2022年河南省郑州市重点中学中考数学第一次联考数学试卷（附答案详解）

2022年河南省郑州市重点中学中考数学第一次联考数学

试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.一：的相反数是（）

O

A.\B.C.：D.

8877

2.2021年2月22日，农业农村部部长唐仁健强调要坚决遏制耕地“非农化”和防止耕

地“非粮化”，牢牢守住18亿亩耕地红线，同时还要确保15.5亿亩永久基本农田主

要种植粮食及瓜菜等一年生的作物.将数据“15.5亿”用科学记数法表示为（）

A.0.155xIO10B.15.5x108C.1.55x108D.1.55x109

3.如图，下列四个几何体中，主视图、俯视图和左视图都相同的有（）

互Zb1©

①长方体②四棱锥③圆柱④球

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.如图，已知a〃b,将一个等腰直角三角板放置到如图

所示位置.若41=115。，则42的度数为（）

A.25°

B.45°

C.20°

D.30°

5.下列运算正确的是（）

A.a2+a=3a3B.（-2a2）3=8a6

C.（a+1）（-1+a）=a2—1D.2a2-3a3=6a6

6.小明在一次射击训练中，连续10次的成绩为1次10环，3次9环，6次8环，则小明这

10次射击的平均成绩为（）

A.8.5环B.8.6环C.8.7环D.8.8环

7.定义新运算“a*b”：对于任意实数a,b,都有a*b=a?+非一2ab—2,其中

等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6=52+62-2x5x6-2=

-1.若方程x*k=为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（）

A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

8.如图，直线CD分别与x轴，y轴交于点D,C,点4,B为线/

段CD的三等分点，且4B在反比例函数y=：的图象上，nA/

S^AOD=",贝必的值为（）

AXODx

A.2

B.4

C.6

D.8

9.如图，在。ABCD中，〃MB=60°,AB=8,4D=10,）---先夭）

BE为/ABC的平分线.利用尺规在"1BCD中作图，作\

图痕迹如图所示，AF交BE于点F,连接FD,则FD的、''、、'一

K'c

长为（）

A.3V3B.3C.5D.2a

10.如图，在Rt/kABC中，乙4cB=90。，tan^BAC=4边4c在％轴上，点4的坐标为

（-2,0）,矩形CDEF的顶点F与点。重合，顶点。在边BC上，且点。的坐标为（2,1）,

将矩形CDEF沿x轴向左平移，当点。落在4B边上时，点E的坐标为（）

A.(-|,1)B.(一”C.(誉,1)D.(-5,1)

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.请写出一个整数部分为1的无理数

第2页，共23页

12.已知不等式组1的解集在数轴上表示如图，写出满足条件的一个m的值

13.一个不透明的袋子中装有4个小球，上面分别标有数字-2,-1,1,2,小球除所

标数字不同外，其他完全相同.摇匀后从中随机摸出一球，记下数字为a,不放回，

再随机摸出一球，记下数字为b,以此来确定点M的坐标为(a,b),则点M落在直线

y=x+1上的概率为.

如图，在等腰三角形ABC中，=30°,AC=AB=

2V3,将△4BC绕点4逆时针旋转30。得到其

中点8的运动轨迹为俞连接夕C,则图中阴影部分

的面积是.

15.如图，在矩形ABCD中，乙4DB=60。，BC=4,点E在边4B上，/

且=点F在边4D上运动，连接EF,将△AEF沿EF折F

叠，点4落在点4处，则点4到直线BD的最短距离是.

三、解答题(本大题共8小题，共75.0分)

16.下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题.

x2+2x+12%+1

x2—1

三)……第一步

(x+l)(x-l)、X-1

X+l2X+1-X-1第二步

=—......第五步

X

(1)填空：

①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是.

(2)请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简.

(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事

项给其他同学提一条建议.

17.某校在第五届全国学生“学宪法讲宪法”活动中，举办了宪法知识竞赛，现从初三

4班和B班中各抽取20名学生的竞赛成绩(单位：分，百分制)进行调查分析，成绩

如下:

9089100969798899787100

A工H

95999877879392849498

78869295978676919099

E?叫工

10097899785911009510096

［整理数据］

成绩X

76<%81<x86<%91<x96<x

频数

<80<85<90<95<100

班级

力班11549

B班21458

［分析数据］根据以上数据进行统计分析:

统计量

平均数中位数众数方差

班级

4班9394.5b35.3

B班92a97,10046.9

根据以上信息，解答下列问题:

(1)表格中的a=,b=.

