大港中学高三教学情况调研测试（四）数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江苏省大港中学高三教学情况调研测试（四)填空题（每小题5分，计70分.答案直接填在下方答题栏相应的横线上）1．复数的共轭复数是▲。2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则▲。年级高一高二高三女生385男生3753603．已知命题，，则为▲.4．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如右表示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法(按年级分层)在全校学生中抽取100人，则应在高三年级中抽取的学生人数为▲。5．将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是4的倍数的概率是▲,6．若是等差数列{}的前n项和,且，则的值为▲.7．函数(为自然对数的底数)在区间上的最大值是▲。8．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是63，则判断框中整数的值是▲9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面,有下列四个命题: ①若 ；②，则;③若则且;④若其中正确的命题是▲．(写出所有真命题的序号）．10．设,则的值等于▲．11.已知双曲线的渐近线过点，则该双曲线的离心率为▲.12．已知、、为两两垂直的单位向量，非零向量,若向量与向量、、的夹角分别为、、，则．13．若，则的最大值是．14．对于函数若存在，使成立，则称点为函数的不动点,对于任意实数,函数总有相异不动点，实数的取值范围是________．二、解答题（共6道题，计90分）15．(本题满分14分)平面直角坐标系中,已知向量且．（1)求与之间的关系式；(2）若,求四边形的面积．16．（本题满分14分)如图，在直三棱柱中，分别是的中点，且.(1)求证:平面；（2)求证：平面平面。17．（本题满分14分）如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为4m、8m,河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m．（1）如图甲,养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，请据此算出养殖区的面积;（图甲）（图乙）（2）如图乙,养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积（图甲）（图乙）18．(本题满分16分）（本题满分14分)已知数列满足：（1)求证:数列是等比数列；(2)令（）,如果对任意，都有,求实数的取值范围.19．（本题满分16分）在直角坐标系上取两个定点，再取两个动点,且.（1）求直线与交点的轨迹的方程；(2）已知点()是轨迹上的定点，是轨迹上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率满足，试探究直线的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.20．（本题满分16分）已知函数是定义在上的奇函数,当时,（其中e是自然界对数的底,）（1）设,求证:当时，；（2）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3?如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。江苏省大港中学高三教学情况调研测试（四）理科附加题21—1（本题满分10分，选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点变成点，求出矩阵。21—2（本题满分10分，选修4—4：极坐标与参数方程)已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）若直线与圆相切，求实数m的值.22。(本题满分10分）如图，已知正三棱柱的所有棱长都为为棱的中点，（1）求证：平面；(2)求二面角的余弦值大小.23、(本题满分10分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球；乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；（2）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望。江苏省大港中学高三教学情况调研测试（四）试题答案一、填空题(每小题5分，计70分）1．2．3。，4、255、6、447、8、59、②④10。11、12．13．14．二、解答题（共6道题，计90分)15。（本题满分14分)解：（1）由题意得，,………………2分因为,所以,即，①…………4分（2)由题意得，，………6分因为，所以，即，②………………8分由①②得或……………10分当时，,，则……………12分当时，，，则…………14分所以,四边形的面积为16．16、（本题满分14分)解:（1)连结AG，交BE于点M,连结FM……………2分∵E，G分别为棱的中点，∴四边形ABGE为平行四边形，∴点M为BE的中点，……………4分而点F为AC的中点，∴FM∥CG∵面BEF，面BEF，∴；………7分(2因为三棱柱是直三棱柱，，∴A1C1⊥面BC1，而CG面BC1∴A1C1⊥CG,…。…………….………10又∵，∴CG⊥面A1C1G由（1)知，FM∥CG∴FM⊥面A1C1而面BEF,∴平面平面。.…14分17、（本题满分14分）【解】(1）如图甲,设与所成夹角为,则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，……………1分解得，……………2分所以，养殖区的面积;……4分（2）如图乙，设与所成夹角为,，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，…………6分解得，…………………8分所以,养殖区的面积，……10分由得，………………12分经检验得,当时，养殖区的面积．…………14分答:（1)养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为．18、（本题满分16分）解：（Ⅰ）由题可知：①②②—①可得…………..3分即:，又………………….。5分所以数列是以为首项,以为公比的等比数列…。。…..6分(Ⅱ）由（2）可得，………。。。7分………。。。8分由可得由可得………。..。9分所以故有最大值所以,对任意，有……….。。。11分如果对任意，都有，即成立，则，故有：,………。.。.13分解得或所以,实数的取值范围是………………16分19、（本题满分16分）21．解：（Ⅰ）依题意知直线的方程为:①……2分直线的方程为:②…………3分设是直线与交点，①×②得由整理得…………4分∵不与原点重合∴点不在轨迹M上…………5分∴轨迹M的方程为（）…………6分（Ⅱ）∵点()在轨迹M上∴解得，即点A的坐标为…7分设，则直线AE方程为：，代入并整理得…………9分设,,∵点在轨迹M上，∴③,④………11分又得，将③、④式中的代换成，可得，…………12分∴直线EF的斜率…………13分∵∴即直线EF的斜率为定值，其值为-…………16分20、（本题满分16分）（Ⅰ）设,则,所以又因为是定义在上的奇函数,所以故函数的解析式为…3分证明:当且时，，设因为,所以当时,，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以又因为，所以当时，，此时单调递减,所以所以当时，即……6分（Ⅱ）解:假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则(ⅰ)当,时,．在区间上单调递增,，不满足最小值是３(ⅱ）当，时,，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３（ⅲ）当,由于，则，故函数是上的增函数．所以，解得(舍去）（ⅳ）当时，则当时，，此时函数是减函数;当时，，此时函数是增函数．所以,解得综上可知，存在实数,使得当时，有最小值３…………16分］201202高三数学理科附加题答案21、（本题满分10分）解：设，有条件有,，且，—-———--——-——---—-——-5分,————-—-——-—-—--—7分；解得，．-—-—----------10分22．（本题满分10分)解：由,得，，即圆的方程为,---————-——-—-——---——-—---—-—-—4分又由消，得,—-——-——-------————--——--—-——-—----—7分直线与圆相切，，．———-——-——-———-----———-—-—-——-—-10分23.（本题满分10分）（1）取中点，连，∵为正三角形,∴，∵在正三棱柱中，平面平面，∴平面………2分取中点为，以为原点，,，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，……………4分∴,∵，，∴,,∴平面。……………6分（2）设平面的法向量为，。，∴，∴，解得，令，得为平面的一个法向量，………8分由（1）知平面，∴为平面的法向量，，∴二面角的余弦值大小为.……10分24、（本题满分10分）解:(I）（i）设“在1次游戏中摸出i个白球"为事件（i=0，1