人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题7.7 二项分布与超几何分布（重难点题型精讲）（教师版）

专题7.7二项分布与超几何分布（重难点题型精讲）1．伯努利试验(1)伯努利试验的概念

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

(2)n重伯努利试验的两个特征

①同一个伯努利试验重复做n次；

②各次试验的结果相互独立.2．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，k=0，1，2，SKIPIF1<0，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XSKIPIF1<0B(n，p).3．二项分布的期望与方差一般地，如果XSKIPIF1<0B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).4．超几何分布(1)定义

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=SKIPIF1<0，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈SKIPIF1<0，MSKIPIF1<0N，nSKIPIF1<0N，m=SKIPIF1<0{0，n-N+M}，r=SKIPIF1<0.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)=SKIPIF1<0=np.

(2)求超几何分布的分布列

①判断随机变量是不是服从超几何分布；

②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.5．超几何分布与二项分布的关系(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.

(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.【题型1二项分布的概率计算】【方法点拨】对于二项分布的概率计算问题，根据二项分布的定义及二项分布的分布列，进行求解即可.【例1】（2022春·新疆·高二阶段练习）已知随机变量X服从二项分布X∼B6,13，则PA．1316 B．4243 C．13【解题思路】由二项分布的概率公式计算．【解答过程】P(X=2)=C故选：D．【变式1-1】（2022·高二单元测试）已知随机变量X~B2,p，Y服从两点分布，若PX≥1=0.64，PA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【解题思路】利用二项分布的概率公式可求p,然后利用两点分布概率公式计算可得结果.【解答过程】随机变量X~B2，p解得p=0.4（p=1.6舍去，注意：0<p<1），PY=0故选:C．【变式1-2】（2022·高二课时练习）设随机变量X~B(2,p)，若P(X≥1)=59，则p的值为（

A．13 B．23 C．5【解题思路】利用二项分布求解即可【解答过程】∵X~B(2,p)，∴P(X=0)=1−p∴P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−p)解得p=1故选：A.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量ξ~B2,   p，η~B4,   p，若A．8081 B．6581 C．55【解题思路】先建立方程C20p0(1−p)【解答过程】解：因为随机变量ξ~B2,   p所以Pξ≥1=1−Pξ=0因为Pξ=0=C2随机变量η~B4,Pη≥1故选：A.【题型2二项分布的期望与方差】【方法点拨】根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化求解即可.【例2】（2022·高二课时练习）已知随机变量X服从二项分布B12,p，若E2X−3=5，则DA．83【解题思路】根据二项分布的数学期望和方差公式，再结合数学期望和方差性质求解即可.【解答过程】随机变量X服从二项分布B12,p，E因为E2X−3=2EX因为DX所以D3X故选：D.【变式2-1】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数A=a1a2a3a4，其中aii=1,2,3,4出现0的概率为13A．43 B．2 C．8【解题思路】根据二项分布求期望.【解答过程】由题意，X=0,1,2,3,4,PX=k故X∼B∴EX故选:C.【变式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知随机变量ξ+η=8，若ξ∼B(10,0.3)，则E(η),D(η)分别是（

）A．4和2.4 B．5和2.1 C．2和2.4 D．4和5.6【解题思路】由ξ∼B(10,0.3)求得E(ξ),D(ξ)，根据ξ+η=8，结合均值和方差的性质，即可求得答案.【解答过程】由题意知，ξ∼B(10,0.3)，故E(ξ)=10×0.3=3,D(ξ)=10×0.3×(1−0.3)=2.1，由于ξ+η=8，故η=8−ξ，所以E(η)=8−E(ξ)=8−3=5,D(η)=(−1)故选：B.【变式2-3】（2022秋·河南南阳·高三阶段练习）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，且P(X=4)<P(X=6)，则E(X)=（

