2023年中考数学压轴题28 以圆为载体的几何综合问题【含答案】

___________专题28以圆为载体的几何综合问题

典例剖析.

\________________X

【例1】（2022・河北•育华中学三模）如图，在四边形488中，ZA=ZB=90°,49=4,

8c=10,sinC=%以48为直径作。O,把。。沿水平方向平移x个单位，得到。（7,A'B'

为直径AB平移后的对应线段.

备用图

⑴当x=0,且M为。。上一点时，求0M的最大值；

（2）当夕与C重合时，设。。，与。相交于点N,求点N到48的距离；

（3）当。O,与CD相切时，直接写出x的值.

【例2】（2022•黑龙江哈尔滨•中考真题）已知CH是。。的直径，点4,点8是。。上的两

个点,连接。4。8，点。，点E分别是半径。4。8的中点,连接CD,CE,BH,且440c=2乙CHB.

（1）如图1,求证：4ODC=40EC；

（2）如图2,延长CE交于点F,若CDJ.04,求证：FC=FH；

（3）如图3,在（2）的条件下，点G是丽上一点，连接AG,BG,HG,OF,若AG-.BG=5:3,HG=2,

求OF的长.

【例3】（2022•黑龙江绥化•中考真题）如图所示，在。。的内接AAMN中，NM4N=90。,

AM=2AN,作ABJ.MN于点P,交。。于另一点5,C是询上的一个动点（不与4M

重合），射线MC交线段B4的延长线于点O,分别连接4C和BC,BC交MN于点E.

D

(1)求证：△CAMCBD.

⑵若MN=10,MC=NC,求BC的长.

(3)在点C运动过程中，当tanNMOB=：时，求箓的值.

【例4】(2022•湖北荆州•中考真题)如图1,在矩形N8CO中，AB=4,/。=3,点。是边

力8上一个动点(不与点力重合)，连接。。，将沿。。折叠，得到△OE。；再以。

为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线N8于G,连接/E并延长交射线BC于F,连接EG,

设OA—x.

DCDC

(1)求证：DE是半圆。的切线；

(2)当点E落在8。上时，求x的值；

(3)当点E落在8。下方时，设△/GE与△4E5面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系

式；

(4)亶谈与此当半圆。与△8。的边有两个交点时，x的取值范围.

25.(2022•浙江温州•中考真题)如图1,4B为半圆。的直径，C为BA延长线上一点，CD

切半圆于点。，BE1CD,交CD延长线于点E,交半圆于点凡已知BC=5,BE=3.点P,

。分别在线段上(不与端点重合)，且满足黄=♦.设BQ=x,CP=y.

(1)求半圆。的半径.

(2)求y关于x的函数表达式.

(3)如图2,过点P作PRJLCE于点七连结PQ,RQ.

①当为直角三角形时，求x的值.

②作点尸关于QR的对称点尸‘，当点尸’落在上时，求累的值.

Dr

满分训练.

一、解答题【共20题】

1.(2022•黑龙江•哈尔滨市萧红中学校模拟预测)如图，在O0中，AD.BC是弦,

(2)如图2,如果4D=BC,求证：/C是。0直径；

(3)如图3,在(2)的条件下，点产在4C上，点E在N8上，AF=CD,BE=CF=4,连接

CE、BF交于点G,作HGLCE于点G,交BC干点、H,SAHCC=5,求。尸的长.

2.(2022•安徽哈肥市五十中学新校二模)如图，△ABC为。。的内接三角形，且力B为。。

的直径，DE与。。相切于点。，交AB的延长线于点E,连接。。交BC于点凡连接力。、

CD,乙E=Z.ADC.

⑴求证：AD平分Z_B4C；

(2)若CF=2DF,AC=6,求。0的半径r.

3.(2022•黑龙江・哈尔滨市第八十四中学校一模)如图，△ABC内接于为。。的直径,

交BC于点E,且BE=CE.

(1)如图1,求证：4)平分N84C；

(2)如图2,点尸为弧CZ)上一点，连接/P交8c于点凡过点尸作。。的切线，交8c的

延长线于点G,点，是尸尸的中点，求证：GH1PF；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接。尸，且=3NP4。，点火在CG上，连接DR,DR

交CH于点N,RN=RG,HN=2,DF=10,求DE的长.

4.(2022・北京市第十九中学三模)如图，AABC中AB=4C,4D平分/B4C交BC于D,

以AD为直径的。。交力8于点E,交AC于点F.

