2023年重庆铜梁县高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直三棱柱ABC—44G中，CA=CQ=2CB,AC1BC,则直线8^与A4所成的角的余弦值为（）

正C.—

55

I—71

2.如图，四面体ABCD中，面A8D和面8QD都是等腰直角三角形,AB=0，NBAD=NCBD="且二面角

4一8。-。的大小为w，若四面体ABC。的顶点都在球。上，则球。的表面积为（）

22兀28）re2万

A.-----B.-----C.—D.—

3323

y>x

3.已知》,）'满足+且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则。的值是（）

x>a

321

A.4B.-C.—D.一

4114

设等比数列｛%｝的前〃项和为，

4.S“则“q+a3<2a2”是“S2,1<0"的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

5.已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为（）

6.已知函数若|/（幻|—公+0.0恒成立，则实数”的取值范围是（）

A.-g,lB.[0,1]C.[1,+<»）D.10,2]

7.如图，圆。是边长为2G的等边三角形ABC的内切圆，其与8C边相切于点。，点"为圆上任意一点,

BM=xBA+yBD(x,yeR),则2x+y的最大值为()

A.0B.GC.2D.272

_1+z

8.已知复数Z=l-i,三为z的共枕复数，则一

z

3+z\+il-3z1+3/

B.——C.-------D.-------

F222

9.在AABC中,BD=DC,AP=2PD,BP=AAB+^AC,贝！!4+〃=()

111_

B.-C.——D.

3322

+3,a“为奇数

已知数列｛4｝满足:

10.%=l,q77+1=12a.+lM“为偶数')

A.B.25C.28D.33

11.若集合A={x||x|<2,xeH},B={y|y=—f,则AcB=()

A.(x|0<x<2)B.(x|x<2}C.{x|-2<x<0}D.0

12.已知0<。<£»<1,则()

A.(l-a>B.C.(l+a)u>(1+Z?)D.(l-a)°

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.正四面体A-8C。的各个点在平面”同侧，各点到平面M的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为

14.在正方体ABC。—A4aq中，E为棱A4的中点，尸是棱4A上的点，且4尸=g/耳，则异面直线EF与5C,

所成角的余弦值为.

15.抛物线V=4x上到其焦点F距离为5的点有个.

10

16.已知(l+2x)”=4H—+al0x,IjjllO)-2a24-------10al0+1laH=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“3”两种结果，其中某选手选择正确的概率为

P，选择错误的概率为g,若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完"道题后总得分为S“”.

(1)当p=q=g时，记4=$3,求g的分布列及数学期望；

12

⑵当〃=4=(时，求S8=2且号20(7=1,2,3,4)的概率.

18.(12分)在AABC1中，角A,6,C的对边分别为a,4c.已知c=40，sin-=—.

25

(1)若。=1,求sinA；

(2)求△ABC的面积S的最大值.

19.(12分)小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是,，且是否

2

休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.

(1)求发生调剂现象的概率；

(2)设营业店铺数为X,求X的分布列和数学期望.

20.(12分)已知函数/(x)=|x-2|+|2x+，〃|,(meR).

(1)若根=4时，解不等式/(x)<6；

(2)若关于x的不等式/(x)V|2x-5|在xe［0,2］上有解，求实数机的取值范围.

21.(12分)已知AA3C的三个内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,向量汾=(1,2),«=|^cos2A,cos2,

且沅•万=1・

(1)求角A的大小；

⑵若"c=2a=28，求sin18-?］的值

x-t

22.（10分）在平面直角坐标系直万中，直线/的参数方程为十二（，为参数），直线/与曲线C:（x—lY+y2=i交于

A、8两点.

⑴求|AB|的长;

（2）在以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为求点P到线段AB中点”

的距离.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

设C4=CG=2C8=2,延长A4至。，使得A4=BQ,连BD,CQ,可证AB"/BO,得到/。产。（或补角）

为所求的角，分别求出BG，A4，G。，解AGB。即可.

