第01讲 图形的旋转（原卷版）

第01讲图形的旋转课程标准学习目标①旋转的定义及生活中的旋转现象②旋转的性质③旋转作图④旋转对称图形理解掌握旋转的定义并能够判断生活中的旋转现象。掌握旋转的性质，并能够利用性质熟练解题。掌握旋转作图的方法步骤，能够确定旋转中心，作出旋转后的图形。掌握旋转对称图形。知识点01旋转的概念旋转的概念：在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针旋转一定角度的图形变换叫做旋转。点O叫做，转动的角度叫做，顺时针或逆时针叫做。它们是旋转的三要素。旋转的相关概念：如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做。题型考点：①判断生活中的旋转现象。②旋转中心与对应点对应边的判断。【即学即练1】1．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【即学即练2】2．如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′＝90°，则旋转中心是点,旋转角是,点A的对应点是,线段AB的对应线段是,∠B的对应角是,∠BOB′＝．【即学即练2】【即学即练3】【即学即练3】3．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（）A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点知识点02旋转的性质旋转的性质：①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。②对应点到旋转中心的距离相等。③对应点与旋转中心的连线形成的夹角等于旋转角。题型考点：①旋转的性质理解。②旋转的性质利用。【即学即练1】4．下列关于图形旋转的说法中，错误的是（）A．图形上各点旋转的角度相同 B．对应点到旋转中心距离相等 C．由旋转得到的图形也一定可以由平移得到 D．旋转不改变图形的大小、形状【即学即练2】5．如图，△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度（0＜α＜180）后得到△ADE，点E恰好落在BC上，则α＝（）A．30° B．35° C．40° D．不能确定【即学即练3】6．如图．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为．【即学即练3】【即学即练4】【即学即练4】7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A． B． C．1﹣ D．1﹣知识点03旋转作图旋转作图的步骤：①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。③按照原图形连接各对应点。题型考点：旋转作图。【即学即练1】8．已知：如图，四边形ABCD及一点P．求作：四边形A′B′C′D′，使得它是由四边形ABCD绕P点顺时针旋转150°得到的．【即学即练2】9．如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．知识点04旋转对称图形平面直角坐标系中的旋转：若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标所在象限。简称横变纵，纵边横，符号看象限。当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。旋转对称图形：若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。题型考点：①判断旋转对称图形的旋转角。②平面直角坐标系中的旋转【即学即练1】10．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A． B． C． D．【即学即练2】11．如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（）A．30° B．60° C．120° D．180°【即学即练3】12．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）【即学即练3】【即学即练4】A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）【即学即练4】13．如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b） B．（a+2，b） C．（﹣a﹣2，﹣b） D．（a+2，﹣b）题型01生活中的旋转现象【典例1】下列运动属于旋转的是（）A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．一个图形沿某直线对折的过程【典例2】下列现象属于旋转的是（）A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车题型02利用旋转求角度【典例1】如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A＝°．【典例1】【典例2】【典例2】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【典例3】如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠E的度数为（）A．50° B．75° C．65° D．60°【典例4】如图，菱形ABCD，E是对角线AC上一点，将线段DE绕点E顺时针旋转角度2α，点D恰好落在BC边上点F处，则∠DAB的度数为（）A．α B．90°﹣α C．180°﹣2α D．2α题型03利用旋转求线段【典例1】如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，如果CD＝2DA＝2，那么CC′＝．【典例2】如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按逆时针旋转60°得到△AB1C1连接BC1，则BC1的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【典例3】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为（）A． B．4 C．2 D．5【典例4】已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（）A．2 B．4 C．2 D．不能确定题型04旋转作图与坐标计算【典例1】作图：如图甲，以点O为中心，把点P顺时针旋转45°．如图乙，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．如图丙，以点O为中心，把△ABC顺时针旋转120°．（4）如图丁，以点B为中心，把△ABC旋转180°．【典例2】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上，在图中画出将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到的△A'B'C'．【典例3】如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）【典例4】如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0）与点B关于y轴对称，现将图中的“月牙①”绕点B顺时针旋转90°得到“月牙②”，则点A的对应点A′的坐标为（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（2，﹣4）【典例5】如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A．（5，2） B．（2，5） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）【典例6】如图1，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣2，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得到的△A2B2C2．【典例7】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．题型05旋转对称图形【典例1】图中，不是旋转对称图形的是（）A． B． C． D．【典例2】如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（）A．60° B．90° C．72° D．120°【典例3】数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【典例4】点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转°后能与原来的图案互相重合．1．下列现象中是旋转的是（）A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屉来回运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动2．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A． B． C． D．3．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（）A．50° B．60° C．40° D．30°4．如图，在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝1，△ACB绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，点B，E之间的距离为（）A．2 B． C． D．35．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），将点A绕原点O逆时针方向旋转90°得到点B，则点B的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，3） D．（3，2）6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在第二象限，点A在y轴正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点B的对应点B'的坐标是（）A．（3，1） B． C． D．7．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方OA2023B2023C2023，如果点A的坐标为（1，0），那么B2023的坐标为（）A．（1，1） B． C． D．（﹣1，﹣1）8．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA＝DE，则CF＝FG；其中正确的结论是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③9．如图，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，当点D在BC边上时，恰好有AE∥BC，若∠C＝40°，则旋转角∠EAC＝，∠B＝．10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕A点按顺时针旋转60°，得到△AB′C′，则CC′＝．11．如图，等边△ABC中，BC＝12，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN经过△ABC一边中点时，PB的长为．13．如图，