2023年高考数学大招3特殊值极限法秒解函数图象题

大招3特殊值极限法秒解函数图象题

大招总结

函数图象是函数的灵魂，识图、作图与用图是高考的重点考查方向.中学阶段

函数图象的描绘一般是描点作图和变换作图.选择题中，根据点在图象上，抓

住特殊值，可以代人排除.由基本的极限知识，也容易把握住变化趋势，快速

做出选择题.解图象选择题的一般步幌是先看定义域，其次看有没有特殊值，

然后看极限值，如果还不行，最后判断单调性.因为单调性涉及到求导，有些

复杂，所以不到万不得已，不要用.

附：函数图象基础知识

1.函数图象的识辨可从以下方面人手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上

下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

2.掌握以下两个结论，会给解题带来方便：

⑴/(%)为偶函数=/(x)=/(|x|).(2)若奇函数在x=0处有意义，则

/(0)=0.

3.图象变换

(1)平移变换

内(x)+无

上k(k>0)

移个单位

左移右移

y=f(x+h)\]y=f(x)\*|y=/(x-A)

A个单位九个单位

(A>0)下*(*>0)(A>0)

移个单位

-k

(2)对称变换

⑴)，=/意)关于谢对称〉y=_/(%);

(2)y=),=/(一幻；

(3)y=/(x)关于原点对称〉y=_/(-x)；

(4)y=a\a>0且awl)—关土'=*对称>y=log”x(a〉0且4工1).

(3)伸缩变换

横坐标变为原来的一倍，纵坐标不变

①y=/(x)--------------------------1y=f(ax).

一、纵坐标变为原来的。倍，横坐标不变,,、

®y=/(x)--------------------------=a/(x).

(4)翻折变换

GC、保留工轴上方图象

①尸八外将，轴下方图象n折上去9=1/(x)l-

自〃、保留，轴右傅图象..

@y=f(Q技二亡利七.=f(I力)•

将y轴右侧图象翻折到左侧

典型例题

[x=3t-4t3

例1.(2021•上海)已知参数方程,一，"-1,1],以下哪个图符合该

[y=2rVr?

•程()

解利用特株值法进行排除,

当y=0时，=0,1,-1,

当t=0时，x=0,

当t—\时，x=—1,

当r=-l时，x=l,

故当y=()时，%=。或1或T即图象经过(-1,0),(0,0),(1,0)三个点,

对照四个选项中的图象，只有选项B符合要求.

故选B.

例2.(2021•天津)函数/•(犬)=型义的图象大致为()

X+2

ABCD

解根据题意，/(幻=空詈，其定义域为{X|XHO},有

人—幻=坐1=/(幻，是偶函数，排除AC,

x+2

在区间(0,1)上，ln|x|=lnx<0,必有/(x)<0,排除D,故造B.

例3.函数f(x)=a'--(a>O,a^l)的图象可能是()

a

a

函数f(x)=ax--,为增函数，且当x=-l时，/(-1)=0,即函数惬经过

a

点(-1,0),故选D.方法2:当x=-l,y=O,特殊值代入，选D.

例4函数y=log“(x+a)(a>0,axl)的图象可能是()

解方法1:若«>1,函数y=log〃(x+a)为增函数，且图象是把y=log“x

左移«个单位，由此可知选项C中的图象等合.故选C.

方法2：当x=O,y=l,特殊值代入，选C.

例5函数/(幻=电区的图象可能是()

解方法1：■/(幻=皿勾,;.函数定义域为(e,0)U(0,m)，

X

/(—月=皿二以=_业1=-/(幻,二函数/(X)为奇函数，图象关于原点对

XX

称.故排除B、C.•/当0<x<l时，lnx<0,二

/(x)=U3<0,xe(0,l).故排除D.故选A.

X

方法2:此函数分子是偶函数，分母是奇函数，所以这个函教是奇函牧，故排

除B和C,又因为x趋向于正无穷时，函数值为正，所以选A.