【详解】

设C4=CG=2C8=2,延长A4至。，使得

连BD,CQ,在直三棱柱ABC—AgC中，A6//44，AB=A4，

:.ABI/B,D,AB=B,D,四边形ABDBt为平行四边形，

.-.ABJ/BD,..ZC^D（或补角）为直线BG与A片所成的角,

在RtABC£中,Bq=dcC；+BC2=也,

2

在放△4瓦£中，A4cosZBjAjCj=忑'

在AAG。中，

CQ2=4。：+4。2-24GTOcosNAAG=4+20—16=8,

在心△A4,与中，AB,=JA4t2+A欧=3,.-.BD=ABt=3,

BC；+BD1-C.D2_5+9-8_V5

在ABG。中,cosZC,BD=

2BC[BD675-T

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.

2.B

【解析】

分别取B。、C。的中点M、N,连接AM、MN、AN,利用二面角的定义转化二面角A—3。一。的平面角为

NAMN.,然后分别过点M作平面曲的垂线与过点N作平面BCQ的垂线交于点。，在RrAOMN中计算出

OM,再利用勾股定理计算出。4,即可得出球。的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案.

【详解】

如下图所示,

分别取8。、8的中点A/、N,连接AM、MN、AN,

由于是以/班。为直角等腰直角三角形，M为BO的中点，

7T

•：NCBD=一,且M、N分别为BD、CO的中点，所以，MN//BC,所以，MN±BD,所以二面角A—3£)—C

2

的平面角为=%

•;AB=AD=yfi，则BD=JAB。+AZ)2=2,且BC=2，所以，AM=^BD=\,MN=；BC=1,

•.•△钻。是以㈤。为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点同理可知，ABC。的外心为点N,

分别过点M作平面ABD的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点。，则点。在平面AMN内，如下图所示，

27r7T7T

由图形可知，ZOMN=ZAMN-ZAMO=—

326

r-八”MN273

在RtAOMN中,岖=c"OMN上.,•°"=正=丁,

0M2也

2

所以,OA=\/OM2+AM2

所以，球。的半径为R=叵，因此，球。的表面积为4万A?=47xf亘］=也

3I3J3

故选：B.

【点睛】

本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等

题.

3.D

【解析】

y=xx-a

试题分析：先画出可行域如图：由｛C，得8(1,1),由｛,得C(4,a),当直线Z=2x+y过点3(1,1)时，

x+y=2y-x

目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点C(〃,a)时，目标函数z=2x+y取得最小值,

最小值为3a；由条件得3=4x3a,所以。=,，故选D.

4

4.A

【解析】

首先根据等比数列分别求出满足q+%<2a2,S21<0的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.

【详解】

{4}为等比数列，

若4+%<2。2成立，有q(<7~-2g+1)<0,

因为q2-2q+120恒成立，

故可以推出4<0且4工1,

若S2,i<0成立，

当q=l时，有q<0,

(]—A?"」)1_

当qwl时，有__!<0,因为二一>0恒成立，所以有4<0,

1—ql-q

故可以推出4<0,qeR,

所以“q+4<2%”是“<0”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.

5.D

【解析】

分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.

【详解】

设圆柱的底面圆半径为r,则「=亚丁=也，所以圆柱的体积乂=兀«6『*2=6兀.又球的体积

324

432----/

V,=-KX23=—K,所以球的体积与圆柱的体积的比匕=」_="，故选D.

33V；—6万—9

【点睛】

本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.

6.D

【解析】

由|/(x)|-or+a.O恒成立，等价于y="(x)|的图像在y=a(x-l)的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用

数形结合的方法求解答案.

【详解】

।八Ifln(2-冗)，工，1,一।八,

因为|/(X)|=2,,由|/(x)|..a(x—l)恒成立，分别作出y=|/(x)|及y=a(x-l)的图象，由图知，当。＜0

时，不符合题意，只须考虑-0的情形，当y=a(x-l)与y=|/(x)|(x.』)图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此

时。=(%2一］)17=2,故既以2.

此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.

7.C

【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x+)，的表达式，进而得到最大值.

【详解】

以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系,

设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心，1为半径的圆；

根据三角形面积公式得到为/周长xr=S=；"8xACxsin6()°'

可得到内切圆的半径为1；

可得到点的坐标为：B(-V3,0),C(V3,0),A(0,3),Z)(0,0),M(cos^,l+sin0)

两=(cos6+6,l+sin9),丽=(百,3),丽=(6,0)

故得到BM=(cos9+G,l+sin9)=(J^x+J^y,3x)

故得到cos6=6x+也y-8,sin。=3x—1

1+sin。

x=-------

3.cosOsinO42./八、

99X--3=-1-----1--§sin(6+0)

cos0sin02G33+*

一亍十§

故最大值为：2.

