人教A版高中数学(选择性必修二)同步培优讲义专题5.3 导数的运算（重难点题型精讲）（原卷版）

专题5.3导数的运算（重难点题型精讲）1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则3．复合函数的导数(1)复合函数的定义

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).(2)复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【题型1求函数的导数的方法】【方法点拨】1.总原则：先化简解析式，再求导.2.具体方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.(3)复杂分式：将分子凑成与分母相关的形式，化为简单分式的和、差，再求导.【例1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））下列求导运算正确的是（

）A．lnx'C．cosx'=sin【变式1-1】（2021·广西·高二期中（文））下列各式正确的是（

）.A．sin10°'=C．sinx'【变式1-2】（2022·陕西·高二期末（理））已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=lnx+xA．323 B．−32【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习（理））已知函数f(x)=t2，g(x)=2A．f'xC．f'x【题型2复合函数的求导方法】【方法点拨】(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；(2)分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；(3)相乘：把上述求导的结果相乘；(4)变量回代：把中间变量回代.【例2】（2022·河北邢台·高三阶段练习）下列求导运算正确的是（）A．sinπ5C．tanx'【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）下列求导运算正确的是（

）A．x+1xC．x2e【变式2-2】（2022·河南南阳·高二期末（理））下列求导正确的为（

）A．2e−xC．sinπ5【变式2-3】（2022·广东广州·高二期末）下列求导运算结果正确的是（

）A．x−1xC．tanx'【题型3求曲线的切线】【方法点拨】求切线方程时，一定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解.(1)若“在”，则该点为切点.(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点.【例3】（2022·陕西·西安市高二期末（理））曲线y=sinx+ex在A．x−3y+3=0 B．x−2y+2=0 C．2x−y+1=0 D．3x−y+1=0【变式3-1】（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数fx=x2−4A．x+4y+12=0 B．4x+y+3=0 C．x−4y−12=0 D．4x−y−3=0【变式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲线f(x)=xlnx在x=e（其中eA．y=2x−e B．y=2x+e C．y=−x【变式3-3】（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知函数fx=sinx1−2cos2A．0 B．−14 C．3【题型4已知切线方程求参数】【方法点拨】当曲线的切线方程是已知条件时，常合理选择以下三个条件的表达式解题：(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)切点在横坐标处的导数等于切线的斜率.【例4】（2022·宁夏·高三阶段练习（文））函数fx=ex+ax在x=0处的切线与直线2x−y−5=0A．−1 B．1 C．12 D．【变式4-1】（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））若函数f(x)=ax−2lnx在(1,f(1))处切线方程为x+y+m=0，则实数m=（A．−1 B．−2 C．2 D．0【变式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函数f(x)=a2x2+blnxA．2 B．1 C．0 D．﹣2【变式4-3】（2022·湖北·高三阶段练习）若直线x+y+m=0是曲线y=x3+nx−52与曲线y=x2A．−30 B．−25 C．26 D．28【题型5函数图象的应用】【方法点拨】结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.【例5】（2022·江西·高三开学考试（理））已知fx=14x2+sinπA． B．C． D．【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知二次函数fx=ax2+bx+c，设gx=A．a<b，b<c B．a>b，b>cC．ba>1，b=c D．b【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f的值为()A．2 B． C．－ D．－【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）函数fx=16xA． B．C． D．【题型6与导数有关的新定义问题】【方法点拨】与导数有关的新定义问题，一般先理解所给定义与已有的函数、运算的关联性，再通过所给新定义转化为所学过的知识与方法去转化问题，进而解决问题.【例6】（2022·河北·高二阶段练习）给出以下新定义：若函数fx在D上可导，即f'x存在，且导函数f'x在D上也可导，则称fx在D上存在二阶导函数，记f''x=fA．fx=ex B．f【变式6-1】（2022·云南昭通·高二期末）定义满足方程f'x+fx=1的实数解xA．fx=C．fx=【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）定义在区间∃ξ∈[a,b]上的函数f(x)，其图象是连续不断的，若∃ξ∈[a,b]，使得f(b)−f(a)=f'(ξ)(b−a)，则称ξ为函数f(x)在区间[a,b]以上的“中值点”．则下列函数：①f(x)=x；②2f(x)=x2；③f(x)=l