(1)求证：BD是。。切线；

(2)连接EF交OD与G、连接B。交EF于P,连接PC,若。0的半径为5,OG=3,求GE

和PC的长.

5.(2022•上海•华东师范大学松江实验中学三模)如图1,在梯形ABCD中，乙4BC=90°/。||

BC.AB=4,BC=5,AD=2.动点P在边BC上，过点P作PF||CD,与边AB交于点F,过点

F作FEIIBC,与边CD交于点E,设线段BP=x,PF=y.

(2)当APFE是以PE为腰的等腰三角形时，求BP的值；

(3)如图2,作APEF的外接圆。。，当点P在运动过程中，外接圆00的圆心。落在△PEF

的内部不包括边上时，求出BP的取值范围.

6.（2022•河北•石家庄市第四十四中学三模）如图：在矩形4BCD中，AB=22,AD=16,

点。在线段DE上，其中DE=26,£0=6；以OE为半径作圆0交线段AB于点P,并将

线段OP绕点。逆时针旋转90。得线段OQ（备注：若圆。与力B有两个交点，规定位于点。

上方的交点为点P）

（1）特例探究：如图1,当点E在射线ZM上时，AP=,点Q到直线DE的距离是

变式研究：当点E在AD上方时，

（2）如图2,当点。落在线段48上时，求点P、Q到直线OE的距离之比;

（3）当圆。与BC边相切时，求线段AP的长；

（4）若点。到AB的距离为3,直接写出点Q到AD的距离.

7.（2022・湖南・长沙市华益中学三模）如图，以AB为直径作。。，点C是直径AB上方半圆

上的动点，连接AC,BC,过点C作/4cB的平分线交。。于点。，过点D作AB的平行线

交C8的延长线于点E.

图1

（1）当Q4=C。时，求NE的大小；

（2）若。。的半径为5,AC=8,求CO的长；

（3）如图2,当CD不过点。时，过点。作OMLCD交CD于点试判断|丹萨|是否为定

值，若是，求出该值；若不是，请说明理由.

8.（2022•江苏镇江•中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的

直径都是30cm,高为42.9cm.它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆.小明

画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及公、的组成的轴对称图形，直

线，为对称轴，点M、N分别是死、皿的中点，如图2,他又画出了祀所在的扇形并度量

出扇形的圆心角乙4EC=66。，发现并证明了点E在MN上.请你继续完成MN长的计算.

参考数据：sin66°«—,cos66°«tan66°«sin33。弋匕cos33°«—,tan33°«—.

1054201320

从正面看

9.（2022•上海•中考真题）平行四边形力BCD,若P为BC中点，力P交BC于点E,连接CE.

⑴若4E=CE,

①证明ABCD为菱形；

②若48=5,AE=3,求8。的长.

（2）以A为圆心，4E为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F,且

CE=^2AE.若F在直线CE上，求党的值.

DC

10.（2022・广东深圳•中考真题）一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆0上点C处有个

吊灯EF,EF//AB,CO1AB.EF的中点为D.OA=4.

OMB

图①图②

c

图③

(1)如图①，CM为一条拉线，M在。8上，0M=1.6,。尸=0.8,求CO的长度.

(2)如图②，一个玻璃镜与圆。相切，H为切点、,M为。B上一点，为入射光线，NH为

反射光线，乙OHM=Z.OHN=45。,tan4cOH=。，求ON的长度.

4

(3)如图③，M是线段0B上的动点，MH为入射光线，NH0M=5(T,HN为反射光线交圆。

于点N,在M从。运动到B的过程中，求N点的运动路径长.

11.(2022・吉林长春•中考真题)如图，在力BCD中，AB=4,AD=BDV13,点M为

边48的中点，动点P从点N出发，沿折线40-。8以每秒个单位长度的速度向终点8

运动，连结PM.作点4关于直线PM的对称点4,连结4P、A,M.设点尸的运动时间为f

(1)点D到边AB的距离为：

(2)用含t的代数式表示线段DP的长；

(3)连结4D,当线段4D最短时，求ADPA的面积；

(4)当M、4、C三点共线时，直接写出t的值.

12.(2022•江苏常州•中考真题)(现有若干张相同的半圆形纸片，点。是圆心，直径力B的

长是12cm,C是半圆弧上的一点(点C与点4、B不重合)，连接AC、BC.

AOBAOB

备用图

(1)沿AC、8C剪下△力BC,贝IJAABC是三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”)；

(2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H.已知剪下的由这四个点顺次连接构

成的四边形是一个边长为6cm的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形(保

留作图痕迹，不要求写作法)；

(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C,一定存在线段力。上的点M、线

段BC上的点N和直径48上的点P、Q,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边

长为4cm的菱形.小明的猜想是否正确？请说明理由.