例6函数y=lg(|x+l|)的大致图象是()

解方法1：--函数y=lg(|x+l|)=|IS(X+1)，X>-1当x>-\时，

Jg(-X-]),x<—1

y=lg(尤+1)的图象，是函数y=lgx的图象向左平移1个单位得到的；

当%<-1时，y=lg(-x-l)的图象，与函数y=lg(尤+1)的图象关于直

线x=T对称，.•.函数y=lg(|x+l|)的大致图象是B.故选B.

方法2：直接看定义域xwT,只有B选项符合.

例7已知函数f(x)=4-x2,y=g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,

g(x)=log2X,则函数/(x)-g(x)的大致图象为()

因为函数/(x)=4-x2为偶函数，y=g(x)是定义在R上的奇函数，所以

函数fM-g(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A,B.当

2

X—>+oo时，g(x)=log2x>0,f(x)=4-x<0.所以此时/(x)-g(x)<0.所以

排除C.故选D.

例&函数y=lg」一的大致图象为()

次+1|

解方法1函数y=lg」一，故函数的图象关于直线x=-l对称.当

|x+l|

x>-l时，由于y=lg」一=lg」一是减函数，图象从左向右是下降的，故

|x+l|x+\

选D.

方法2:先看定义域，排除A和C,然后x超向于正无穷时，函数值为

负，所以选D.

例9.函数y=k>g“|x+b|(a>O,awl,ab=l)的图像只可能是()

解由a>O,ab=\,可知/?>0,又y=log"|x+Z?|的图象关于x--b

对称，故排除A、C.由选项B、D可知-人<一1,.・)>1,.・.0<。<1,由单调

性可知，B正确.故选B.

例K)函数>的图象大致为()

解方法1:函数有意义，需使e^-e-^O,其定义域为{x|xwO},排除

x+p-x巳2Ki2

C,D,又因为丁=e三二=三==1+*1，所以当尤>0时函数为减函

e-ee-1e—1

数，故选A.方法2:当x从正无穷趋向于0时，函数值趋向于正无穷，所

以选A.

例11函数y=4的图象大致是（）

•e*

解函数是非奇非偶的,故可排除C、D,对于选项A、B,当x趋向于正

无穷大时，函数值超向于0,故可排除B,故选A.

自我检测

1.（2019.全国卷III）函数y=a在［-6,6］的图象大致为（）

答案B

解y=/«）=之一，分子是奇函数，分母是偶函数，所以/（%）是奇函数.

2+2

2"

因此排除C.又人4）=/口>1，因此排除A,D.故选B.

1.（2019•全国卷I）函数/（x）=sinx+：的图象在［一肛划上的大致为

COSX+JT

（）

答案D

解•••分子是奇函数,分母是偶函数为,/（X）为［-乃，乃］上的奇函数，因此排

sin»+乃71

除A;又/(%)=2＞0,因此排除B,C.故选D.

COS7T+7V\+7T-

2.（2018•浙江）函数y=2wsin2x的图象可能是（）

答案D

解根据函数的解析式y=2wsin2x,得到函数的图象为奇函数,故排除A和

B.当x=-时，函数的值也为0，故排除C.故选D.

2

3.（2018•全国卷III）函数y=-x4+x2+2的图象大致为（）

解函数过定点（0,2）,排除A,B.函数的导数

32

y-（x）=-4X+2%=-2x（2x-1）,由,f（x）＞0得2x（2%2-1）＜（）,得

x〈-节或0＜x〈手，此时函数单调递增，由/'（x）＜0得2%（2/-1）〉0,

得》〉也或一受＜》＜0,此时函数单调递减，排除C.也可以利用

22

/(1)=一1+1+2=2〉0,排除A,B.故选D.

4.（2017-全图卷I）函数y=回生的部分图象大致为（）

1-COSX

答案c

解函数可知函数是奇函数，排除选项B.当X5时，

1-C0SX

/（万）=0,排除D.当xf0+（可以理解为%=0.00001）时，f（x）＞Q,排除

A.故选C.

