2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第7章 第1节 第2课时　空间几何体的切、接、截问题

第2课时空间几何体的切、接、截问题

［细研考点•突破题型］重难解惑•直击高考

□考点一简单几何体的外接球枷生共研

［典例1］⑴已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且ABM，BC

=巾，AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为()

A8「趴回1632

A•3兀B♦3兀C•3兀D♦3兀

(2)已知直三棱柱ABC-4BC1的各顶点都在以。为球心的球面上，且N3AC

=苧，AAi=BC=2,则球。的体积为()

A.4小兀B.8兀C.127rD.20兀

(1)B(2)A［(1)；AB=小，BC=巾,AC=2,：.PA=\,PC=4,PB=

2.以胆，PB,PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图所示，则长方体的外接

球同时也是三棱锥P-ABC的外接球.

•；长方体的体对角线长为W+3+4=2也，

.•.球的直径为2啦，半径7?=6，

44r-8、历

因此，三棱锥P-ABC外接球的体积是铲斤=铲x(/)3={—兀故选B.

(2)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r=

BC_2_r-

2sinNBAC.­3兀"

2sina

则直三棱柱ABC-A\B\C\的外接球的半径为

q（啦）2+12=小,

4r~

则直三棱柱ABC-AiBiCi的外接球的体积为铲收=45兀.故选A.］

［母题变迁］

1.若将本例(2)的条件“N84C=i,A4i=BC=2”换为“AB=3,AC=4,

AB±AC,A4i=12”，则球。的半径为.

V［如图所示，过球心作平面ABC的垂线，则垂足为的中点M.

又0M=^AAi=6,

所以球。的半径R=OA=

2.若将本例⑵的条件改为“正四面体的各顶点都在以0为球心的球面

上”，则此正四面体的表面积S与其内切球的表面积S2的比值为.

［设正四面体棱长为a,则正四面体表面积为Si=4X乎./=小屋，其

内切球半径r为正四面体高的、

即萍a=^a,因此内切球表面积为§2=4兀7=哈，

43120

加卢=溟=述1

02Tear兀」

6

3.若将本例⑵的条件改为“侧棱和底面边长都是3啦的正四棱锥的各顶点

都在以。为球心的球面上”，则其外接球的半径为.

3［依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为36X啦=6,高为

寸(3&)2_&义6)=3,

因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即

为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.］

畲反思领信通过本例及母题变迁训练，我们可以看出构造法、补形法等是

处理“外接”问题的主要方法，其关键是找到球心，借助勾股定理求球的半径.

2

(1)若球面上四点P,A,B,C中出，PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧

棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用27?=#/+天+,2求R.

(2)一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱.先借助几何体的

几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解.

［跟进训练］

1.(1)(2021.天津高考)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面

一

上，若球的体积为弩327r，两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为

()

A.3兀B.4兀C.9兀D.12兀

(2)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径

分别为4和5,则该圆台的体积为.

(1)B(2)61兀［(1)如图，设球。的半径为凡由题意，%我3=半，可得R

=2,则球。的直径为4,

•.•两个圆锥的高之比为1:3,：.AO\=\,80=3,

由直角三角形中的射影定理可得：户=1X3,即尸小.

这两个圆锥的体积之和为V=|TTX(V3)2X(14-3)=471.

故选B.

⑵截面图如图所示，下底面半径为5,圆周直径为10.

JT

则圆台的下底面位于圆周的直径上，OC=OB=5,O'C=4,NOO'C=］,

则圆台的高为3,V=1/i(5i+Vs^4-S2)=257t4-167i+207t=61n.］

□考点二简单几何体的内切球(师生共研

3

［典例2］(2020.全国II］卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥

内半径最大的球的体积为CS1都

［法一：如图，在圆锥的轴截面A3C中，CO_LAB,BD=\,BC=3,

圆O内切于△ABC,E为切点，连接OE,则OE,8c.在RtABCD中，CD=

、8。2-302=2色易知8£=3。=1,则。后=2.设圆锥的内切球半径为七则OC

、历

=26一R,在RtZkCOE中，0。2—。序=32,即Q也一R)2—R2=4,所以R=与，

4、历

圆锥内半径最大的球的体积为以我3=牛兀.

法二:

如图，记圆锥的轴截面为△ABC,其中AC=BC=3,AB=2,CD±AB,在

RtABCD中，CD=7BC-BU=2®则S“BC=2近.设△ABC的内切圆。的

半径为R,则琴,所以圆锥内半径最大的球的体积为31火3=冬.］

DIDI乙乙D。

畲反思领悟“切”的问题处理规律

(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.

(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.

［跟进训练］

2.在封闭的直三棱柱ABC-AiBG内有一个体积为V的球.若ABLBC,AB

=6,BC=8,A4i=3,则V的最大值是()

“c9兀一，r32兀

A.4无B.5C.6兀D.

B［要使球的体积最大，必须使球的半径最大.设球的半径为R,•.'△ABC

4

的内切圆半径为一2—=2,：.R^2,由题意易知球与直三棱柱的上、下底面

都相切时，球的直径取得最大值为3,

.♦.RW],.*<Vmax=^7t^2^=/兀.故选B.]

