位移计算与虚功原理

基本要求：领会变形体虚功方程。掌握实功与虚功、广义力与广义位移确定，掌握互等定理；支座移动和温度改变引起的位移计算。熟练掌握荷载产生的位移计算、用图乘法求位移。Structuredisplacementcomputing虚功及虚功原理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度改变产生的位移计算支座移动产生的位移计算线弹性体互等定理第5章静定结构的位移计算与虚功原理变形与变形能材料力学知识：拉压变形（应变）：弯曲变形（曲率）：剪切变形（剪切角）：扭转变形（扭转角）：§5·1

结构位移计算概述a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析打基础；c）建筑起拱。↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不产生内力，产生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差不产生内力和变形产生刚体移动位移是几何量，自然可用几何法来求，βΔ但最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原理。a）荷载作用；2、产生位移的主要原因：

计算位移时，常假定：1）σ=Eε；2）小变形。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。1、计算位移目的：举例l如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移。将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。建筑起拱返回§5·2虚功原理荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。元功dT=P·dΔP2在自身引起的位移Δ22上作的功：在Δ12过程中，P1的值不变，Δ12与P1无关ΔPP1Δ11dTOAB一、静力加载过程T=P·Δ/222222T=P·Δ12121

二、实功与虚功

实功：是力在自身引起的位移上所作的功。实功恒为正。

虚功：是力在其它原因产生的位移上作的功。如力与位移同向，虚功为正，如力与位移反向，虚功为负Δkj位移发生的位置产生位移的原因三、广义力与广义位移

作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力S；与位有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔT=P·Δ/222222T=P·Δ12121P广义力广义位移单个力力作用点沿力作用方向上的线位移单个力偶力偶作用截面的转角等值反向共线的一对力两力作用点间距的改变，即两力作用点的相对位移Δ一对等值反向的力偶两力偶作用截面的相对转角ΔβmPPttABΔBΔAT=PΔA+PΔB=P（ΔA+ΔB）=PΔABΔmm

A

BT=m

A+m

B=m（

A+

B）=mΔΔPΔXδP

1

虚功原理的应用1）需设位移求未知力（虚位移原理）2）需设力系求位移（虚力原理）

刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。四、刚体虚功原理abACBPX1、需设位移求静定结构的未知力δX

=1，δP=b/aX·Δ-P·Δ=0pXX·1-P·δ=0pX=P·δ

p虚设位移求未知力（虚位移原理）1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。

2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可以随意虚设，如设δX=1。

3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平衡问题。

作出机构可能发生的刚体虚位移图；

应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤：1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度的机构，使原来的约束力X变成主动力。2）沿X方向虚设单位虚位移。利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。3）建立虚功方程，求未知力。虚功方程为:

YC×1a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2qFEDCBAδX=11.50.75YCq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa20.75/a+qa×0.75－qa2×0.75/a－q×1.5×3a/2＝0YC=2.25qa

虚功方程为:QC×1a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2qFEDCBA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2QCQC

10.50.250.25/a+qa×0.25－qa2×0.25/a－q×(1×2a/2+0.5×a/2)＝0QC=1.25qa2、应用虚功原理求静定结构的位移

b

acΔP=1建立虚功方程：PΔ+Rac=0（↑）1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以随意虚设，如设P=1。故称单位荷载法。3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题。五、变形体系的虚功原理:状态1是满足平衡条件的力状态，状态2是满足变形连续条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状态2各微段的变形上作的内虚功之和↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓T12＝012即：T12=N1N1+dNQ1Q1+dQ↓↓↓↓M1M1+dMdsdsdsε2dsd2=κ2ds微段的变形可分为ε2ds，γ2ds，κ2dsòòòò++==dsMdsQdsN1dVV212121212kge变变变12dV=N1ε2ds+Q1γ2ds+M1κ2dsòòò++dsMdsQdsN121212kgeT12=≠γ2ds证明↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓1内力是成对出线的，等值反向，变形是连续，所以左段右截面与右段的左截面的内力等值反向，位移相同，这样，相邻微段间的相互作用力的功相互抵消。于是，整个梁各微段的内力在位移上的总功等于零：↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓1N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dM↓↓↓↓ds1，求dV12之和V12=∫dV122，求V12的方案一：

