2022年高考数学真题分类汇编06：数列解析版

缺=0.5,游二自，舞=七，跳"=七，若如,k,k是公差为01的等差数列，且直线04的斜

2022年高考数学真题分类汇编专题06：数列23

一、单选题

率为0.725,则k3=()

1.（2022•浙江）已知数列｛即｝满足5=1，%+]=%—g“（7l£N*）,则（

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

A.2<100aloo<|B.5<i00a100<3【答案】D

77【知识点】等差数列

-

C.3VlOOflioo2D.i<lOOttioo<4

【解析】【解答】设。。1=D(\=CBi=BA1=1,则CCi=k「BBX=k2,AAr=k3,

【答案】B

根据题意，有k-Q.2=kk-0.1=k，且猊粽密器跳二0-725,

【知识点】数列递推式3lf32

【解析】【解答】由题意易知｛/J为递减数列册+i-即=一々即2<0，，｛而｝为递减数歹”,所以竺当二竺=0725,故心=0.9.

因为%=1,所以“<1故答案为：D

,0n+l-1一1〃>2、n【分析】设O%=DQ=CB]=BA=1,可得关于k的方程求解即可.

,,可-13^-3>0,13

3.(2022•全国乙卷)己知等比数列｛%J的前3项和为168,a2-。5=42,则a=()

又Q1=1>0,则%>。，6

A.14B.12C.6D.3

._12、1

,，an~an+l—百册2目斯即+1，

【答案】D

,二___!_>1

,•艰丁豆一于【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

•••^22+强-1)=聂+奈则斯工岛,【解析】【解答】解：设等比数列｛小｝的公比为q,首项为由,

3若q=l,则a2-«s=0,与已知条件矛盾，

•*.lOOaioo<100xV3

J44一。式1一*_[“(％=96

所以q=l,由题意可得。】+。2+。3=-f-=168，解得1

由%+1_即=_:1％2<0,得即+i=Q”（l-\1a）,得亏1五一1而=不1石W1g<1+而「）

n（。2一。5=—。凶4=42（q2

利用累加可得含工聂+/4+4+…焉P+1所以。6==3.

11111111故选：D.

A«W0-34+3Xr2+3+，,-1007<34+3X62X6+8X93；<她

【分析】设等比数列｛斯｝的公比为q,首项为Q],易得q羊1,根据等比数列的通项以及前n项和公式

100aloo>100x列方程组，求出首项与公比，最后根据通项即可求解.

lOOClinnV3"4.(2022•全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人

造行星，为研究嫦娥二号绕H周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛“J：瓦=1+白，历=1+

【分析】分析可知数列｛an｝是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到由此可推得100即<3,再将―^3=1-h

a1+_1....依此类推，其中akWN*(k=l,2,…).贝U()

5

++>-时际

原式变形确定下限，可得时+]工于九+3^23,n+1+1，由此可推得lOOaioo2综合即可得到答

A.b]</>5B.Z?3VbgC.坛<b?D.b&Vby

【答案】D

2.(2022•新高考包卷)中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖

【知识点】数列的应用

面图，DDjeg,44i是举，。劣，DC.,CB】,BA,是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

【解析】【解答】解：因为依6**=1,2,…)，所以Q1025=6。

故答案为：A.

所以V,故瓦>电，

同理可得b2Vb3，b>b,

13【分析】设数列经过第n次拓展后的项数为垢，再利用数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一

111

aa

又因为通,\+~T<\+项，则经过第n+l次拓展后增加的项数为b-l,再利用已知条件得出%+i=%+%-1=2与一1,再

。2+丐时离'n

利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而判断出数列｛匕-1｝是以九=2为首项，2为公比的等比数

故b2Vb4,b>b:

34列，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列｛丛｝的通项公式，进而得出经过11次拓展后在2与6之间增

以此类推，可得与>b?>坛>%故A错误;