(2)请你根据以上统计信息，分析哪个班在本次活动中整体水平较高且稳定.

(3)若全校九年级共有学生800人，请你估计本次宪法知识竞赛中分数在90分以上的

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人数.若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数,

还应该怎样做，请你给出合理化的建议.（写出一条即可）

18.五一期间，小明跟父母去乌镇旅游，欣赏乌镇水乡的美景.如图，当小明走到乌镇

古桥的C处时，发现远处有一艘船匀速行驶过来，当船行驶到4处时，小明测得船

头的俯角为30。.同时小明开始计时，船在航行过小明所在的桥之后，继续向前航行

到达B处，此时测得船尾的俯角为45。.从小明开始计时到船行驶至B处，共用时

15/nin,已知小明所在位置距离水面6m,船长3m,船到水面的距离忽略不计.请你

帮助小明计算一下船的航行速度.（结果保留根号）

19.某学习用品商店销售某种黑色签字笔和某种文具盒，进价和售价保持不变.其中黑

色签字笔的进价为2元/个，文具盒的进价为12元/个，下表是前两个月黑色签字笔

和文具盒的销售情况：

销售数量（个）销售收人（元）

时间

黑色签字笔文具盒（销售收入=售价X销售数量）

第一个月2301202490

第二个月3401503270

（1）求黑色签字笔和文具盒的售价.

（2）第三个月该学习用品商店想再购进黑色签字笔、文具盒共650个，但预算成本不

超过2700元，且黑色签字笔最多购进550个.在购进的黑色签字笔和文具盒全部售

完的情况下，设购进黑色签字笔a个，利润为w元，写出w与a之间的函数关系式,

并求出第三个月所能获得的最大利润.

20.复习巩固

切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆

的切线，这个点叫做切点.如图1,直线及为。。的切线.

割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相

交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1,直线，2为。。的割线.

切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线

长.

阅读材料

仇何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作.它是欧洲数学的基础,

总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科

书其中第三卷命题36-2圆基定理（切割线定理）内容如下：

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条

线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经

写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程.

己知：如图2,4是。0外一点，.

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求证：______

［提示］辅助线可先考虑作。。的直径DE.

图1图2

21.在平面直角坐标系中，抛物线y=/+bx-6与x轴交于4,B两点.

(1)若抛物线经过点C(4,-6),求抛物线的解析式，并写出函数值y随x的增大而增

大时x的取值范围.

(2)当xWO时，若抛物线丫=/+取：-6的最低点到直线丫=匕的距离为6,求b的

值.

22.如图1,AB是半圆。的直径，点C是直径4B上一动点，点。是直径48下方一定点，

且/BAD=60°,AD=3cm,AB=6cm,连接DC并延长交卷于点P,连接4P,BD.

设4c-xcm,AP=y^m,PD=y2cm,小明同学根据学习函数的经验，分别对

随自变量》的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明同学的探究过程，请补

充完整：

(1)根据点C在直径4B上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC,AP,PD的

长度，得到了丫2与x的几组对应值，如下表所示：

x/cm0123456

%/刖01.983.955.195.775.976.00

y2/cma4.555.686.005.835.515.20

请补全表格：a的值为.

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(居月),

(x,y2)＞并画出函数力的图象.

23.(1)问题发现

如图1,在等腰直角三角形4BC和等腰直角三角形ADE中，AABC=^ADE=90°,

连接BD,交CE的延长线于点F.

填空：黑的值为______，NBFC的度数为______.

DL)

(2)类比探究

如图2,在矩形ABCO和矩形AEFG中，Z.BAC=Z.EAF=30°,连接BE,CF,BE的

延长线和Cf的延长线交于点从请求出差的值及NBHC的度数.

CF

(3)拓展延伸

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在(2)的条件下，将矩形4EFG绕点4在平面内自由旋转,,CF所在直线交于点从

若48=b，请直接写出的最大值.

图2备用图

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：根据相反数的定义，得-；的相反数是-（-；）=：.

OOO

故选：A.

求一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号.