故答案为C.

【点睛】

这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等

式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一

般方法.

8.C

【解析】

求出I,直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.

【详解】

l+z_2-<_l-3z

2

故选：C

【点睛】

本题考查复数的代数形式的四则运算，共轨复数，属于基础题.

9.A

【解析】

先根据丽=讹，丽=2万得到尸为AABC的重心，^AP=-AB+-AC,故可得N户=1A月+'就，利用

3333

0=茄_茄可得丽=-|,与+ZC,故可计算2+〃的值.

【详解】

因为血=反，丽=2万，所以P为AABC的重心，

所以击月+,衣,..9/

22222

所以而/，

33

_______9___1__

所以丽=丽—丽=—§而+]/，因为丽=4而+〃/，

211

所以a=,//=一,「.4+〃=—故选A.

3339

【点睛】

对于AABC,一般地，如果G为AABC的重心，那么/=g（A月+元），反之，如果G为平面上一点，且满足

AG=|（Afl+Xc）,那么G为AA8C的重心.

10.C

【解析】

依次递推求出4得解.

【详解】

n=l时，a2=1+3=4,

n=2时，%=2X4+1=9,

n=3时，%=9+3=12,

n=4时，a5=2x12+1=25,

n=5时，6=25+3=28.

故选：C

【点睛】

本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11.C

【解析】

试题分析：化简集合〃=[—22],3=(F,OL二403=[-20]

故选C.

考点：集合的运算.

12.D

【解析】

根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正

确答案.

【详解】

因为0<a<l,所以所以y=(l—a)'是减函数，

1b

又因为O<Z?<1,所以,〉。，b>-,

b2

\ub

所以(1一。"<(1一a)，(1-。)<(1一。)2,所以A,B两项均错；

又l<l+a<l+Z?,所以(l+a)“<(l+Z?)“<(l+Z?y,所以C错；

对于D,>(l-a)6>(l-Z?)\所以(1—a)”>(1—

故选D.

【点睛】

这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，

作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关

系.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.V1O

【解析】

不妨设点A,D,C,3到面的距离分别为1,2,3,4,平面M向下平移两个单位，与正四面体相交，过点O,与A8,

AC分别相交于点E,F,根据题意产为中点，E为A5的三等分点（靠近点A）,设棱长为a,求得

V=_Lx@a2x《6a=也再用余弦定理求得：EF,DEDF,cosZEDF,从而求得

Dm324372

2

SEDr=-xDExDFxsinZEDF=-x^-ax^-ax^==^-a,再根据顶点A到面尸的距离为1,得到

皿2232V2112

匕=』xS.Ax1='x@片x1=@,然后利用等体积法Y=v求解，

A-EDF3A的31236

【详解】

不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,

平面M向下平移两个单位，与正四面体相交，过点。，与45,AC分别相交于点E,F,如图所示：

A

B

由题意得：尸为中点，E为A3的三等分点（靠近点A）,

er-pi..162娓03

所以勿4“=-x——ax——a=——，

D~AEF324372

11117117

由余弦定理得：EF~=—ci~H—ci~—2x—ax—cixcos60=—ci~,DE=-ci~+ci~—2xax—axcos60=—ci~,

-492336939

222

cl，122c1"32DE+DF-EF4

DF'=—a+a-2xax—4zxcos60=—a,cosZEDF=--------------=—；=,

4242DEDF历

所以sinNEDF=e，所以SFDF==XDEXDF义sinNEDF==义立-a义也axW==&a°,

V21皿2232V2112

又顶点4到面EDF的距离为1,

所以VA-EDF=!xS.EDFx\=9兴=，

j3123。

因为^D-AEF=^A-DEF，

所以立/=立/,

7236

解得a=V10，

故答案为：Vio

【点睛】

本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于

难题，

14.叵

5

【解析】

根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得而，瓦;.由空间向量的夹角求法即可求得异

面直线EF与所成角的余弦值.

【详解】

根据题意画出几何图形，以A为原点建立空间直角坐标系：

设正方体的棱长为1,则《0,0,£|,尸]；,0,

所以而=西■=((),1,1).

JEFBCX|

所以cos<£F,8G>=lHRr

所以异面直线EF与BQ所成角的余弦值为苧,

故答案为：叵.

