矩阵的Kronecker积及其应用

word文档可自由复制编辑分类号：学士学位论文矩阵的Kronecker积及其应用学院名称数学与计算机工程学院word文档可自由复制编辑目录摘要 1关键词 1引言 21矩阵的Kronecker积的定义 22矩阵的Kronecker积的性质、定理及推论 23.矩阵的Kronecker积的特征值、特征向量的性质、推论及定理 54.矩阵的Kronecker积的应用 64.1矩阵的行（列）展开的定义及其相关性质 64.2利用Kronecker积解决特殊的矩阵方程 74.2.1EMBEDEquation.3型方程的求解 74.2.2型方程的求解 84.2.3型方程的求解 84.3利用Kronecker积求一些特殊矩阵的特征值和特征向量 9小结 11参考文献 11致谢 12word文档可自由复制编辑矩阵的Kronecker积及其应用刘阳（西安文理学院数学与计算机工程学院,陕西西安，710065）摘要：本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker积与它的特征值及特征向量。利用Kronecker积的概念、性质和定理，得到了其特征值及特征向量的相关结论和部分特殊的特征向量和特征值的计算方法。最后举例说明如何利用Kronecker积求解特殊的矩阵方程。关键词：Kronecker积；特征值；特征向量；＋型矩阵方程；型矩阵方程ThekroneckerproductofamatrixanditsapplicationsLiuyang(Schoolofmathematicsandcomputerengineering,Xi’anUniversity,Xi’an,710065,China）Abstract:Thisarticlemainlyintroducedthekroneckerproductofmatrixtheoryofeigenvalueandeigenvector.Usingthekroneckerproductconcept,natureandtheorem,gottheeigenvalueandeigenvectoroftherelevantconclusionsandsomespecialcharacteristicvectorinsolvingspecialvectormatrixandthecaculationmethodofspecialvalues.Finally,anexampleisgiventoillustratehowtousethekroneckerproducttosolvespecialmatrixequationKeywords:Kroneckerproduct；characteristicvalue、eigenvector；＋matrixequation；matrixequation引言：在高等代数中，矩阵内容是非常重要的基础内容，很多代数问题往往会归结为矩阵乘积问题。然而，两个矩阵可以相乘的条件是：前面矩阵的列数等于后面矩阵的行数，如果不满足这个条件，则我们就无法求解这两个矩阵的乘积。但在实际的学习、生活过程中，我们发现大多数问题的解决并不满足此条件，如何解决该问题呢？恰好矩阵的Kronecker积不需要这个限制。下面，将主要介绍Kronecker积的定义、性质、及其在求解一些特殊矩阵方程中的应用。矩阵的Kronecker积的定义定义1.1，则称由所确定的矩阵是与的Kronecker积或称与的直积，记作例1.1设，则==.显然，矩阵的Kronecker积不满足交换律，即一般情况下≠.2、矩阵的Kronecker积的性质、定理及推论Kronecker积的性质可以由定义1.1得到性质2.1.性质2.2性质2.3性质2.4定理2.1设则（）（）=.证明：（）（）=.推论2.1（1）（2）.推论2.2若为阶矩阵，为阶矩阵，则=.利用性质2.1—2.4及推论2.1，可以得到以下常用到的性质.性质2.5设是阶矩阵，是阶矩阵.若、都可逆，则也可逆，且证明：∵根据定理2.1，，，∴.推论2.3若均为方阵，且均可逆（）,则.推论2.4.证明：由性质2.5和定理2.1知,=.性质2.6若、均为上（下）三角矩阵，则也是上（下）三角矩阵。性质2.7若、均为对角阵，则也是对角阵。性质2.8若、均为对称矩阵，则也是对称矩阵。性质2.9设，，则，.性质2.10，则性质2.11设，则rank()=rankrank.证明：设rank=，rank=.使对矩阵，必存在可逆矩阵，使，其中=.对矩阵，必存在可逆矩阵，使得，其中=.则由推论2.1知：.由性质2.5知：、仍为可逆矩阵.∵矩阵乘以可逆矩阵后，其秩不变∴rank()=rank（）==rankrank定理2.2设是个线性无关的维列向量，是个线性无关的维列向量，则个维列向量()线性无关。