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号.

一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.

学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆.

2.【答案】D

【解析】解：15.5亿=1550000000=1.55X109,

故选：D.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中lS|a|<10,n为整数.确定n的值时,

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原

数绝对值210时，兀是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10n的形式，表示时关

键要确定a的值以及n的值.

3.【答案】B

【解析】解：长方体的三视图都是矩形，但矩形的长与宽有所不同：

四棱锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是四边形，四边形内部有一点与各顶点相

连；

圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆；

球的三视图是大小相同的圆.

所以主视图、俯视图和左视图都相同的有1个.

故选：B.

主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面

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观察得到的图形，结合图形即可作出判断.

此题主要考查了简单组合体的三视图，解答此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视

图的观察方法.

4.【答案】A

vzl=115°,

z5=z.3=65°,

vZ.54-Z4=90°,

1•-42=Z4=25°.

故选：A.

由平行线的性质及对顶角的性质可求解45的度数，利用直角三角形的性质及对顶角的

性质可求解N2的度数.

本题主要考查平行线的性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，掌握相关性质是解题

的关键.

5.【答案】C

【解析】解：4、a?与a不是同类项，不能合并，故原题计算错误，不合题意；

B、(-2a2)3=-8a6,故原题计算错误，不合题意；

C、(a+1)(-1+a)=a2-1,故原题计算正确，符合题意；

D、2a2-3a3=6a5,故原题计算错误，不合题意；

故选：C.

利用合并同类项法则、积的乘方与幕的乘方的运算法则、平方差公式、单项式乘以单项

式乘法法则分别进行计算即可.

此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握合并同类项、积的乘方与基的乘方的运算

法则、平方差公式、单项式乘以单项式乘法法则.

6.【答案】A

【解析】解：根据题意得:

、

-1X-1-0-+3-X-9-+6-X-8=8c.5l（/环ht）,

答：小明这10次射击的平均成绩为8.5环;

故选：A.

根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明这10次射击的平均成绩.

本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法.

7.【答案】C

【解析】解：；x*k=/+1-2xk-2,

;关于x的方程x*k=xk(k为实数)化为/+k2—2xk—2=xk,

整理为—3kx+/c2—2=0,

•••△=(-3fc)2-4*2-2)=k2+8>0,

•••方程有两个不相等的实数根.

故选：C.

利用新运算把方程X*k=xk(k为实数)化为x2+1<2-2xk-2=xk,整理得到/一

3丘+/一2=0,再计算判别式的值得到△>(),然后根据判别式的意义判断方程根的

情况.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+加；+c=0(aM0)的根与△=b2-4ac有

如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实

数根：当A<0时，方程无实数根.

8.【答案】C

【解析】解：作AMJ.无轴于M,

设A(m，A),),则OM=m,AM=*

♦.•点4,B为线段CC的三等分点，

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・•・OD=3m,

VS^AOD=12,

11k

•.-OD./IM=ix4mX-=12,

22m

:・k=6,

故选：C.

作4M1%轴于M,设4（科马，则。M=AM=—,由题意可知00=4m,然后利用

mm

三角形面积公式得到;x4mx'=12,求得k=6.

2m

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出4的坐标以及。。的长

是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：过点F作HFLAD于点H,

•••BE平分4ABC,

/.ABE=Z.CBE,

・・•四边形/BCD是平行四边形,

・・.AD//BC,

・•・Z-CBE=LAEB,

・•・Z.AEB=Z.ABE,

・•・AB=AE,

・・•Z.DAB=60°,

・・・△/BE是等边三角形，

:.AE=AB=BE=8,

由作图可知4F平分二员4。，

•.AF1BE,Z.EAF=30°,

AF=4V3.

HF=2>/3.AH=6,

-AD=10,

・・.DH=4,

DF=>/DH2+HF2=J42+（2百/=2巾.

故选：D.

过点F作“尸14D于点H,证明△4BE是等边三角形，由等边三角形的性质得出4E=

4B=BE=8,求出DH,FH的长，由勾股定理可得出答案.