加的数，从而得出经过II次拓展后6所在的位置，进而得出a1025的值。

•上海)已知［a］为等比数列，｛｝的前项和为，前项积为T,则下列选项中正确的是

。2。2+—~—r，得b2Vb6，故C错误；而b\>b-j>bg,故B错误;6.(2022nannS”nn

()

11

°】。2+―Sa2+---',得/>4<人7，故D正确.A.若52022>52021，则数列｛/J单调递增

B.若72022>72021，则数列｛每｝单调递增

故选：D

C.若数列｛S?J单调递增,则02022之。2021

【分析】根据汝WN*(k=l,2,...)，再利用数列｛瓦｝与ak的关系判断(bn］中各项的大小，即可求D.若数列｛T"｝单调递增，则。20222。2021

解.【答案】D

5.(2022•浙江学考)通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2,3之间插入2与3的积6,得到数列2,【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质

6,3；第2次，在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2,12,6,18,3；类似地，第3次操【解析】【解答】解：对于A,设时=玄，显然有S2O22>S2O21，但数列Sn｝单调递减，故A错误；

作后，得到数列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为｛an),则

对于B,设%=2,显然有72022>72021，但数列｛加｝单调递减，故B错误；

Q1025的值是()

对于C,设即二去，显然有数列｛%｝单调递增，但。2。22<。2021，故C错误；

A.6B.12C.18D.108

对于D,若数列｛Tn｝单调递增，则Tn>TQ0,则*1,qNl,则知)22工。2021，故D正确.

【答案】A

故答案为：D

【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；数列递推式

【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.

【解析】【解答】设数列经过第n次拓展后的项数为bn,因为数列每•次拓展是在原数列的相邻两项中赠加

二、填空题

一项，则经过第n+l次拓展后增加的项数为bn-l,

7.(2022•全国乙卷)记S“为等差数列Sn｝的前〃项和.若2s3=3S2+6,则公差d=.

所以》n+l=勾+%一1=2bn—1，

【答案】2

即d-l=2(h„-l),即冬早=2,

n+1【知识点】等差数列：等差数列的通项公式

所以数列｛垢一1｝是以d=2为首项，2为公比的等比数列，【解析】【解答】由2s3=3s2+6可得2(%+a2+Q3)=3(%4-a2)+6♦化简得2a3=%+a2+6♦即

nn

是以bn-1=2»所以bn=2-¥1,2(%+2d')=2a1+d+6，解得d=2.

则经过11次拓展后在2与6之间增加的数为21°一1，故答案为：2

所以经过11次拓展后6所在的位置为第21°一1+1+1=21°+1=1025，【分析】转化条件为2(%+2d)=2%+d+6,即可得解.

【分析】利用已知的数列的通项公式结合代入法得出数列的第二项的值；再利用等差数列的定义判断出数列

8.(2022•北京)已知数列｛%｝的各项均为正数，其前n项和Sn，满足0ns=98=1,2,…)给出下

｛a｝是以2为首项2为公差的等差数列，再利用等差数列前n项和公式，进而得出等差数列前4项的值。

列四个结论：n

三、解答题

①｛斯｝的第2项小于3：②｛时｝为等比数列：

10.(2022•浙江)已知等差数列｛%J的首项的=-1,公差d>1.记｛an]的前n项和为S“(nWN*).

®[a]为递减数列；®｛a]中存在小于焉的项。

nn(1)若S4—2a2a3+6=0,求配:

其中所有正确结论的序号是.

<II)若对于每个nWN，，存在实数cn,使%+j,a〃+i+4c〃，an+2+15cn成等比数列，求d的

【答案】①③④

取值范围.

【知识点】数列的应用；数列递推式

【答案】解：(I)设%=(n-l)d-l,依题意得，6d-4-2(d-l)(2d-1)+6=0.

【解析】【解答】n=1,可得由2=9,又各项均为正，可得。1=3,令朴=2可得即(3+。2)=

解得d=3,则%=3n—4，72€N*,

9,可解得a2=3(,-1)v3,故①正确；

nn

于是Sn=3(1+2+-+n)-4n=?(•岁=中]=以3g一@),nEN*.

