3.2.2函数的奇偶性课件-高一上学期数学人教A版

第3章

函数的概念与性质3.2.2函数的奇偶性

情境导入“对称美”是自古以来中国的一种审美形式，实际生活中、传统文化里、自然界中对称的例子比比皆是，体现着数学的“对称美”！

其实，这种“对称美”还体现在我们的函数图象中，反映着函数的重要性质.偶函数

利用描点法画出函数和函数的图象并观察，你能发现这两个函数图象有什么共同的特征？

可以发现，这两个函数都关于y轴对称.

对于，有

对于，有

类比函数单调性，你能用符号语言精确的描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？当自变量取互为相反数的两个数时，函数值是相等的，即x…-3-2-10123…f(x)=x2…9410149…x…-3-2-10123…f(x)=2-|x|…-101210-1…常见的偶函数有，等等偶函数

【思考】对于定义在R上的函数，若，那么这个函数

是偶函数吗？

【答】不一定.因为并不能保证所有的，所

以不一定是偶函数.

要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可或者证明函数的定义域不关于原点对称。【1】代数法①该函数的定义域关于原点对称，即任意x∈D(D为定义域)，-x∈D；

②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x)偶函数【总结】一般地，一个函数是偶函数的两个判断方式：【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数例如：判断下列函数是否为偶函数偶函数偶函数

图像关于y轴对称代数特征几何特征定义中，的常见变形有：

画出函数和函数的图像并观察，你能发现这两个函数图象有什么共同的特征吗？你能用符号语言精确的描述这一特征吗？奇函数

可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.

对于，有对于，有

当自变量取互为相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即奇函数常见的奇函数有，,等等【思考】对于定义在R上的函数，若，那么这个

函数是奇函数吗？

【答】不一定.因为并不能保证所有的

，

所以不一定是奇函数.

奇函数要证明某个函数不是奇函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可或者证明函数的定义域不关于原点对称。【1】代数法①该函数的定义域关于原点对称，即任意x∈D(D为定义域)，-x∈D；②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x)【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：【2】几何法：函数的图像关于原点成中心对称，那么函数就是奇函数奇函数奇函数

图像关于原点对称代数特征几何特征定义中，的常见变形有：

如果奇函数在

处有定义，则：

如何证明这个结论？函数奇偶性的判断【例题】判断下列函数的奇偶性.【解】(1)首先判断定义域为R，关于原点对称，再判断：

所以此函数是偶函数；【解】(2)首先判断定义域为R，关于原点对称，再判断：

所以此函数是奇函数；【解】(3)首先判断定义域为

，关于原点对称，再判断：

所以此函数是奇函数；【解】(3)首先判断定义域为

，关于原点对称，再判断：

所以此函数是偶函数.判断函数奇偶性，首先要看定义域.④既是奇函数，又是偶函数.函数奇偶性的判断利用定义判断函数奇偶性的方法：【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定

义域关于原点对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下

去的必要.【2】二看等式：满足第一点之后，判断与的关系：函数既是奇函数，又是偶函数

①是偶函数；

②是奇函数；

③是非奇非偶函数；

奇(偶)函数的性质及应用【探究】（1）如何判断函数的奇偶性？【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数

的定义域为R，且有

所以此

函数是奇函数.

（2）已知函数图象的一部分，如何画出剩余部分？

(2)由奇函数的图象关于原点成中心对称可以画出函数在y轴左侧对应的图象，将y轴右侧的图象沿着原点旋转180°即可，画出的图象如图所示.

奇(偶)函数的性质及应用【拓展】（1）奇偶函数的单调性：①奇函数：奇函数在关于原点对称区间上的单调性是相同的.如果奇函数在区间[a,b]上单调递增，那么在区间[-b,-a]上也单调递增.①偶函数：偶函数在关于原点对称区间上的单调性是相反的.如果偶函数在区间[a,b]上单调递增，那么在区间[-b,-a]上单调递减.如何证明上述结论？用单调性和奇偶性的定义证明奇(偶)函数的性质及应用【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：

设，的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：【注】上表中不考虑和的情况；

中需，.偶偶偶偶奇

奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶奇

【1】已知是偶函数，是奇函数，将下面的图像补充完整.【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称；

把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.

达标检测分析:将函数f（x）图