13.(2022•湖北恩施•中考真题)如图，P为。。外一点，PA、尸8为。。的切线，切点分别

⑵若N/OE=30°,求证：AE=PE.

(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.

14.(2022•浙江舟山•中考真题)如图1.在正方形4BCD中，点F,，分别在边4D,AB±,

(1)线段力C与FH垂直吗？请说明理由.

(2)如图2,过点Z,H,尸的圆交CF于点P,连结交4C于点K.求证：瞿=熬.

CHAC

(3)如图3,在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求登的值.

rr

15.(2022・四川凉山•中考真题)如图，已知半径为5的(DM经过x轴上一点C,与y轴交于

/、B两点,连接/A/、AC,/C平分NO4W,NO+CO=6

(1)判断0M与x轴的位置关系，并说明理由;

(2)求48的长；

(3)连接B/W并延长交圆M于点。，连接C。，求直线C。的解析式.

16.(2021•江苏镇江•中考真题)如图1,正方形/8C。的边长为4,点尸在边8c上，00

经过4B,P三点.

(1)若8P=3,判断边。所在直线与。。的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,£■是CZ)的中点，。。交射线/E于点。，当NP平分NEN8时，求tan/E/尸

的值.

17.(2022・湖南・炎陵县教研室一模)如图1,以ZU8C的边48为直径作。。，交/C于点E,

连接BE,BD平分NABE交AC于F,交。。于点。，且NBDE=NCBE.

(2)如图2,延长交直线于点P,若P4=A0.

①求黑的值；

DE

②若OE=2,求。。的半径长.

18.(2022・湖南・长沙市北雅中学模拟预测)如图，4人3。内接于0。，过。作力B的垂线,

垂足为£,交。。于凡

(2)连CF交AB于过E作CF的平行线交BC于。，求证：BD=CD+AC；

(3)在(2)条件下，连力£)交CF于N,若MN=CN,ED:CD=8:5,EF=9,求4N的长.

19.(2022•浙江宁波•一模)如图1,在RS4BC中，AB=AC=4,AD1BC于。，E为AB边

上的点，过4、D、£三点的。。交AC于F,连接DE,DF.

⑴求证：AE=CF.

⑵若tan2DF=3,求。。的面积.

(3)如图2,点P为曲上一动点，连接PD,PE,PF.

①若P为历的中点，设AE为x,APDF的面积为S,求S关于x的函数表达式；

②在点尸运动过程中，试探索PD，PE,PF之间的数量关系，并证明.

20.(2022•广东•佛山市华英学校三模)如图，△48。内接于。。，过点4作AF1BC于点

F,过点B作BE1AC于点E,交AF于点H,延长BE交。0于点D,连接AD,且NB4D=

乙AHD.

⑴求证：Z.ABC=3^DAC；

(2)过点A作AG||BD交。0于点G,连接BG、GD,GD交AB于点M,连接OM,求证：OM1

BD；

⑶在（2）的条件下，连接EF,若EF=3,4G=5,求。M的长.

典例剖析.

x._____________________________X

【例1】(2022・河北•育华中学三模)如图，在四边形488中,N/=N5=90。,4D=4,

BC=IO,sinC=p以48为直径作。。，把。。沿水平方向平移x个单位，得到。O，，A'B'

为直径N8平移后的对应线段.

备用图

(1)当x=0,且M为。。上一点时，求。M的最大值；

(2)当夕与C重合时，设。。，与8相交于点N,求点N到的距离;

(3)当。。与CD相切时，直接写出x的值.

【答案】(1)4立+4

(2蔗

⑶2或12.

【分析】(1)当x=0,连接。。并延长交。。于点M,则此时。也的值最大，过点。作

LBC于E,易证四边形是矩形，可得=AD=BE=4,解用△OEC求出OE

=8,CD=10,可得。。的半径为4,利用勾股定理求出OZ),即可得到0M的最大值；

(2)当B'与C重合时，。。'与CD相交于点N,则。0向右平移了10个单位长度，连接。。'，

则。。'=10,连接AN,过点N作入户_LA'8'于点F,如图，解RIAAB'N,求出A'N,B'N,

然后根据等积法求出NF即可解决问题：

(3)当O。'与。。相切，在8的左边时，设切点为P,如图，则A'B'EC是矩形，AD.