本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四

边形的性质是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：,••点4的坐标为（一2,0）,点。的坐标为（2,1）,

-.AO=2,CD=1,OC=2,

•••AC=4,

c“5BC

vtanz.BAC=-=—,

4AC

・•・BC=5,

二点8(2,5),

设直线4B解析式为y=kx+b,

(5=2k+b

由题意可得:

l0=-2k+b'

解得:

二直线AB解析式为y=+

42

当y=1时，x=-I，

••・平移后点E坐标为（一£,1）,

故选：B.

利用待定系数法可求直线4B的解析式，即可求解.

本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，一次函数的性质，求出ZB的解析式是本题的

关键.

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11.【答案】遍（答案不唯一）

【解析】解：整数部分为1的无理数是百，答案不唯一.

故答案为：次（答案不唯一）.

由于所求无理数的整数部分为1，则该数的平方大于1小于4,所以可选其中的任意一个

数开平方即可.

此题考查了无理数，熟悉无理数的定义和无理数的估算方法是解题的关键.

12.【答案】-1（答案不唯一）

【解析】解：芈，

（%+2<0（2）

由①得，%<2m+1,

由②得，x<-2,

•••由数轴上不等式的解集可知x<-2,

11-2m+1>—2,即?n2一|,

二m可以等于—1.

故答案为：一1（答案不唯一）.

先把m当作已知条件求出各不等式的解集，再根据已知数轴上表示的不等式的解集列出

关于血的不等式，求出m的取值范围，写出符合条件的一个m的值即可.

本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的

关键.

13.【答案】J

6

【解析】解：根据题意画图如下:

开始

12」-2

/NZ\/T\/N

2-1-21-1-212-212-1

•••共有12种等可能的结果，其中点M落在直线y=x+1上的有2种,

二点M落在直线y=x+1上的概率为白=i

12o

故答案为：P

O

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结

果数，再根据概率公式计算可得.

此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比.

14.【答案】7T+6-3V3

【解析】解：如图，过点4作AH于点

B'

vAB=AC=2V5,AH±CB,

BH=CH,

■■■乙ABC=30°,

­•AH=\AB=V3,

・・.BH=CH=y/3AH=3，

:.CB=2BH=6,

•・・乙ABC=乙ACB=30°,

・•・乙BAC=180°-30°-30°=120°,

・・•乙BAB'=30°,

・・.乙CAB'=120°-30°=90°,

'S阴~S扇形ABB，+SAACB，-S△4BC

7r

=-x(2网2+lx2^3x2^3_lx6x^3

36022

=n+6-3A/3.

故答案为：7T+6—3y/3-

把阴影部分的面积看成扇形ABB'的面积+△48'C的面积-△ABC的面积即可.

本题考查根据，旋转变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，扇形的面积等知识，解

题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积.

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15.【答案】4

【解析】解：过E作EH18D于H,如图:

•••Z.DAB=90°,Z.ABD=30°,AD=BC=4,

■■■BD=8,AB-y]BD2-AD2=4百，

•：AE=-AB,

4

:.AE=V3,BE=35/3>

•・•△4EF沿EF折叠，点4落在点4,处，

••.4'在以E为圆心，声为半径的弧上，

.•.当4落在上时，4'到直线BD的距离最短，最短距离是4H,

在RtABEH中,EH=-BE

22

.•.点4到直线BC的最短距离是EH-NE=逗-a=叵.

22

故答案为：逅.

2

过E作EH_LBD于〃，根据矩形ABCD中，^ADB=60°,BC=4,可得BD=8,AB=

yjBD2-AD2=4V3.又4E=\AB,即得4E=痘,BE=3遮，根据△4EF沿EF折叠，

点月落在点4处，知4'在以E为圆心，厉为半径的弧上，故当月'落在EH上时，4到直线BD

的距离最短，最短距离是在RtABEH中，EH=bBE=迥,即得点4到直线BD的

22

最短距离是EH-A'E=—.

2

本题考查矩形中的翻折变换，解题的关键是掌握折叠的性质，理解4的轨迹是在以E为

圆心，魂为半径的弧.

16.【答案】一分式的基本性质二-1没有变号

【解析】解：(1)①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的

基本性质，

②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是-1没有变号，

故答案为：①一，分式的基本性质；

②二，一1没有变号；

(2)原式=程+号户

=-x+-1--X--1

x-1x+2

x+1

-X+2'

(3)在进行分式化简时，分子或分母是多项式，一般先进行分解因式，然后再进行计算.