反之，若向量组（)线性无关，则和均线性无关.证明：令,则有rank=，rank=.∵∴()==.又∵是矩阵，∴是列满秩矩阵,即的列向量组（）是线性无关的.反之，若列向量组（)是线性无关的，则是列满秩的。∴rank()==rankrank.下证rank=，rank=.假设rank＜，则rank＞，这与已知矛盾.∴有rank=.同理，得：rank=.即、为列满秩的矩阵.∴和是线性无关的.性质2.12设为阶矩阵，为阶矩阵，则有相似于.性质2.13设，则矩阵的Kronecker积的特征值、特征向量的性质、推论及定理考虑由变量、组成的复系数多项式.若分别为阶方阵，我们考虑阶矩阵.例如，，则.特别地，当时，有.定理3.1设是阶矩阵的特征值，为的对应于的特征向量；是阶矩阵的特征值，是的对应于的特征向量，则个数()为的特征值，是对应于的特征向量.证明：由知：.∴推论3.1的特征值是个值(),对应的特征向量是().推论3.2的特征值是，其对应的特征向量是().推论3.3(推论3.2的推广)的特征值为，其对应的特征向量为().定理3.2设的特征值为；的特征值,则.证明：（1）由性质2.4知：，且，又由性质2.12知：相似于，即,所以.（2）.定理3.3设是的特征向量，是的特征向量，则是的特征向量.证明：，由定理2.1得，定理3.4设，，则对于矩阵的Kronecker积也存在幂的定义.定义3.1记…，称为Kronecker积的幂.设=，=，则.4、矩阵的Kronecker积的应用4.1矩阵的行（列）展开的定义及其相关性质定义4.1设=将的各行依次横排得到维向量，称为矩阵的行展开，记为；将的各列依次纵排得到维列向量称为矩阵的列展开，记为，即很容易得到，定理4.1.1设，则（1）（2）推论4.1.1,则推论4.1.2设为阶矩阵，为阶矩阵，,则（1）.（2）.（3）.证明：(1)(2)(3)推论4.1.3设，则证明：接下来，我们就用矩阵Kronecker积和矩阵的行（列）展开概念相结合，看看它们在实际中的运用。本小结我们主要研究经常遇到的两类特殊的线性矩阵方程：＋和，它们在系统稳定性、控制性问题中有着基本而广泛的应用.而这两个方程又是型矩阵方程的特殊情况。4.2利用Kronecker积解决特殊的矩阵方程4.2.1型矩阵方程一般的线性矩阵方程可表示为：…（1）其中，为阶矩阵，为阶矩阵（）,均是已知矩阵，是未知矩阵.由上述方程我们可以构造一个对应的线性方程组（2）其中定理1矩阵是矩阵方程（1）的解的充要条件为是方程（2）的解.证明：对方程（1）施行列展开，得∴故（1）与（2）同解.例4.1求方程.其中,,解：.解方程（2）得4.2.2＋（3）型矩阵方程定理2方程（3）有唯一解的必要条件为：A和-B没有相同的特征值.例4.2求解矩阵方程＋其中，解：设∴，则.得：，∴.4.2.3型矩阵方程定理3设的所有特征值具有负实部，则方程（3）有唯一解，且可以表示成定理4设则矩阵方程有唯一解的充要条件为：其中分别是的特征值。例4.3求矩阵方程的解，其中.解：由定理4知，方程有唯一解.令则原方程可化为因此由定理3知，4.3利用Kronecker积求一些特殊矩阵的特征值和特征向量例4.3.1求矩阵的特征值和特征向量.解：令,,通过计算我可以发现.容易得到的特征值为1,2,3；的特征值为1,2.所以，求得的6个特征值为1,2,2,3,4,6；求出的对应于1,2,3的特征向量分别为,；的对应1,2的特征向量分别为.所以的对应于1,2,2,3,4,6的特征向量为，,例4.3.2求矩阵的特征值及相应的特征向量.解：令, 我们可计算得到.那么由推论3.2得，的6个特征值为2,3,3,4,4,5，对应的特征向量如上例.小结总之，本文主要通过对矩阵Kronecke积定义、性质和定理的深入研究，从而简化了部分特殊矩阵的特征值和特殊向量的求解过程，并对一阶线性矩阵方程给出了一般求解方法。如何在二阶及其以上矩阵方程中利用Kronecker积是一个新的研究问题。除此之外，Kronecker积还可以表示并表达模糊推理中关系矩阵，在研究空间计量、空间统计等理论问题中也有着重要的作用。【参考文献】[1]史荣昌、魏丰.《矩阵分析》[M].北京理工大学出版社，2010[2]苏育才、姜翠波、张跃辉.《矩阵理论》[M].科学出版社，2006[3]程云鹏.《矩阵论》[M].西北工业大学出版社，1991[4]陈公宁.《矩阵理论与应用》[M].高等教育出版社，1990[5]董增福.《矩阵分析教程》[M].哈尔滨工业大学出版社，2003[6]李俊杰.《矩阵分析》[M].机械工业出版社，1995[7]张凯院.《矩阵论导教.导学.导考》[M].西北工业大学出版社，2004[8]张禾瑞、赦炳新.高等代数[M]．5版，高等教育出版社，2007[9]徐仲