CD、B'C都是。。'的切线，根据切线长定理可得4'D=PD,B'C=PC,求出2力=4-x,

B'C=10-x,根据CD=PD+PC=40+B'C列方程求出x即可；当。。'与CO相切，在

。的右边时，同理求解即可.

(1)

解：如图，当x=0,连接£)0并延长交。。于点则此时。用的值最大，过点。作CE

LBC于E,

"：ZA=ZB=ZDEB=90°,

四边形/8EO是矩形，

：.AB=DE,AD=BE=4,

：.EC=BC-BE=\0-4=6,

•.・在,△DEC中，sinC=^1=g,

设。E=4hCD=5k(A>0),

由勾股定理得：EC2+DE2=CD2.即62+(4k)2=(5/c)2,

整理得：4=4,

'：k>0,

:・k=2,

:・DE=4k=8,CD=5k=l。,

：.AB=DE=8f

：.OA=OB=4f

.,.G>D=V42+42=4V2,

：.DM=4^2+4,

即DM的最大值为4V2+4；

(2)

当B'与。重合时，。0'与CD相交于点N,则。。向右平移了10个单位长度，连接。。',

则00'=10,连接。N，过点N作NFLA'B'于点F,如图,则“NB'=90°,

在放△€■£>£t中，sinzCDE=^=7-coszCDf=^=7-

CD5CD5

9

：AB\\AB\\DEf

:.乙A'BN=乙CDE,

在Rt^ABN中，AB=AB=8,

sinZ-ABN==sinZ-CDE=7,cosZ-ABN==cosZ-CDE=7,

AB5AB5

：.A'N={AB'=Ix8=^,B'N=^A'B'=：x8=”，

OZ)OOOZ)

1t»1It

・・S/8N="B.NF=^AN.BN,

・A/?_AN-B,N_TXT_96

AB825

/.点N到AB的距离为。。'-NF=10-卷=詈；

(3)

当。。’与CO相切，在CO的左边时，设切点为尸，如图，贝IJ48ED是矩形，AD,CD、BC

都是。。’的切线，

：.A'D=PD,B'C=PC,

'：AA'=BB'=x,

•'•AD=4-%,BC=10—%,

*：CD=PD-VPC=AD+B'Cf

10=4—x+10-x,

解得：x=2；

当OO'与。相切，在CO的右边时，设切点为°,如图，则AB8/是矩形，4。、CD、B'C

都是O。'的切线，

：.AD=QD,BC=QC,

=BB'=x,

.\AD=%—4,BC=x—10,

'：CD=QD+QC=AD+BCf

**•10=x—4+x—10,

解得：x=12；

综上，当(D。，与CQ相切时，X的值为2或12,

故答案为：2或12.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系，平移

的性质，圆周角定理，切线的性质以及切线长定理等知识，熟练掌握直径所对的圆周角是直

角，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键.

【例2】(2022•黑龙江哈尔滨•中考真题)已知CH是。0的直径，点/，点5是。。上的两

个点，连接。4。&点。,点E分别是半径04。8的中点，连接CD,CE,BH,R^AOC=2^CHB.

⑴如图1,求证：NODC=NOEC；

(2)如图2,延长CE交于点F,若CCJ.O4求证：FC=FH；

(3)如图3,在(2)的条件下，点G是丽上一点，连接AG,BG,HG,OF,若AG-.BG=5:3,HG=2,

求OF的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)0F=半

【分析】(1)根据S4s证明AC。。三ACOE即可得到结论；

(2)证明4H=乙ECO即可得出结论；

(3)先证明OF_LCH,连接4H,证明力H=设4G=5x,BG=3x,在4G上取点M,

使得4M=8G,连接MH,证明△MHG为等边三角形，得MG=HG=2,根据4G=AM+MG

可求出x=1,得AG=5,BG=3,过点，作HN1MG于点N,求出HB=V19,再证HF=

20F,根据HB=3OF=可得结论.