例6.函数＞=2/一/在［-2,2］的图像大致为（）

答案D

2

解函数为偶函数，当x=±2时，y=8-ee（0,l）,故排除A,B.当

xe［0,2］时，/（x）=y=2x2—e\，r（x）=4x—e*=0有解，故函数

y=2/一炭在［0,2］不是单调函数，故排除C.

故选D.

例7.函数丁=黑的大致图像为（）

ABCD

答案A

解分子为奇函数，分母为偶函数，所以函数为奇函数，排除C和D.当%一0+

（可以理解为x=0.00001）时，f（x）＞0,排除B.故选A

&函数y咨的部分图象大致为。

答案B

解根据题意，对于/(x)=sinx・『，有

e-1

p-v+1e*+1

/(-x)=sin(-x)-^^=sinx•2=/(x),即函数f(x)为偶函数，据此可以

e-+1e-1

e，+I

排除A、C.又由在((),乃)上，sinx>0,与一>0,有/'(九)>(),则函数

e-1

/(x)>0,据此排除D;故选B.

2.已知函数/(%)=6、+。龙.

(1)/(X)在x=0处的切线过点(2,-1),求。的值；

(2)讨论函数/(x)在(1,收)上的单调性；

⑶令a=l,F(x)=xf\x)-x2,若F(X)=F(X2)(X产Z)，证明：％+%2<一2.

解析：⑴f\x)=ex+a,：.f(0)=e(l=1,/'(0)=l+a,

.•./(%)在％=0处的切线为》—1=3+1)"将(2,—1)点带入切线方程可得。=-2.

⑵由⑴得/'(无)="+。.

①当时，r(x)20恒成立，.••/(X)在(1,+8)上单调递增；

②当a<0时，令/'(x)=(),解得x=ln(—a),

当尤<ln(-a),f'(x)<0;当x>ln(-a),/'(x)>(),

/(x)在(-a)/n(—a))上单调递减，在(ln(-«),+a))上单调递增，

•••当ln(-a)<1,即-eWa<0时，/(x)在(1,+oo)上单调递增;

当In(-a)>1,即a<—e时，/(x)在(l,ln(-«))上单调递减，在(ln(-a),+s)上单调递增.

综上所述：

当aN-e时，/(幻在上单调递增；

当a<—e时，/(x)在(l,ln(—0)上单调递成在(ln(—a),+a>)上单调递增.

(3)证明;F(x)=xex,尸'(%)=旄*+d=(l+x)e”.令尸(x)=0,x=-l.

当％<—1时,F(x)<0,

当%>-1时，F'(x)>0.尸(x)在(—8,—1)上单调递减，在上单调递增，

又"(())=(),

，当x<0时，F(x)<0,当x>0时，F(x)>0.

由题可知/(%)=/(々)(尤1。无2).不妨设％<尤2，则有％<-1<々<0，

对于％<-1,-2-X1<-1,现比较F(%2)与F(-2")的大小.

x

F(X2)~F(-2-xt)=/(尤|)-F(-2-x,)=x[e'+(2+无])e-f,

设g(x)=xe'+(2+x)e~2~x(x<-l),g'(x)=(1+x)(e*-e~2~x),

可证：当x<-l时,1+止<0,ex-e~2~x<0,g'(x)>0.

二函数y=g(无)在(F,-D单调递增.

Xvg(-l)=--+-=0,Ag(x)<g(-l)=0,F(x)-F(-2-X))<0.

ee2

•.•工2-2-%€(-1,+00)且/0)在(一1,+00)单调递增，X2<-2-%1,即可+々<-2.

3.已知函数/(幻=。111%-12+(2。-1)式。€口)有两个不同的零点

(1)求a的取值范围；

(2)设X],%2是/(X)的两个零点，证明X+%2>2。.

解析：⑴/(x)的定义域是(