微段上受的力梁上的外力外12V内1212VV=+=\内外121212dVdVdV+=\内12dVÞ外12dVÞ外12V=T12（a）3，求V12的方案二：将状态2中ab微段的位移过程分为2aba‘b'aba'b''b'刚12dV变12dV+12dV=随a截面的刚体位移，移至a´b"=变12dV因为微段平衡所以刚12dV=0变1212VV=（b）由（a）、（b）得：T12=V12虚功原理的证明截面内力变形引起的位移（a截面不动）再移至a´b'返回例：图a所示刚架由于某种原因横梁和立柱同时发生图示常曲率的弯曲变形且B点无线位移。现已知横梁的曲率为κBC=0.001m-1。试应用虚功原理求立柱AB的曲率κAB。8m5mABCθAθBθBθCM=1M=1虚设力系解：虚功方程为：10016.058-==mBCABkk15180××-××=ABBCkk11=×-×åòdxMACkqqθA=θB=θCEnd§5·3

单位荷载法

位移计算的一般公式P1P2t1t2Ε2γ2κ2位移状态2c1KK‘ΔKHP=1虚拟力状态11R需首先虚拟力状态在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1.ååò()++=+D×

iiKH

dsMQNcR2221kge()ååò-++=DiicR

dsMQN222kge

该式是结构位移计算的一般公式,1)适用于静定结构和超静定结构。

2)适用于不同的材料、产生位移的各种原因、不同的变形类型。

3)该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。（3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。（4）梁和刚架

荷载作用下的位移计算↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑NPQPMP真实位移状态

注:（1）EI、EA、GA是杆件截面刚度；

k是截面形状系数k矩=1.2，k圆=10/9。（2）NP、QP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因；虚设单位荷载引起的内力是åòdsEIMMP（5）桁架

Δ=åòEANNPds=（6）桁梁混合结构

用于梁式杆用于桁架杆（7）拱常只考虑弯曲变形的影响；对扁平拱需考虑轴向变形。åòdsEIMMPåòEANNP+Δ=Δ=Δ=（8）该公式适用于静定和超静定结构，但必须是弹性体系。

（9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载。P=1m=1m=1m=1P=1P=1l1/l1/lAB求A点的水平位移求A截面的转角求AB两截面的相对转角求AB两点的相对位移求AB两点连线的转角位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载！例：图示屋架的压杆采用钢筋混凝土杆，拉杆采用钢杆。求C的竖向位移。柱↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

q解：1)将q化为结点荷载P=ql/4-4.74P-4.42P4.5P3.0P2)求3)求NPPPPP/2P/20.287l0.25l0.222l0.25l0.263l0.263lADCEGBFl/12l/122P2P§5·4

荷载作用下的位移计算举例继续继续ADCEGBF11/21/21.501.50-1.58-1.58002)求4)求ΔC材料杆件NPAlNEAlNNP钢筋混凝土钢筋ADCDDECEAEEG－1.58－1.58001.501.50－4.74P－4.42P4.50P3.00P0.263l0.263l0.088l0.278l0.278l0.222lAbAb0.75AbAg3Ag2Ag1.97Pl/AbEb1.84Pl/AbEb000.63Pl/AgEg0.5Pl/AgEgΔC=Pl(3.81/AbEb+1.13/AgEg)·23)求NP继续dGAPRdEAPREIPR+ççèæøö+=òòcossin20203qqkqqpp22PP=1例：求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。解：1）虚拟单位荷载qcos=Qq

sin-=Nqsin-=RMqcos=PQPqsin-=PNPqsin-=PRMP虚拟荷载3）QNMD+D+D=PPPGAdsQQEAdsNNEIdsMM++=DòòòGAPREAPREIPR++=D4443pkppds=Rdθθdθds钢筋混凝土结构G≈0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001<DDMND4001<DMQD2=DMNARI2412øöçèæ==DDMQRhGAREIk可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.2）实际荷载h101<R如Pl/2l/2EIABx1x2例：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=1MP（x1）=Px/20≤x1≤l/2MP（x2）=P（l－x）/2l/2≤x2≤l0≤x≤lEIdsMMlPB0=òj积分常可用图形相乘来代替2）MP须分段写òkidsEIMMòÞ=kiCEIdxMMEI1åòå==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòÞBAkMdxxtgMEIi1a是直线òÞkidxEIMM直杆αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ω注：①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0

取正号，否则取负号。y0=x0tgα§5·5

图乘法位移计算举例需要的注意问题方法使用条件1、等刚直杆2、至少有一直线图和yc取若在杆轴线同侧，则乘积为正；反之为负。拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置3、yc应取自直线图中几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2

MPMPP=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例:求梁B段转角。例:求梁B点竖向位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。内力的正负号规定如下：轴力以拉力为正；剪力使微段顺时针转动者为正；弯矩只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×øöllEIyC22210çèæ××==Dw5Pl/6？？ω温故而知新图乘法位移计算举例åòå==DPEIydxEIMM0w①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。②图乘法的应用条件：③竖标y0④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0

