“一致性”视角下的计算教学

“一致性〞视角下的计算教学2022版《数学课程标准》第三学段的“学段目标〞中有这样的表述：能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，开展运算能力和推理意识。如何理解这段话呢？我是这样想的。1.“一致性〞指的是不同数域间数与运算本质的、共性的特征。数，无论整数、小数还是分数，都是数出来的，首先是对数量的抽象，其次是对计数单位多少的表达；运算，首先加减乘除紧密相连，加法、乘法是计数单位的不断累加，减法、除法是计数单位的不断递减；其次，所有的计算都是确定计数单位与计数单位个数的过程。2.数学是有结构的，不仅仅是教学内容，也包括方法、思想、策略，都是一脉相承的。我们要改变原来一个知识点、一个例题、一组练习匀速前进的教学方式，立足每一节课又高于每一节课，从“一致性〞的视角审视课堂，通过类比推理，不断地把小数与分数的知识纳入到整数的认知结构，使学生明白“数与运算〞就那么点事，实现数学学习结构化。3.新课标在第三学段提“一致性〞，是因为前两个学段“数与运算〞主要在整数范围内进行，但这并不意味着“一致性〞到第三学段才开始实施，我们要主动地提前进行相关的储藏与渗透。如在大量“数一数〞“说一说〞的根底上，把“十进制〞“位值〞“计数单位〞等数的核心概念厘清、弄懂、吃透、用好；从一上“十几加减一位数〞开始，就不断强调“在同样的数位上才能比拟大小，在同样的数位上才能加减运算〞；理解数的运算就是“单位个数的运算〞，如三上“2个十乘3等于6个十〞“6个十除以3等于2个十，6个一除以3等于2个一，2个十加2个一等于22〞。那么具体到每一节计算课，围绕“一致性〞，做什么、有什么用、怎么做、什么时候做，都值得我们深入思考。计算课通常有这样几个步骤：创设情境，生成算式；尝试计算，小组交流；讨论算法，理解算理；稳固应用，掌握算法，“一致性〞应该在哪个环节落地呢？根据一段时间的学习、实践、反思，我觉得可以从以下几个方面尝试做些改变。一、教师的意识是“一致性〞的根本保障新理念的落实离不开课堂，离不开教师，少一个老师的积极主动参与，课程标准的落实就多一个盲区。如果我们不清楚数学核心素养为何物，不了解数学课程的变化趋势，对整体性和一致性置假设罔闻，无视学生思维能力的培养，那么相对应的数学课堂就依然是死水一潭，要么我行我素，要么换汤不换药，人迈进了课程标准2.0时代，意识停在了教学大纲那里。面对“一致性〞的新要求，我们必须对教材进行统整，建构不同单元、不同运算算理的一致性，将零散的、碎片的数学知识先在自己头脑中形成整体化、系统化、逻辑化的数学知识结构。有了这样的认知与储藏，才会产生相应的意识，进而有与之配套的具体到每一节计算课的教学目标和教学行为。比方加减法的结构系统就是同一计数单位的加减，在分数、小数加减法的算理理解过程中，教师要引导学生感知这一特征，并与整数加减法建立联系。再比方乘法是“计数单位与计数单位相乘，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘，再分别加起来〞，整数乘法是这样：12×3=10×3+2×3=〔1×3〕×〔10×1〕+〔2×3〕×〔1×1〕=36，小数、分数乘法也是这样：1.92×0.9=〔192×0.01〕×〔9×0.1〕=〔192×9〕×〔0.01×0.1〕=1.728，这也恰恰可以解释“小数乘法竖式为什么不是相同数位对齐〞，而且也不用费尽心思地记忆繁多的、各自为战的计算法则，本是一家人，何故如此生疏。二、从理解数与算式的意义入手数的概念是数的运算的根底，数的运算是对数的概念的再应用。计算课上，我们需要从“十进制和计数单位〞的角度帮助儿童理解运算算理，感悟不同运算之间的关系，基于此，我们有必要在导入时培养学生养成主动理解数与算式意义的习惯。