系y=-2x2+220x若这家工厂希望在一个星期内利解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车,因为x只能取正整数所以,当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆之间时,这家工厂能够获得6000元以上的收益.1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),灵活运用二元一次不等式(组)表示的平面区域;2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;3.了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;4.培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;5.通过本节学习,着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想,理解如何用“形”去研究“数”,如何用“数去解释“形”.2.准确求得线性规划问题的最优解及最优解是整数解;3.把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.一、讲授新课1.二元一次不等式表示平面区域:成的平面区域.②作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.推导:举例说明.2.判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法1:记住下列一般性结论:方法2:取特殊点检验;对于二元一次不等式组,则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是不等式组表示的平面区域.求不等式(组)表示的平面区域的一般步骤:①先依不等式作直线,注意虚实;②取点:在直线的某一侧取一点;③确定符号,即确定直线某一侧的符号;④若为不等式组,则各不等式表示平面区域的公共部分.l3所以f(3)=[_1,20]错解中似乎没有任何漏洞,那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使出现错误呢?通过今天的学习----线性规划,我们便可以发现问题出在哪里了.线性规划的基本概念:①线性约束条件：(由不等式或不等式组构成的关于变量x,x,…,x的限制条件称为约束不等式组是一组变量x,y的约束条件,这组约束条件都是关于x,y的一次不等式,故又称线性约束条件.2等等的叫做目标函数).一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.a.满足约束条件的解(x,y)叫可行解.b.由所有可行解组成的集合叫做可行域.可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放的无限大的平面区域.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最值,最优解一般就是多边形的某个顶点,确定方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或者最后通过的顶点就是;二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线l,l,…,l的斜率为k,k,…,k，而且目标函数的直线的斜率为k,则当k<k<k时，直线l与l顶点一般是最优解;特别的,当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行(k=k)时,其最优解可能有无数i个.c.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.①画:画出约束条件表示的可行域;②移:作出目标函数,并平移确定出最优解的位置;③求:根据直线方程求解出最优解;④算:根据最优解算出最优值(最大值或最小值);⑤特:若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格.(1)建模:注意审题,根据题意列出线性规划模型;(2)求解:利用图解法求解模型(注意实际意义).表示的平面区域点,M,M(x,y)为直线l同侧的任意两点.证明:(1)M,M在直线l的异侧,则l必交MM于M设M分MM之比为λ,则MM=λMM(2)M,M在直线l的同侧,而M,M在直线l异侧所以M,M在l异侧评述:简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数;（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;（3）在可行域内求解目标函数的最优解.值.解:略2+y2的最大值.解:略小结:用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:①画:画出约束条件表示的可行域;②移:作出目标函数,并平移确定出最优解的位置;③求:根据直线方程求解出最优解;④算:根据最优解算出最优值(最大值或最小值);⑤特:若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t,甲、产品消耗量A种矿石（t）B种矿石(t)煤(t)44954资源限额（t）例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且例3某工厂用两种不同原料均可生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本1000元,运费500元,可得产品90千克;若采用乙种原料,每吨成本为1500元,运费400元,可得产品100千克,如果每月原料的总成本不超过6000元,例4某工厂家具车间造A、B型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时,漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时;又知木工、漆工每天工作分别不得简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，其求解的格式与步骤是：（1）寻找线性约束条件,线性目标函数;（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;（3）在可行域内求解目标函数的最优解例1已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?（1）求点(x,y)所在的平面区域;（2）设a>-1,在（1）所求的区域内,求函数f(x,y)=y-ax的最值.例3某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能使利润总额最大?例4要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格,每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下AA规格B规格C规格规格类型钢管类型今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根,问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管,且使所用钢管根数最少?1例5有一批钢管,长度都是4000mm,要截成500mm和600mm两种毛坯,且这两种毛坯数量之比按大于-配套,怎样3a+b21.推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理;2.理解这个定理的几何意义,并掌握定理中的不等号“>”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;3.会应用此定理求某些函数的最值;4.通过掌握公式的结构特点,运用公式的适当变形.22.均值不等式定理的应用.1.用基本不等式求最大值和最小值及等号成立条件;2.解题中的转化技巧;教学过程：一、复习引入----不等式的基本性质:在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客,你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?a+b2说明:ⅰ)我们称a+b为a,b的算术平均数,称ab为a,b的几何平均数,因而,此定理又可叙述为:两个正数的2算术平均数不小于它们的几何平均数.2正实数.Dⅲ)“当且仅当”的含义是充要条件.3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.且仅当点C与圆心重合;即a=b时,等号成立.4.推广(3次)a+b+c35.利用“均值不等式”求最值1(2)x+y为定值S,那么当x=y时,积xy有最大值-S24注：①这两个结论常常应用于求解最值问题;②具体应用时,要注意“一正、二定、三相等”;③当条件不完全具备时,应创造条件.-的值最小?最小值是多少?x2例2求下列函数的最小值,并求相应的x值.2-