(1)

如图1.；点。，点E分别是半径。4。8的中点

：.OD=-OA,OE—OB

22

VOA=OB,

：.0D=OE

■:乙BOC=2MHB,Z.AOC=2Z.CHB

，乙AOC=KBOC

*：OC=OC

：.△COD=△COE,

C.Z.CDO=乙CEO；

(2)

如图2.VCD10/1,

:•乙CDO=90°

由(1)得4CEO=乙CDO=90°,

AsinzOCF=^=i

OC2

AzOCE=30°,

J.Z-COE=90°-Z,OCE=60°

11

VzW="OC=ix60°=30°

22

，乙H=cECO,

：.FC=FH

(3)

如图3.\9C0=OH,FC=FH

：.0F1CH

:•乙FOH=90°

连接4H.^LAOC=^BOC=60°

：,/.AOH=乙BOH=120°,

：.AH=BHf/-AGH=60°

9：AG:BG=5:3

设AG=5%,

：.BG=3x

在AG上取点〃，使得4M=BG,连接MH

■:乙HAM=CHBG,

：.MH=GH,

：・>MHG为等边三角形

：.MG=HG=2

*：AG=AM+MG,

5%=3x4-2

/.%=1,

：.AG=5

：.BG=AM=3,

过点，作HN1MG于点N

MN=-GM=-x2=1,HN=HG-sin60°=

22

・・・AN=MN+/M=4,

：.HB=HA=yjNA2+HN2=g

Vz.FO/7=90°,乙OHF=30。,

：.Z.OFH=60°

〈OB=OH,

：.^BHO=^OBH=30°f

：2F0B=408尸=30。

；.OF=BF,

在R£△。尸”中，Z.OHF=30°,

：.HF=2OF

：.HB=BF+HF=3OF=V19,

：.OF=—.

3

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质,

等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是

解答本题的关键.

【例3】(2022•黑龙江绥化•中考真题)如图所示，在。。的内接AaMN中，4AMN=90。,

4M=24N,作481MN于点P,交。。于另一点3,C是病上的一个动点(不与/,M

重合)，射线MC交线段84的延长线于点。，分别连接AC和BC,BC交MN于点E.

(1)求证：△CMACBD.

(2)若MN=10,MC=NC,求BC的长.

(3)在点C运动过程中，当tan4MOB=］时，求箓的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)3^10

(3)|

【分析】(1)利用圆周角定理得到/CK4=48C,再利用两角分别相等即可证明相似；

(2)连接OC,先证明是直径，再求出力尸和柳的长，接着证明ACOESABPE,利

用相似三角形的性质求出0E和PE,再利用勾股定理求解即可；

(3)先过C点作CG_LA/M垂足为G,连接CM设出GM=3x,CG=4x,再利用三角

函数和勾股定理分别表示出和PG,最后利用相似三角形的性质表示出EG,然后表示出

ME和NE,算出比值即可.

(1)

解：.：AB2MN,

：.ZAPM=90°f

：.NLH~/DMP=90。,

又・・・/OMP+NMiC=180。，NM4N=9。。,

：.ZDMP+ZCAM=90°f

：.ZCAM=ZD,

9

：ZCMA=ZABCf

△CMA~△CBD.

(2)

连接oc,

VzM/4/V=90°,

；.MN是直径,

"：MN=10,

：.OM=ON=OC=5,

"JAM=2AN,且4M2+4屋=MW,

：.AN=2V5,AM=4V5,

9

-ShAMN=\AM-AN=\MN-APf

：.AP=4,

；.BP=AP=4f

：.NP=7AN?-AP2=2,

.♦・OP=5—2=3,

VMC=JVC,

：・OCLMN,

：.NCOE=90。，

,:ABtMN,

：./BPE=90。,

ZBPE=/COE,

又•：/BEP="EO,

・•・△COEBPE

,COOECE

•(——,

BPPEBE

由OE+PE=OP=3,

二吟5，PE=%4

：.CE=Voc2+OE2=J52+=|V10,

BE=VBP2+PE2=

.*.BC=|VTO+^^=3VTO.

D

(3)

过C点作CGLMM垂足为G,连接CM则NCGM=90。,

・・・NCMG+NGCM=90°,

〈MN是直径，

・•・NMCN=90。，

・・・NCNM+/DMP=90。,

*/ND+NDMP=90。,

：.ND=/CNM=NGCM,

VtanzMDB=-,

4

3

AtanzC/VM=tanzGCM=

4

VtanzGCM=—

CG

・・・设6加=3心CG=4x,

：.CM=5x,

；・CN20x

25r

:.NM\

：,0M=ON=芋,

6

'：AM=2AN,且AM?+4解=MN2,

.>5V5..10V5

..AANz=——%,AAM=----x,

33

'.'S^AMN=^AM-AN=^MN-AP,

.•.4P=¥X=PB,

3

：.NP=-x,

3

.16511

..PnGr=-X——X=­X,

333

'//CGE=/BPE=90°,ZCEG=/BEP,

△CGE〜△BPE,

.CG_GE_CE

••而一记一靛'

目n4xGECE

即ITT=—=—

aPEBE

3

：

.GE=2x,PE=-3x

：.ME=5x,NE=—,

3

：.ME:NE=3:2,

【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识,

涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本

题综合性较强，属于压轴题.