5

【点睛】

本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.

15.2

【解析】

设符合条件的点PQ。,%),由抛物线的定义可得归目=%+1=5,即可求解.

【详解】

设符合条件的点P(x0,%),则|尸石=$+1=5,.Fo=4,为=±4,所以符合条件的点有2个.

故答案为：2

【点睛】

本题考查抛物线的定义的应用，考查抛物线的焦半径.

16.22

【解析】

对原方程两边求导，然后令x=-1求得表达式的值.

【详解】

对等式(1+2%)11=4+---卜4(3°+41%”两边求导，得

22(1+2x)“)=a[+2a2*+^••+1。劭/'+11x"，令x=—1,贝！14—2a?+•,,-1Oq()+11=22.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8()

17.(1)见解析，0(2)——

2187

【解析】

(1)J=S,即该选手答完3道题后总得分，可能出现的情况为3道题都答对，答对2道答错1道，答对1道答错2道,3道

题都答错，进而求解即可;

(2)当S8=2时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题，又5,.>0(/=1,2,3,4),则第一题答对，第二题第三

题至少有一道答对，进而求解.

【详解】

解：⑴自的取值可能为一3,-1,1,3,又因为P=4=；,

故雄=-3)=(

《5=(一,

7278

2

P(^=-l)=C；x|x、3

Iq，e=i)=c；xgx一，

278

所以自的分布列为:

-3-113

1331

P

8888

1331

所以E©=(—3)XG+(—1)XG+7+3X三=0

oooo

(2)当纵=2时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,

又已知Si>0(z=1,2,3,4)，第一题答对,

若第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题;

若第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对题,

30x880

此时的概率为P=C+c；)[5(或

7

7=43

【点睛】

本题考查二项分布的分布列及期望，考查数据处理能力，考查分类讨论思想.

18.(1)sinA=—;(2)4

10

【解析】

(1)根据已知用二倍角余弦求出cosC,进而求出sinC,利用正弦定理，即可求解;

(2)由c边C角，利用余弦定理结合基本不等式，求出,出的最大值，即可求出结论.

【详解】

,r34

(1)VcosC-1-2sin'一=——，/.sinC=—,

255

由正弦定理，一=」—得sinA=汕C=正

sinAsinCc10

3ooooo6616

(2)由(1)知cosC——9—2b,ci,cosC—h~+H—baN2abH—bet——ha,

5555

所以\0>ba,S=-6asinC<—xlOx—=4,

5225

当且仅当a=b时，AAbC的面积S有最大值4.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，应用基本不等式求最值，属于基础题.

113

19.(1)—(2)见解析，—

88

【解析】

(1)根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；(2)由题得，X的所有可能取值为0,1,2,根据(1)和变量对应

的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.

【详解】

(1)记2家小店分别为A,B,A店有，•人休假记为事件A,=1,2),B店有i人,休假记为事件与(j=0,

1,2),发生调剂现象的概率为尸.

P(A)=P(4)=c；［J=g，

P(4)=P(B2)=G(£|=；.

所以尸="4与）+*4线）=公乂公+工><2=\.

44443

答：发生调剂现象的概率为9.

O

（2）依题意，X的所有可能取值为0,1,2.

则P（X=0）=P（A遇）=：x；=《，

4410

P（X=l）=P（AM）+P（A/J=；x；+gx：=；,

P（X=2）=1一尸（X=O）—P（X=1）=1—昌噂

所以X的分布表为：

X012

111

P

记416

所以E（X）=2XU+1X4+0X-!-=U.

'J164168

【点睛】

本题是一道考查概率和期望的常考题型.

20.（1）{x|—qVxWo）⑵[—5,3]

【解析】

（1）零点分段法，分xW-2,-2<x<2,x?2讨论即可；

（2）当xw[0,2]时，原问题可转化为：存在XG[0,2],使不等式一尢一3«加43-3%成立，即

（r—3）mm4加〈（3—3x）m,x.

【详解】

解：（1）若m=4时，|x-2|+|2x+4区6,

QQ

当xW—2时，原不等式可化为—x+2-2%-4<6,解得--,所以一一

33

当—2<%<2时，原不等式可化为2—x+2x+4W6,解得九K0,所以—2vx40,

4~

当工22时，原不等式可化为x—2+2x+4<6,解得所以

综上述：不等式的解集为1x|一|