如《简单的小数加减法》一课，引导学生发现数学信息，提出数学问题并生成算式后，可以作如下设计：师：你是怎样理解6.45和4.29这两个数的？生：6.45是由6个一、4个0.1、5个0.01组成的……师：为什么用加法算呢？生：因为要把6.45和4.29合并成一个数。师：那为什么用减法算呢？生：求一个数比另一个数多〔少〕多少用减法。师：减法是加法的逆运算，我们已经学过减法的意义，你能用它解释吗？生：《童话选》+多的钱=《数学家的故事》，两个加数的和与其中一个加数求另一个加数用减法。师：从具体到一般再到具体，是数学学习的一般过程。三、不要让“理解算理〞成为摆设课程标准的“课程内容〞中强调：“数是对数量的抽象，数的运算的重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联。〞在第一学段“内容要求〞里增加了“探索加法和减法〔乘法和除法〕的算理与算法〞的内容。我们虽然一直强调“算法、算理是运算能力的一体两翼〞，但在实际教学中没有给予算理理解足够的重视，不深入、不彻底，停留在浅表的层面，结果极有可能是少数学生或者老师的理解，无论在时间上还是空间上都远称不上达标。更有意义的算理理解应该包含如下教学路径：首先让学生尝试计算，并借助画一画、连一连、写一写等方式进行多元表征；然后在小组内“说一说〞，互通有无、比拟汇整，让算理理解插上思维的翅膀；接着集体汇报，能识别不同的方法并进行比拟，尽可能让所有同学都能接触到不同的方法并读懂背后的理由；最后，将这些方法分门别类，在比拟联系中发现相同本质，提炼基于“一致性〞的通法。更重要的是，上述路径不是说说而已，或是浅尝辄止，而是要舍得花时间、舍得给时机，教学结构不能是一句空话。以《一个数除以分数》一课为例，生成算式后，可以引导学生回忆《分数除以整数》的研究过程，唤醒学生的知识经验。然后让学生尝试计算2÷2/3，进行多元表征，小组讨论后集体汇报反应。组1：我们是用画图的方式思考的，先画一个长方形表示一小时行的路程，把它平均分成3份，其中的2份就是2/3小时行的路程。先求1/3小时行的路程，也就是2÷2，再乘3就是1小时行的路程，结果是3千米。组2：也可以用线段图来表示。组3：通过上节课的学习，我们知道分数除以整数，等于分数乘整数的倒数，我们想2÷2/3是不是等于2×3/2呢？计算的结果也是3千米。师：2÷2/3=2×3/2，这样做是否可行呢？数学不能想当然。组3：根据刚刚1组的分析，我们可以得出这样的结论，2÷2/3=2÷2×3=2×1/2×3=2×3/2，是可以的。师：借鉴其他组的想法，完善自己的想法，你们碰撞出了智慧的火花。师：还有不一样的想法吗？组4：我们是这样想的，2=6/3，6/3÷2/3=6÷2=3。师：真棒！你们组真会学以致用。60÷20=6个十÷2个十=6÷2，0.6÷0.2=6个0.1÷2个0.1=6÷2，6/3÷2/3=6个1/3÷2个1/3=6÷2，这就是我们之前强调的“一致性〞。组5：我们组是根据“商不变的规律〞来思考的，2÷2/3=〔2×3/2〕÷〔2/3×3/2〕=2×3/2，也可以得出同样的结论。师：这样看来，我们刚刚提到的“一致性〞与“商不变的规律〞也有联系，a个▲÷b个▲=a÷b，计数单位上的数字与计数单位上的数字直接相除，这里的▲可以是所有的计数单位。师：同学们真厉害，想出来这么多算法。比照一下，它们有什么联系呢？生：第一种和第三种方法都得出了同样的结论，除以一个分数等于乘这个分数的倒数。师：其实第二种方法同样如此，〔2×3〕/3÷2/3=2×3÷2=2×3×1/2=2×3/2，殊途同归。当然，运算的“一致性〞是一个连续的过程，要深深扎根于老师的头脑中，并潜移默化地影响学生，进而变成学生的积极主