当九之2时，由■得Sn_i=U-,于是可得斯=怖一言，即#-=匕等一，若M为

aa9

n味1na7l-i«n-l

(U)设0n=(n-l)d—l,依题意得，

等比数列，则nN2时a“+i=a“，即从第二项起为常数，可检验n=3则不成立，故②错误；

2

[cn+(n—l)d-l][15cn+(ri+l)d-1J=[4cn+nd—l],

aS=9(n=1,2,•••).可得斯-5.=%+i-5.+i，于是<1，所以%+1<%，于是22

nn15cM+[(16n-14)d—16]cn+(n—l)d—2nd+1=16cJ+8(nd—l)cn+712d2-2nd+1

③正确：2

Cn+[(14-8n)d+8]cn+d=0

故4=[(14-8n)d+8]2-4d2=[(12-8n)d+8][(16-8n)d+8]>0

对于④，若所有项均大于等于焉，取n>90000，则忐，S“>9,于是0n♦Sn>9与已知矛

[(3-2n)d+2][(2-n)d+1]>0对任意正整数n成立.

盾，所以④错误.

n=1时，显然成立；

【分析】先令n=l、n=2计算数列的首项和第二项即可判断①：根据S„,an的关系，求得苦=

n=2时，-d+2N0,则dW2：

匕号」假设｛%｝为等比数列，经检验n=3不成立，判断②错误：由由「Snugmul,2,.■•),可得

nN3时，[(2n-3)d-2][(n-2)d-1]>(2n-5)(n-3)>0.

a„S„=a„+1S„+i,于是警,所以an+1<a„,于是③正确：利用反证法推出矛盾即可判综上所述，l<dW2.

un°n+l

【知识点】等差数列的前n项和：等比数列的性质

断④.

【解析】【分析】(I)由等差数列｛%J的首项5=-1及S4-2Q2a3+6=0可得关于公差~的方程，再由

9.(2022•浙江学考)若数列｛%｝通项公式为a,.=2n,记前n项和为,则a2=；

公差d的范围可得d的值，最后根据等差数列的前n项和公式可得S”；

S4=•

【答案】4；20(II)设%=5—1加一1，由即+%，即+1+4。1，%+2+15。成等比数列，可得关于0的二次方程，

【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和由判别式大于等于。可得d的表达式，对n分情况讨论可得d的取值范围.

【解析】【解答】因为0n=2"，所以。2=4,

又因为%+i-%=2，%=2,所以数列｛%J是以2为首项2为公差的等差数列，11.(2022・新高考团卷)已知｛an｝为等差数列，｛%｝是公比为2的等比数列，且&-B=。3-&/一

•

则s4=4(勺:勺)=2x(2+8)=20。

(1)证明：4=必：

故答案为：4：20o

(2)求集合｛k|M=am+Q_1<m<500｝中元素个数.

【答案】（1）证明：设数列｛©｝的公差为d,所以，Ut/一蕾:”十不二室，即可解得，儿=（2）由（1）及等比中项的性质求出ai,即可得到｛痴｝的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可

得.

4=苧，所以原命题得证.

13.（2022•北京）已知Q：alf%，…，以为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的ne（l,2,

（2）解：由（1）知d=2瓦=2%，

fc-1•••,m]»在Q中存在Q],Q,+i，%+2，…，4+/030），使得Qi+Qf+i+Qi+2■*-----•-ai+j=n，则称Q

由瓦=am+Qi知：bi-2=a1+（m-1）•d+cq

即名•2k~l=bi+（m-1）-2bl+打，即2fc-1=2m，为m-连续可表数列.

因为14m4500,故242"-i<1000,解得24k410（I）判断Q：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由：

故集合｛kI瓦=%n+%，1&m4500）中元素的个数为9个.

（0）若Q：a2，…，Q/c为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；

【知识点】集合中元素个数的最值；等差数列；等比数列

（III）若Q：%,a?,…，ak为20-连续可表数列，%+做+…+纵<20,求证：k>7.