□考点三空间几何体的截面'截线问题《师生共研

[典例3](l)Q020•全国II卷)已知△ABC是面积为竽的等边三角形，且其

顶点都在球0的球面上.若球0的表面积为16兀,则。到平面ABC的距离为()

A.小B.1C.1D.坐

(2)(2020.新高考I卷)已知直四棱柱ABCD-A\B\C\D\的棱长均为2.ZBAD=

60°,以n为球心，小为半径的球面与侧面BCCB的交线长为.

(DC(2)华](1)由等边三角形ABC的面积为竽，得坐XAB2=呼,得

AB—3,则△ABC的外接圆半径乎48=坐48=小.设球的半径为R,则

由球的表面积为1671,得4兀炉=16无，得R=2,则球心O到平面ABC的距离d

=y]R2—r=1,故选C.

(2)

如图，连接3。，易知△BiGDi为正三角形，所以明。|=。。=2.分别取

B\C\,BB\,CG的中点M,G,H,连接。iM,D\G,D\H,则易得DiG=Di〃

=转+12=小,D\M^-B\C\,且。|加=小.由题意知G,”分别是BBi,CG与

球面的交点.在侧面BCC\B\内任取一点P,使MP=®连接D\P,则D\P=

^D\M-+MP-=y](73)2+(^2)2=75，连接MG,MH,易得MG=MH=小,

故可知以M为圆心，啦为半径的圆弧GH为球面与侧面BCCiBi的交线.由

।5

ZBiMG=ZCiMH=45c知NGM”=90°,所以命的长为;义2九义小=号.]

令反思领悟巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤

5

(1)确定球心。和截面圆的圆心O；

(2)探求球的半径R和截面圆的半径r；

(3)利用|OOF+d=R2计算相关量.

一［跟进训练i

3.如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以色为半径作一个球面,

则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()

3兀

A.B.也兀

-3兀—9兀

J02—F)—4

nG

C［正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被

球面截得的弧长是以4为圆心，1为半径的圆周长的点所以所有弧长之和为

3义竽=挈故选C.］

技法战高考

5.寻找球心解决与球有关的问题

简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的

考点，几乎每年都要考查，重在考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力.此类

问题实质是解决球的半径长或确定球心。的位置问题，其中球心的确定是关键.

类型1利用直棱柱上下底面外接圆

圆心的连线确定球心

［典例4］一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六

6

9-

棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为、底面周长为3,则这个

O

球的体积为.

4兀1

■y[设正六棱柱底面边长为a,正六棱柱的高为/?,则a=],底面积为S=

6坐图vu=S/i=^g^/z=|,：.h=y[3,&=（乎）+（罗=1,R=l,球

确定球心

[典例5]已知边长为2的等边三角形A8C,。为BC的中点，沿AO进行折

7T

叠，使折叠后的N5DC=],则过A,B,C,。四点的球的表面积为（）

A.3兀B.4兀C・5兀D.6兀

C[连接3c（图略），由题知几何体4?。£＞为三棱锥，B0=C0=1,

BD±AD,CD±AD,BDLCD,将折叠后的图形补成一个长、宽、高分别是小,

1,1的长方体，其体对角线长为刈+1+3=小,故该三棱锥外接球的半径是坐,

其表面积为571.]

令素养提能若几何体存在三条两两垂直的线段或者三条线有两条垂直，可

构造墙角模型（如下图），直接用公式（2火）2=层+/+，求出R

图①图②

7

根据球与长方体的对称性可知，长方体的对称中心就是球心，所以长方体（或

可补形为长方体的柱体、锥体）的体对角线就是其外接球的直径.

类型3利用底面三角形与侧面三角形的

外心探索球心

［典例6］平面四边形A3CO中，AB=AD=CD=l,BD=®BO_LCD.将

其沿对角线BD折成四面体A'BCD,使平面48。，平面BCD若四面体A'BCD

的顶点在同一球面上，则该球的体积为（）

A［如图，设BD,BC的中点分别为E,F.因点F为底面直角△BCD的外

心，知三棱锥A'-BCD的外接球球心必在过点R且与平面BCD垂直的直线/i上.又

点E为底面直角AA，8。的外心，知外接球球心必在过点E且与平面A'BD垂直

的直线/2上.因而球心为Zi与人的交点.又知在，平面48D

从而可知球心为点F.又48=40=1,CD=\知BD=也,球半径7?=尸。=万-=

坐故T71快|3=察1

畲素养提能三棱锥侧面与底面垂直时，可紧扣球心与底面三角形外心连线

垂直于底面这一性质，利用底面与侧面的外心，巧探外接球球心，妙求半径.

类型4利用截面图形的几何性质确定球心

［典例7］在四面体ABC。中，AB=小,DA=DB=CA=CB=1,则四面体

ABCD的外接球的表面积为（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

8

C

D

B[取AB的中点O,

由AB=®DA=DB=CA=CB=l,

111

所以C42+C32=A32,AD+BD=AB,

可得NAC3=NADB=90°,

J2

所以QA=OB=OC=00=¥，

即。为外接球的球心，球的半径R二坐,

所以四面体ABCD的外接球的表面积为5=4兀火2=4兀义；=2兀.]

全索养提能由圆的几何性质可知，直径所对的圆周角是直角，故当遇有公

共斜边的直角三角形的四面体外接球问题时，常采用取中点的方式解答.

Flaw]

4.(1)已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=1,SB=SC=2,若

点