【例4】（2022•湖北荆州•中考真题）如图1,在矩形N8CD中，48=4,40=3,点。是边

上一个动点（不与点/重合），连接O。，将△04。沿。。折叠，得到△0E。；再以。

为圆心，0A的长为半径作半圆，交射线于G,连接ZE并延长交射线8c于F,连接£G,

设OA=x.

DCD

(1)求证：OE是半圆。的切线；

(2)当点E落在80上时，求x的值;

(3)当点E落在8。下方时，设△/GE与△/尸8面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系

式；

(4)直谈写此当半圆。与△88的边有两个交点时，x的取值范围.

【答案】(1)见详解

(2及3

9/3

⑶丫=而(。<5

(4)|<xW3或卷<xW4

【分析】(1)根据切线的判定定理求解即可；

(2)如图，在RtAOEB,根据勾股定理列方程求解即可；

(3)先证AD4。sAAEG,求出NE,然后证明A4EG，A4BF,根据相似三角形面积比等于

相似比的平方即可求解；

(4)结合图形，分情况讨论即可求出x的取值范围.

(1)

证明：在矩形中，4048=90。，

•：/\OED是△04。沿OD折叠得到的，

•••乙OED=Z.DAB=90°,即0E1DE,

•••DE是半圆。的切线；

(2)

解：•••△OEO是△04。沿OD折叠得到的，

DE=AD=3,0A=0E=x,

・•・OB=AB-OA=4—x,

在RtLDAB中，DB=yjAD2+ABZ=V32+42=5,

・・・EB=DB-DE=5-3=2,

在RtAOEB中，OE2+EB2=OB2,

..x2+22=(4-x)2,解得x=|.

解：在Rt^DAO中，D。=yjAD2+AO2=V324-x2=V9+x2,

•••△OE。是△OW沿OD折叠得到的，

•••AE1OD,

••,AG是O。的直径，

ZAEG=90°,BPAE1EG,

ODWEG,/.DAO=/.AEG=90°

Z.AOD=Z.EGA,

・•・LDAO〜A4EG,

tDO_DA

•・萧一族

O

•・・/-AEG=Z.ABC=90,2LEAG=^BAFf

・•.A4EG〜A48尸,

・•・y=^(o<x<3

x

AxOGB

(4)

解：由(2)知，当E在。8上时，x=|,

如图，当点E在OC上时，x=3,

...当|<尤士3时，半圆。与△8C£>的边有两个交点；

当半圆。经过点。时，半圆。与△88的边有两个交点,

连接0C,在RtAOBC中，OB=4-x,OC=x,BC=3,

-OB2+BC2=0C2,

■■(4-x)2+32=x2,解得X=

8

...当=4x44时，半圆。与△28的边有两个交点；

O

综上所述，当半圆0与ABCD的边有两个交点时，X的取值范围为：|<xW3或g<xW4.

【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，勾股定理，切线的判定定理，相似三角形的判定

和性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质是解本题的关键.

【例5】(2022•浙江温州•中考真题)如图1,48为半圆。的直径，C为B4延长线上一点，

CO切半圆于点。，BELCD,交CD延长线于点E,交半圆于点尸，已知BC=5,BE=3.点

P,。分别在线段48,BE上(不与端点重合)，且满足芸出.设BQ=x,CP=y.

bQ4

(1)求半圆。的半径.

(2)求y关于x的函数表达式.

(3)如图2,过点尸作PRJ.CE于点R,连结PQ,RQ.

①当APQR为直角三角形时，求x的值.

②作点尸关于QR的对称点/，当点F’落在BC上时，求小的值.

DF

【答案】(喏

(2»=江+：

⑶巧或生鳄

【分析】(1)连接O。，设半径为〃利用ACODsACBE,得器=段，代入计算即可；

(2)miECP=API-AC,用含x的代数式表示4P的长，再由(1)计算求/C的长即可；

(3)①显然NPRQ<90。，所以分两种情形，当4RPQ=90。时，则四边形灭尸0£是矩形,

当/P0?=9O。时，过点P作于点〃，则四边形PHER是矩形，分别根据图形可

得答案；

②连接4EQF',由对称可知QF=QF'/F'QR=NEQR=45。，利用三角函数表示出BF'和

8尸的长度，从而解决问题.

(1)

解：如图1,连结。D.设半圆。的半径为人

,：CD切半圆。于点。，

：.OD1CD.