【解析】【分析】（1）设数列｛%｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出：

（2）根据题意化简可得血二2-2,即可解出.【答案】（I）若m=5»则对于任意"W｛1,2,…，5｝»Q]=2,a?=1，=4，。2+。3=9所以Q是

5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6,所以Q不是6-连续可表数列：

12.（2022•全国甲卷）记Sn为数列｛Qn｝的前n项和.已知答+n=2%+l.

（II）若k<3,设为a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c6种矛盾k=4,3,2,1,4

（1）证明：｛an｝是等差数列：

满足

（2）若a4,%，的成等比数列，求Sn的最小值.

2*e,^tnin>4

【答案】（1）已知华^+九=24+1,即2Sn+n=2nan+n@,

（III）若kg5,则a?，…，ak至多可表15个数，与题意矛盾，若k=6,Q：a>b，c,d,e,f至多

2

当n22时，2Snr+（n-l）=2（n-l）an_i+（n-1）②，

可表个数，而所以其中有负的，从而可表〜及那个

2221a+b+c+d+e+/V20,a,b,c,d,e,f120

（J）-②得,2Sn4-n—2Sn_1—（n—l）=2nan4-n—2（n—l）（zn_i—（n-1）,

负数（恰21个）

即2a〃+2n-1=2nan-2（n—l）an-i+1>

这表明a-f中仅一个负的，没有0,且这个们的在a-f中绝对值最小，同时中没有两数相同，设

即2（n-l）an-2（n-1）册_]=2（n—1）,所以Q”-=1,九二2且〃GN*,

那个负数为-m（m>1）

所以｛即｝是以1为公差的等差数列.

（2）由（1）中%一即_1=1可得，。4=+3,a7=+6,AABC,则所有数之和>Tn+1+m+2+•••4-7H+5-m=4?n+15,4m+15<19=>m=1

又。，。，的成等比数列，所以a=。，。

477249,｛a,b,c,d,e,/｝=｛-1,2,3,4,5,6｝,再考虑排序

即（%+6）2=（即+3）-（ai+8），解得的=-12,

•••1=-1+2（仅一种方式）

所

所

以

以

Qn-又

13»

2n当=・・・-1与2相序

乩12

所

-或n=

7113若“不在两端，则2—“形式

【知识点】等差数列；等差数列的前n项和：等比数列的性质；数列递推式

若x=6,WJ5=6-1（2种方式矛盾）

Sfn=1

【解析】【分析】（1〉依题意可得2S〃+n2=27ian+n，根据即=I,作差即可得到时-••・戈H6,问理工工5,4,3，故-1在一端，不妨为"T2ABCD：形式

ISn-Sn_vn>2

右4=3,则5=2+3（2种矛盾）4=4同理不行

an-i=1＞从而得证;

A=5,则6=-1+2+5（2种矛盾）从而力=6

由7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻，故只能一L2,3,4,5,40因为nEN9,所以-4T>0,

n+1

或一1,2,6,4,5,3②这2种情形所以2-高<2,

对①9=6+3=5+4矛后即/+方+…+/<2.

对②8=2+6=5+3也矛盾

[知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式：数列的求和：数列递推式：数列与不等式的综合

综上k丰6

【解析】【分析】⑴根据等差数列的通项公式可得S„=(1n+1)a„.由利用S”与a“的关系，得诺=

k>7

吐|,再利用累积法，可得a”；

【知识点】数列的应用；数列与不等式的综合71—1

t解析】【分析】(I)根据可表数列的定义即可判断；⑵由⑴得奈=24-急)，利用裂项相消求和求得/+方+…+/=2-磊，再解不等式即可.

(II)反证法：假设kV3,则最多能表示6个数字，与Q为8-连续可表数列矛盾，故心4；

15.(2022•新高考13卷)已知函数/(x)=ex-ax和g(x)=ax-Inx有相同的最小值.

若仁则由，a....a至多可表个数，至多可表个数，而

(III)5,