(1)①根据异分母分式的加减法法则判断即可；

②根据异分母分式的加减法法则判断即可；

(2)先算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答；

(3)根据分式化简的步骤进行解答即可.

本题考查了分式的混合运算，通分，分式的定义，规律型：数字的变化类，准确熟练地

进行计算是解题的关键.

17.【答案】93.598

【解析】解：(1)8班成绩重新排列为：76、78、85、86、86、89、90、91、91、92、

95、95、96、97、97、97、99、100、100、100,

8班成绩的中位数a=g里=93.5,

力班成绩的众数b=98,

故答案为93.5,98；

(2)由表知，4班成绩的平均数大，且方差小，

所以A班在本次活动中整体水平较高且稳定；

(3)若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，可从九

年级各班中随机抽取20名学生进行统计.

(1)根据众数和中位数的概念求解即可；

(2)根据平均数和方差的意义求解即可；

(3)答案不唯一，合理均可.

本题考查频数分布表、方差、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

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合的思想解答.

18.【答案】解：如图，过。作CD，4B于。，

在RKCD中，Z.CAD=30°,CD=6m,

-AD=———=禽=6V3(m)

tanzC/lDv3',，

3

在中，ZB=45°,

:.Z-BCD=90°一乙B=45°,

・•・乙BCD=乙B,

・•.BD=CD=6m,

・・.AB=ADBD=(6V3+6)(m),

,•,船长3m,

・,・船航行的路程为：6v5+6+3=(6百+9)(m),

•••船的航行速度为嚓=甯⑺/疝冗)，

答：船的航行速度为噌m/m讥.

【解析】过C作CD1AB于D,再锐角三角函数定义得4D=6V3(7n).再证“CD=乙B,

则BD=CD=6m,得AB=AD+BD=(6百+6)(m).然后求出船航行的路程，即可

得出答案.

本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解

题的关键.

19.【答案】解：(1)设黑色签字笔的售价为x元/个，文具盒的售价y元/个，根据题意,

得：

f230x+120y=2490

(340x+150y=3270)

解得｛1>

答：黑色签字笔的售价为3元/个，文具盒的售价15元/个；

(2)・.,预算成本不超过2700元，且黑色签字笔最多购进550个，

,r2a4-12(650-a)<2700

'la<550'

解得510Sa4550,

w=(3-2)Q+(15-12)(650-a)=-2a+1950,

■:-2V0,

二W随a的增大而减小，

••・a=510时，w取最大值，最大值是一2x510+1950=930（元），

答：w与a之间的函数关系式为w=-2a+1950,第三个月所能获得的最大利润是930元.

【解析】（1）根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得黑色签

字笔和文具盒的售价：

（2）根据利润=每件利润x数量得黑色签字笔和文具盒的利润，相加可得w与a的函数关

系式.

本题考查二元一次方程组及一次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数

关系式.

20.【答案】4。是。。的切线，直线ABC为。。的割线AD2=AB-AC

【解析】解：已知：如图，4是O。外一点，4。是。。的切线，直线4BC为。。的割线.

求证：AD2=AB-AC.

故答案为：4。是。。的切线，直线4BC为。。的割线，AD2=ABAC,

证明：连接BD,连接D。并延长交00于点E,连接BE,DC,

D

「AD是。。的切线，则N4DB+NBDE=90。,

•••DE是圆的直径，

•••4DBE=90°=4E+4BDE,

・•・乙ADB=4E,

而NE=乙DCB,

・••Z.ADB=乙DCB,

v乙BAD=乙DAC,

・•・△ABD~AADC,

ADAB

・••一=—，

ACAD

/.AD2=AB-AC.

第20页，共23页

按照题设要求，写出“已知”和“求证”，然后证明△ABDsAADC,即可求解.

本题为圆的综合题，主要考查了切线的性质、新定义和三角形相似、命题的知识等，正

确理解题意是本题解题的关键.

21.【答案】解：⑴•.•抛物线经过点C(4,-6),

・•・-6=164-46—6,

解得，b=-4,

•••抛物线的解析式为y=X2-4X-6.

抛物线的对称轴为x=*=2,

•••当x22时，函数值y随x的增大而增大.

⑵「抛物线y-x2+bx—6的开口向上，

•••xW0时，抛物线y=x