•；BE1CD,

：.OD||BE,

△CODs匕CBE,

co

•.■—OD=—，

BECB

即T

■­r=^,即半圆。的半径是

oo

(2)

由(1)得：CA=CB-AB=5-2x—8=~4.

'：-=-,BQ=x,

BQ4’”

：.AP=-x.

4

,：CP=AP+AC,

・5,5

・・y=z%+r

(3)

①显然4PRQV90。，所以分两种情况.

i)当)RPQ=90。时,如图2.

：.Z.ERP=90°.

VzF=90°,

，四边形RPQE为矩形，

：.PR=QE,

33

3-X+-

VP/?=PCsinC==44

ii）当iPQR=90。时，过点P作PHIBE于点”，如图3,

则四边形PHER是矩形，

：.PH=REtEH=PR.

":CB=5,BE=3,

・・・CE=、52-32=4.

VC/?=CP-cosC=|y=x+l,

：.PH=RE=3—％=EQ,

：.Z-EQR=^ERQ=45°,

:•乙PQH=45°="PH,

：.HQ=HP=3-xf

由EH=PR得:(3-x)+(3—%)=：%+£

・21

..X=­,

综上所述，X的值是与端.

②如图4,连结4F,QF',

":BELCE,PRLCE,

:.PR〃BE,

：./EQR=/PRQ,

■:BQ=x,CP=-%+-,

y44

EQ=3・x,

*：PR〃BE,

；・△CPRCBE,

•..~C~P~~CB~,

CRCE

5^5

即：斗=々

CR4

解得：CR=X+1,

:・ER=EC-CR=3-x,

即：EQ=ER

・•・NEQR=/ERQ=45。,

:'乙F'QR=乙EQR=45°

・・・NBQ尸=90。,

.A

/.QF=QF=BQ•tanB=-%.

・・F8是半圆。的直径，

・••乙4FB=90。，

9

BF=AB•cosB=一，

4

・27

28

・CFBC-BFBC.3d19

••r=-------:—=7-1=-----1=—

BFBFBFx9

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定

理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键.

满分训练.

一、解答题【共20题】

1.(2022•黑龙江•哈尔滨市萧红中学校模拟预测)如图，在。。中，AD、8c是弦,

⑴如图1,求证：ADWBC；

(2)如图2,如果求证：/C是。。直径；

(3)如图3,在(2)的条件下，点尸在4c上，点E在上，AF=CD,BE=CF=4,连接

CE、BF交于点G,作HG1CE于点G,交BC于点、H,ShHCG=5,求OF的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)1

【分析】(1)延长交8c于点E，证明40AD+N4EC=180°,即可证明4DIIBC；

(2)连接CD,先证四边形是平行四边形，推出48=4。，再根据圆内接四边形

对角和为180度，可得28=90。，即可证明NC是。0直径：

(3)连接EH,延长BF交CD于点、T,连接E7,证明四边形BETC是矩形，进而推出,

利用三角形面积公式求出HC=HE=5,推出BH=3,设AB=4F=x,利用勾股定理求出x,

即可求解.

【详解】(1)证明：如图，延长交BC于点E,

・・・44。。=44EC+N0CB,乙4。。-乙。CB=180。，

・"OTW+41EC+4OC8・4OCB=180。,

・"O4D+NA£C=180。，

：.AD\\BC^

(2)证明：如图2,连接力8,CD,

图2

ADWBC,AD=BC,

四边形ABCD是平行四边形,

:•乙B=Z-D,

,：48+乙。=180。，

・"B=90。，

；./C是。。直径；

(3)解：如图3,连接E",延长BF交CD于点丁,连接ET,

图3

四边形是平行四边形，NB=90。,

・••四边形力8co是矩形，

：.AB\\CDfAB=CD,

，乙ABF=cCTF,

AF=CD,AB=CD,

:.AB=AF9

/.4ABF=£AFB,

乙AFB=cCFT,

，乙CFT=LCTF,

：.CF=CTf

CF=BE,

：.BE=CT,

・・,BE\\CTf

・・・四边形6ETC是平行四边形，

ZEFC=9O°,

・・・四边形6ETC是矩形，

：.CG=EG,

•/WG1CE,

:,HC=HE,

工SAECH=2SAHCG=1°=}CH・BE,

\aBE=4,

；.HC=HE=5,

：.BH=7EH2・BE2=7S2・42=3,

:・BC=BH+CH=8,

设4B=AF=x,则4c=无+4,

a222

\AB^-BC=ACt

・・・/+82=(X+4)2,

解得x=6,

・・・A8=6,AC=10,

：.0A=0C=5,

AOF=OC-CF=5-4=1.

