2023年高考数学第31讲 数列求和的若干方法

第31讲数列求和的若干方法

一、知识聚焦

i.公式法

常见的公式有等差数列、等比数列求前〃项和的公式,除此之外还应熟记下列公式.

1+2+3++〃=-^——

2

I2+22+32++«2=—M（H+l）（2n+l）

F+23+33++〃3=3±a

4

2.分组求和法

一个数列既不是等差数列，也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,重新组合,就会变成“

个可以求和的部分,即能分别求和,然后再合并.

3.错位相减法

错位相减法是推导等比数列前〃项和公式所用的方法.主要用于求数列｛。,也｝的前〃项和，

其中｛4｝,｛d｝分别是等差数列和等比数列.

4.倒序相加法

倒序相加法是推导等差数列前〃项和公式所用的方法,即将一个数列的和式倒过来排序,它

与原数列和式相加,结合等差数列的性质，若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则可

用此法.

5.裂项相消法

裂项相消法就是把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用于通

项为------的前〃项和，其中｛可｝为等差数列，」一二L——一—.

6.差式递推法

差式递推法即推导S„=l2+22+32++n2的方法.设k为正整数,则由

伏+1）3=公+3%2+3左+1,有（女+1）3一女3=3女2+3左+］当上分别取1,2,...,〃时，得〃个

等式，相加可得S“=！〃（〃+l）（2"+l）.

6

二、精讲与训练

【核心例题1]

n7r

八、HMHIc，\n兀.njt)

(1)若数歹l]a“=2rt-cos-Icos—+sin—I-w,S“为其前n项的和，则S2022等于()

A.—2020

B.-2021

C.-2022

I).-2023

2〃+3,〃为奇数,

(2)已知数列｛4｝的通项公式为4=<

4",〃为偶数.

【解题策略】

本例两小问采用分组求和法，这一方法主要解决以下两类题目.

⑴若=打士与，且也｝,｛q,｝是等差或等比数列，可采用分组求和的方法求出｛4｝的

和.本例第(1)问还具有特殊性,必须对通项4的规律进行研究才可分组求和.

2，”为奇数，,,,,

(2)若。“=",，且/“,｛%｝是等差或等比数列，可采用分组求和的方法求出

q,〃为偶数,

｛«„)的和.本例第(2)问正是这种类型.

【解】

小、C2丽(II兀.2后2•(〃万万、

(1)a-2ncos——cos——+sm——-n=^2nsin——H——.

〃n4(44)^24J

n7T71IrIE4+r2乃

——+—,则周期T=—=4.

(24)£

2

解得4=与也=_g也=_g也=点.

2222

222222222222

52020=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(9-10-11+12)++

(20172-20182-20192+20202)+(20212-2022)

=4+4++4+(2021-2022)(2021+2022)

-50?M-

=2020-2021-2022=-2023.故选D.

(2)由｛%｝的通项公式可知,奇数项依次为5,9,,..,2(2加-1)+3;偶数项依次是

16,256,,42",.

前2〃Z项和为S2ln=4+%+。3++a2m

=（q+%++«2”i）+（出+/++%”）

=[5+9++2（2/«-l）+3]+（16+256++42m）

[5+2（2m-l）+3]m16（l-16m）

21-16

（2加+3）3*-162〉+3〃?+叱*

151515

【变式训练1】

已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列且

11111

4+々2=2—十—,+%+=64—+—+—

q47、。405

⑴求｛《,｝的通项公式.

(1V

(2)设d=an+—，求数列｛a｝的前〃项和7；.

\any

【变式训练2】

设数列｛q｝的前n项和为S”，已知邑=4,«„+|=2S„+l,neN\

(1)求通项公式

(2)求数列业“-"-2|｝的前〃项和.

【核心例题2】

已知等比数列｛a,｝的公比q>1,且q+4+%=28,%+2是%和。5的等差中项，数列

也｝满足仇=1,数列｛色用一2)4｝的前1项和为2〃2+〃.

(1)求g的值.

⑵求数列低｝的通项公式.

【解题策略】

本例的难点在数列｛4｝的前〃项和,按照数列求和则向通项寻根的解题原则,必须知道数列

的通项(2*1一0“)%•是一个怎样的数列.如果其特征是由一个等差数列与一个等比数列的

对应项之积构成的,则求这个数列的前“项和的方法是错位相减法.

【解】

⑴由于。4+2是。3和%的等差中项，得。3+々5=2%+4.

，%+%+〃5=3%+4=28,解得%=8.

(11

由的+%=2。得8q+-=20,化简得2q7'-5q+2=0,解得q=上或4=2,

IQ)2

q>l,:.q=2

S

⑵设Cn=（bn+1-bn）an,数列匕｝的前“项和为S”,则q="

3“一》

解得C,,=4〃—1€N*),由(1)可知见=2"-'.

(]、〃-1(]、〃-2

二2+1-2=(4"一1)弓,故切―"T=(4〃—5)弓(几.2)

bn-b\=(5-2-1)+(如-2-2)++(4—4)+(伪—4)

(\丫-<1丫-

=(4〃—5)曰+(4〃-9)[/J++7x-+3

i<iy(\\n-2

设7；=3+7x—+llx—++(4/7-5)-(〃..2).①

2U；[2

gq=3x；+7x[g++(4〃-9)(；J+(4〃-5)[g.②

i1(iV(i丫-‘f1、

①一②，得]7；=3+4x]+4x[/J+,+4x(]J_(4〃_5)[]

因此7；=14—(4〃+3)(g)(〃..2)

/।、"-2

又々=1,.•・〃〃=15-(4〃+3)-

【变式训练1】

在公差不为零的等差数列｛q｝中，前4项之和为14,且成等比数列.