取正号，否则取负号。⑤几种常见图形的面积和形心的位置：h3l/4l/4二次抛物线ω=hl/3顶点l/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3顶点

a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。取在直线图形中，对应另一图形的形心处。⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。⑦非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3ω1ω1y1y2()bcadbdacl+++=226öødcçèæ+323bl+2dcøöçèæ+332al=2òyydxMMki+=2211ww各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）

=111326492364（3）9（2）32649（4）2369＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非标准抛物线成直线形EI=3.6465×104Nm2200378P=10.8MP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3()85.01332211++=DyyyEIwwwy3ω2y2求C点竖向位移。↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPP=111lω1y1ω2y2ω2y3B23=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=øöççèæ++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwwwNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==DåPNEAqlEAlqlEAlNN求B点水平位移。9↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m6m3m3mAB求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163)()®¬=EI-756øö×××+3322318çèæ××××-+EI643636311øö+×××-2639632(çèæ×+×-××+××-=DEI61833631826362661EI=常数99999Sinpson法*9例:已知：

E、I、A为常数，求。ABCFPaD解：作荷载内力图和单位荷载内力图请对计算结果进行适当讨论！ABCFPaDABC1aD讨论:如果B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算？ABCkFP=1ABCFPk显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为

。因此，弹簧对位移的贡献为。由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为例:

已知EI

为常数，求。ABCq解：作荷载内力图和单位荷载内力图ABC图A1图一种算法：ABC结果正确否？?解法一AqAABC图qABC解法二A1图A解法三ABC图A1图例:

已知CD、BD杆的和AC杆的

为常数，求。FPABCDaaa+11aFP+FPFPa解：作荷载和单位荷载的内力图FPABCDaaa+11aFP+FPFPaP=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2例：求B点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+·-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222úûù++êëé++lqlEIlB432831122··=DEIqlllqlEIB843231142=·=DylqlEIB283312102+·=DLq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0dxMMEIlPò+021dxMMEIEIlPòøöççèæ-=021111dxEIMMdxEIMMlPlPòò＋020211dxEIMMdxEIMMllPlPVBòò+=D20111上式中的两项积分都是标准图形相乘。如l1=l/2，EI2=2EI1，则1325617EIql=214323121llqlEI·+2112432831211llqlEIEIVB··øöççèæ-=DMPP=1xl1l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABEI2EI1ql2/2lql2/8l/2－aEI2aEI1allEI2aEI2—+allEI2aEI1=aEI1几点讨论（只有荷载作用）：一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1.对梁和刚架：2.对桁架：3.对组合结构：本节目的：给出的具体计算方法。一般公式荷载位移公式温度位移公式§5·6

温度改变而产生的位移计算1）温度改变对静定结构不产生内力，材料的自由胀、缩。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h2t0=（h1t2+h2t1）/hΔt=t2-t13）微段的变形

dsdθat0dsk=dθ/ds

=a（t2-t1）ds/hds

=

aΔt/hγ=0()ååò

-++=DiicR

dsMQN222kgeååD±Δit=MNhttwawa0åòåòD±=dsMhtdsNtaa0åòåòD±=DitdshtMdstNaa0该公式仅适用于静定结构e=at0at1dsat2ds例:求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa0

+10

+10

CP=1P=1－1aN静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0，g=0。代入()ååò-++=DiicR

dsMQN222kge得到：仅用于静定结构abl/2l/2h11§5·7

支座移动而产生的位移计算1h1h00例：求CBAFP=1虚拟力状态解：构造虚设力状态实际位移状态CBAll解：构造虚设力状态()FAyFAx例：已知l=12m,h=8m,

,求例：求实际位移状态CBAllFP=1解：构造虚设力状态CBA虚拟力状态FP=1同时考虑荷载、温度和制作位移的影响应用条件:1)σ<σP

;2)小变形。即:线性变形体系。P1P2①F1F2②N1M1Q1N2M2Q21、功的互等定理功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作的功W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功W21。即：W12=W21§5·8互等定理2、位移互等定理P1①P2②位移互等定理：由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移δ21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12

。Δ21Δ122112dd=jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。

2）δ12与δ21不仅数值相等，量纲也相同。3、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR×+×=221120cRR×+×221110称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。反力互等定理：

r12=r21，在任一线性变形体系中，由单位位移C1=1所引起的与位移C2相应的反力r21等于由单位位移