【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，圆周

角定理，平行线的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，解题的关键是正确添加

辅助线，构造特殊四边形解决问题，难度较大，多见于压轴题.

2.(2022•安徽•合肥市五十中学新校二模)如图，△ABC为。。的内接三角形，且AB为。。

的直径，DE与。。相切于点。，交力B的延长线于点E,连接。。交BC于点凡连接力。、

CD,乙E=Z.ADC.

⑴求证：4。平分的C；

(2)若CF=2DF,AC=6,求。0的半径r.

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】(1)根据圆周角定理得到乙4BC=41DC,进而证明乙48c=4WC,得到BQIOE,

根据切线的性质得到OD_LDE,根据垂径定理得到皿=而，根据圆周角定理证明结论；

(2)根据三角形中位线定理求出OF,根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【详解】(1)由圆周角定理得：/.ABC=/.ADC,

•・,乙E=乙4DC,

:.Z.ABC=Z.ADC

・•・BCWDE,

・•・DE与O。相切于点。，

・・・0D1DEt

・•・0D1BC,

BD=CD,

・•・乙BAD=/.CAD,

・・・AD平分N84C；

(2)・・•OD1BC,

・•・BF=FC,

•・•BO=0A,

•••OF=-AC=3,

2

・•・DF=r-3,

:.BF=CF=2DF=2(r—3),

在RtABOF中，OB2=OF2+BF2,即i=32+(2r-6下,

解得:r1=5,「2=3(舍去)，

答：。。的半径r为5.

【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过

切点的半径是解题的关键.

3.（2022•黑龙江•哈尔滨市第八十四中学校一模）如图，A/IBC内接于。。,4。为。。的直径,

4D交BC于点、E,且BE=CE.

（2）如图2,点P为弧。上一点，连接/P交8C于点F,过点尸作。。的切线，交8。的

延长线于点G,点〃是尸产的中点，求证：GH1PF；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接。尸，且4DFB=34P4。，点R在CG上，连接。R,DR

交C”于点N,RN=RG.HN=2.DF=10,求。E的长.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（I）根据垂径定理得出。E1BC,则DE垂直平分8C,进而得到BD=CD,根据

等腰三角形的性质求解即可；

（2）连接OP,PG是圆。的切线得出NOP4+4GPF=90。，根据垂径定理得出DE1BC,

根据直角三角形的性质、对顶角相等得出“FP+4E4F=90。，根据等腰三角形的性质得出

^EAF=/.OPA,进而得出4GPF=4GFP,根据等腰三角形的判定与性质即可得解；

（3）连接PD,延长GH交。尸于点M,DR交AP于点T,根据题意推出点M是DF的中

点，根据三角形中位线性质推出PD=2MH,根据勾股定理得到PH=HF=4,根据平行

线的性质推出zPD7=NHNr=N/MP,△HNTPDT,根据等腰三角形的性质及相似三

角形的性质、勾股定理求解即可.

【详解】（1）证明：如图1,连接BD,CD,

・・・4。为。。的直径，AD交BC于点、E,且=

：.DE1BC,

：.DE垂直平分BC,

：.BD=CD,

■:DE1BC,

：.0D平分NB4C；

(2)证明：连接。P,

・・・PG是圆。的切线，

：.0P1PG,

・"OPG=90。，

即N0P4+NGPF=90。，

・・・4。为。。的直径，AD交BC于点E,且BE=CE,

：.DE1BC,

・"AEF=90。，

：,^EAF^/-AFE=90°,

,・ZFE=4G”,

・・・NGFP+NEA尸=90°,

\'OA=OP,

：./.EAF=^LOPA,

：.AGPF=乙GFP,

:・PG=FG,

•・•点〃是PF的中点，

：.GHIPF；

(3)ft?：连接PD,延长GH交0产于点M,DR交力P于点T,

图3

,：GH1.PF,4。为(DO的直径，

：.Z.APD=A.MHF=90°,

：.MH\\DP,

;点，是PF的中点，

二点M是DF的中点，

：.DM=FM=-DF=5,

2

：.PD=2MHf

♦：RN=RG,

・"NGR=乙RNG,

工乙DRE=乙NGR+乙RNG=2乙RGN,

*：AEF=LGHF=90°,(HFG=zAFE,

:•乙DAP=£FGH,

工乙DRE=24