（1）求数列｛凡｝的通项公式.

⑵符号国表示不超过实数x的最大整数，设d=口082（凡-1）］,4为数列也｝的前〃项

和，求S1.

【变式训练2】

数列｛。“｝的通项an-“[cos?与一sin?其前n项和为Sn.

⑴求S“.

⑵设bn="，求数列也“｝的前”项和T..

【核心例题3】

己知函数“X)对任意xeR都有/(x)+/(l—x)=g.

⑴求巾的值.

⑵若数列｛。“｝满足%=〃0)+/、)+/弓)++/(若J+/(1),那么，数列｛《,｝

是等差数列吗?试证之.

⑶设=或2旬求数列｛%｝的前〃项和T..

【解题策略】

所给题设“X)+/(1-X)=g(定值)，以及X+1—X=1(定值)，符合了倒序相加求和的条

件,可顺利地解决第(1)、第(2)问.第(3)问实质上通项为分式,分子是常数,分母是两数积的

形式,且两数之差为同一个常数,可运用裂项相熠法求和,关于这种求和法下面会详细介绍.

(1)【解】

吗卜吗卜佃+加加尸，（iIT

2,

(2)【解】是.

证明:%=八。)+《)+惘++./o⑴，①

倒序得4=/(1)+/f—K/[—■++，]£|+，⑼，②

\ri)\n)

①-②得2为=[/(0)+/⑴]+CAiY

+f+■■•+/+/+

l〃〃LV«7⑺」

+

：/(i)+/(o)]44444=^

(〃+1)个

72+1等一等=；,，｛a,J是等差数歹！!.

―4~，,•Q〃+i

⑶【解】

a+1,

16〃

〃+1

【变式训练1】

2、

已知函数/(%)=

2'+V2

⑴求证:/(x)+/(1—x)=l.

…/1、/21f(2018^1/2019L/*

⑵求/-----+/-----++/-----+/-----的值.

I2020)(2020)<2020)(2020)

【变式训练2】

求分母为3包含在正整数“与“(加<〃)之间所有不可约的分数之和.

【核心例题4]

设各项均是正数的数列｛q｝的前“项和为S”，已知24=4+%，数列｛疯｝是公差为1

的等差数列.

(1)求数列｛6,｝的通项公式.

(2)若数列J」一的前〃项和为Tn,求使T„>照成立的最小正整数”.

2021

⑶令a=不二(〃eN*),求数列｛q｝的前〃项和.

S.+1T

【解题策略】

本例解题的关键是在数列求和中两次用到裂项相消法.裂项相消法的核心是把数列的每一项

分解成一正一负的两项,使得相加后,项与项之间能够相互抵消,但在抵消过程中,有的是依

次相消,有的是间隔相消，不能相消的项有时前后各一项,有时前后各两项.第(2)、第(3)问

正好体现了这个不同的特点，即第(2)问是依次相消,前后各保留一项;第(3)问是间隔相消，

前后各保留两项.

【解】

(1)由题设知底="+(〃-1)=+〃一1,则当九.2时，

a

n=S〃_S〃T=(#7)(V^T+\/^n-\)=25y-3+2/7,

由2a2=a}+/得2(2A+1)=q+2我+3,整理得q-2A^~+l=-1)=0,

解得4=1,故当〃..2时，an=2n-l,又q?=l,

数列｛an｝的通项公式是an=2/7-1.

1111

+-—----------1-----------!-•••+,-------------------------

anall+i1x33x5(2n-l)(2»+l)

1000得〃10001000q13

由为>>----n>---4-7—

20212n+l20212121

•.•neN*,.'.48,即使7；〉也成立的最小正整数〃=48.

“2021

b---------1=----------=--------=------------

2

〃Sn+]-1(n+1)-1〃(〃+2)2\n〃+2,

小+p-一-

+打+…+

25)vn-1〃+"\nn+2)

iFl+l_fj______2九+3〃(3〃+5)

22n+2J42(〃+l)(〃+2)

4(H+1)(T?+2)

【变式训练】

已知数列｛〃〃｝,有q=a,a2=p(常数〃>0),对任意的正整数〃，Sn=a1+4++。〃，

〃(6-4)

且S”=

2

(1)求。的值.

(2)试确定数列｛4｝是否是等差数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由.

SS

⑶令匕=3+3,证明：2“<6+6++a<2〃+3.

S〃+2S“+i

【核心例题5】

求数列〈等1"的前”项和s”.

【解题策略】

从所给出的通项4,=#1的特点看,显然是等差x等比的形式，很容易想到“错位相减

法”，实际上，数学方法是相通的，只要巧妙变形也可以运用“裂项相消法”，关键是对通项

如何实施“裂项”，而构造法更是一种创造性的解法,供读者赏析.

【解法一】（错位相减法）

3572〃+1

—I—7—r+------

S”222232"

.»3X（£|+5X]£|+7X++（2〃+l）g）,①

两边同乘以L得

2

\4+（2〃+1）]£|•②

一S,=3x+■

227

234»+1

①一②，得+2x

5]_|,两边同乘以2,r.S“=5—（2"+5）［；）

.・・夫=|n+—

272

【解法二】（裂项相消法）

2〃+1

T

2〃+12（〃+1）+12〃-112〃-11（2〃+1）-2

-------------；-------；———x-----——x----------

2"2〃+】22"22"

12/2+122

=­x

22〃2〃2"

2n+l2（〃+1）+12

从而ci=2xH---

n2〃2”

Sn=4+4+4++a”