2.8圆锥的侧面积（七大题型）（ 原卷版）

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》2.8圆锥的侧面积知识点一知识点一与圆锥相关的概念◆1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.◆2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等．◆3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．◆4、重要的数量关系如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,l表示圆锥的母线长,那么r、h、l之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2=l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量．知识点二知识点二圆锥的侧面积和全面积◆1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l侧面展开图扇形的弧长=底面周长◆2、圆锥的侧面积计算公式：S侧=12•2πr•l＝π◆3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl题型一求圆锥的侧面积题型一求圆锥的侧面积【例题1】（2023•鹿城区校级三模）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（）A．10π B．15π C．20π D．25π解题技巧提炼直接代入圆锥的侧面积计算公式：S侧=12•2πr•l＝πrl【变式1-1】（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（）A．22π B．2π C．2π 【变式1-2】（2023•新吴区二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π【变式1-3】（2023•香洲区校级三模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（）A．27cm2 B．54cm2 C．27πcm2 D．54πcm2【变式1-4】（2023•诸暨市模拟）已知圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，则圆锥的侧面积为（）cm2．A．130π B．120π C．65π D．60π【变式1-5】如图，已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形．求：（1）圆锥的底面半径；（2）圆锥的全面积．题型二求圆锥底面圆的半径题型二求圆锥底面圆的半径【例题2】（2023•娄星区一模）已知圆锥的母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面半径长为（）A．4πcm B．5πcm C．12cm D．15cm解题技巧提炼根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得半径，列出方程求解即可．【变式2-1】已知扇形AOB的半径为3cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm【变式2-2】（2023•聊城一模）如图，已知Rt△ABC的∠A＝90°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，BA为半径，作AE交BC于点E．若扇形ABE恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．12 B．1 C．22 D【变式2-3】如图，在边长为4的正方形内部裁得一个扇形BAC，若将该扇形围成一个圆锥，则此圆锥的底面半径为（）A．1 B．2 C．32 D．【变式2-4】（2023•耿马县一模）小科同学将一张直径为16的圆形卡纸平均分成4份，用其中一份作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（）A．2 B．4 C．8 D．16【变式2-5】如图所示，扇形OAB的面积为4πcm2，∠AOB＝90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径．题型三求圆锥的高题型三求圆锥的高【例题3】（2023•红塔区模拟）将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为13cm，圆锥的侧面积为65πcm2，则该圆锥的高为（）A．5cm B．12cm C．13cm D．69解题技巧提炼此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．【变式3-1】（2023•上杭县模拟）圆锥的侧面展开图是一个圆心角120°，半径6cm的扇形，则该圆锥的高是（）A．1cm B．2cm C．42cm D．2【变式3-2】（2022•西双版纳模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画弧，则由图中阴影部分的扇形围成的圆锥的高为（）A．42 B．26 C．33 【变式3-3】如图，从一块直径是4m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（）A．22m B．15m C．302m D．30【变式3-4】如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去15【变式3-5】已知如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9cm．（1）求扇形AOB的弧长和扇形面积；（2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．题型四求圆锥的母线长题型四求圆锥的母线长【例题4】（2022春•舟山月考）圆锥的底面半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线长为（）A．6 B．12 C．18 D．24解题技巧提炼本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥的相关知识是解题的关键．【变式4-1】（2023•如皋市一模）已知圆锥的侧面积为10πcm2，底面圆的半径为2cm，则该圆锥的母线长为cm．【变式4-2】（2022秋•句容市期中）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为40π，底面半径为4的圆锥模型，则此圆锥的母线长为．【变式4-3】（2023•吴忠模拟）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为．【变式4-4】（2023•温州模拟）已知圆锥的底面半径为2cm，表面积为14πcm2，则该圆锥的母线长为cm．题型五圆锥的侧面展开图的圆心角题型五圆锥的侧面展开图的圆心角【例题5】若一个圆锥的底面半径为3cm，高为62cm，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（）A．150° B．120° C．100° D．80°解题技巧提炼本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长，通过列方程来解答本题的关键．【变式5-1】（2022秋•枣阳市期末）某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【变式5-2】（2023•盱眙县模拟）若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．【变式5-3】若一个圆锥的底面圆的半径是52，母线长8，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是【变式5-4】（2023•仙桃校级一模）已知圆锥底面圆的周长为2π，圆锥的母线为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为．题型六圆锥计算与实际应用问题题型六圆锥计算与实际应用问题【例题6】（2023•海州区二模）如图，一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC长为12分米，伞骨AB长为10分米，那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料为平方分米．解题技巧提炼把实际问题转化成数学问题来解决，明确求的是圆锥的哪个量，在套用公式即可.【变式6-1】如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥底面的半径长为3m，母线长为6m，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价是每平方米10元钱，那么购买油毡所需要的费用是（）A．540π元 B．360π元 C．180π元 D．90π元【变式6-2】（2023•洪雅县模拟）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（）A．(30+529)π米2 B．40π米C．(30+521)π米2 D．55π【变式6-3】如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为3米，母线长为6米，为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价为10元/米2，那么购买油毡所需要的费用是元（结果保留π）．【变式6-4】如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．（1）求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；（2）若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．【变式6-5】下图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF＝8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（面积计算结果用π表示）．题型七圆锥与最短距离题型七圆锥与最短距离【例题7】如图，已知圆锥的底面半径为r＝20cm，h＝2015cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）cm．A．40 B．40π C．160 D．802解题技巧提炼本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【变式7-1】（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA′＝120°，OA=3，则蚂蚁爬行的最短距离是【变式7-2】如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为5