人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题1.3 空间向量的数量积运算-重难点题型精讲（原卷版）

专题1.3空间向量的数量积运算-重难点题型精讲1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．向量SKIPIF1<0的投影(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【题型1数量积的计算】求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入SKIPIF1<0求解．【例1】（2021秋•温州期末）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则AF→A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【变式1-1】（2021秋•沈河区校级期末）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则GE→•GFA．2a28 B．a28 C．【变式1-2】（2021秋•南海区校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB→=a→，AD→A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【变式1-3】（2022春•南明区校级月考）已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则PM→A．4 B．12 C．8 D．6【题型2向量的夹角及其应用】求两个向量的夹角：利用公式SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0求SKIPIF1<0，进而确定SKIPIF1<0．【例2】（2021秋•定远县期末）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，设AB→=a→，AD→=bA．30° B．60° C．90° D．120°【变式2-1】（2021秋•吉安期末）已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若|OB→|＝|OC→|，且cos＜OA→，OB→＞=cos＜OAA．1 B．12 C．32 D【变式2-2】（2020秋•洪泽县校级期末）空间四边形OABC中，OB＝6，OC＝4，BC＝4，∠AOB=∠AOC=π3，则cos＜OA→，【变式2-3】（2021秋•玉林期末）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若AB→⋅AE→+AC→⋅AF【题型3利用数量积求向量的模】求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，计算出SKIPIF1<0，即得所求长度(距离)．【例3】（2020秋•秦皇岛期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（）A．3 B．3 C．6 D．6【变式3-1】（2022春•宝山区校级期中）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．3 B．2 C．1 D．3−【变式3-2】（2021秋•郑州期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（）A．3 B．3 C．6 D．6【变式3-3】如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且＜O2M→，O1N→A．65 B．52 C．35 D．5【题型4向量垂直的应用】【例4】（2021秋•大连月考）已知a，b是异面直线，e1→，e2→分别为取自直线a，b上的单位向量，且a→=2e1→+3e2→，bA．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3【变式4-1】（2022•浦东新区校级模拟）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）A．AD1→⋅B1C→ B．B【变式4-2】若A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足AB→•AC→=AC→•AD→=A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形