）A．6 B．5 C．4 D．3【解题思路】由二项分布的方差公式可求出p=0.4或p=0.6，又因为P(X=4)<P(X=6)可得p>0.5，所以可求出p=0.6，再由二项分布的期望即可求出答案.【解答过程】解：由二项分布的方差公式有D(X)=np(1−p)=2.4，解得:p=0.4或p=0.6.而PX=4<PX=6解得:p>0.5所以p=0.6，从而E(X)=np=6.故选:A.【题型3二项分布中的最大值问题】【方法点拨】对于二项分布中的最值问题，结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k的值，进行求解即可.【例3】（2022春·山东枣庄·高二期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若X~B11,0.8，若PX=k最大，则k＝（A．7 B．8 C．9 D．10【解题思路】若PX=k最大，则PX=k≥P【解答过程】因为PX=k=CPX=k≥PX=k+1PX=k代入已知数值得：8.6≤k≤9.6，所以k=9时PX=k故选：C.【变式3-1】（2022春·北京通州·高二期末）若X∼B10,12，则P(X=k)取得最大值时，k=A．4 B．5 C．6 D．5或6【解题思路】求得P(X=k)的表达式，结合组合数的性质求得正确答案.【解答过程】因为X~B10,12由组合数的性质可知，当k=5时C10k最大，此时故选：B.【变式3-2】（2022春·广东云浮·高二期末）已知X∼Bn,p，若4PX=2=3PX=3，则A．56 B．45 C．3【解题思路】根据4PX=2=3PX=3可得到方程，求得p=【解答过程】由题意可知n≥3，因为4PX=2=3PX=3整理得41−p=n−2又n∈N*，且n≥3，所以故选：B.【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）经检测有一批产品合格率为34，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P(ξ=k)取得最大值时k的值为（

A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】随机变量ξ~B(5,34)，P(ξ=k)=C5k⋅(3【解答过程】由题意，随机变量ξ~B(5,34)若P(ξ=k)取得最大值时，则:

P(ξ=k)⩾P(ξ=k+1)P(ξ=k)⩾P(ξ=k−1)则15−k×14≥故选：C．【题型4超几何分布的判断】【方法点拨】对于所给的随机变量X，根据超几何分布的定义来进行判断即可.【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（

）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X【解题思路】根据超几何分布的定义可判断得选项.【解答过程】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布.故选：B.【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.【解答过程】对于①，当X表示最大号码，比如X=6表示从黑球编号为1,2,3,4,5中取3个黑球，而X=8表示从6个黑球和编号为7的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.对于③，X的可能取值为4,5,6,7,8，X=4表示取出4个白球；X=5表示取出3个白球1个黑球；X=6表示取出2个白球2个黑球；X=7表示取出1个白球3个黑球；X=8表示取出4个黑球；因此X服从超几何分布.由超几何分布的概念知④符合，故选：B.【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（

）A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝10【解题思路】根据超几何分布概率模型可得选项.【解答过程】根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，故选：A.【变式4-3】（2022春·黑龙江绥化·高二期末）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从（

）A．二项分布，且EX=8C．超几何分布，且EX=8【解题思路】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解.【解答过程】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得X服从超几何分布，所以EX故选：C.【题型5二项分布的实际应用】【方法点拨】利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是否服从二项分布；(3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值；(4)根据需要列出相关式子并解决问题.【例5】（2023·全国·高二专题练习）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，期望EX=3，方差(1)求n和p的值，并写出X的分布列.；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【解题思路】（1）根据二项分布的知识列方程组，求得n,p，并求得X的分布列.（2）结合（1）的分布列求得正确答案.【解答过程】（1）由题意知，随机变量X服从二项分布Bn,pPX=k=C由EX=np=3DX=np所以X∼B6,12，XPX=0PX=2PX=4PX=6所以X的分布列为：X0123456P131551531（2）记事件A表示“需要补种沙柳”，则PA得PA所以需要补种沙柳的概率为2132【变式5-1】（2022·高二课时练习）某公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，且成活率均为23，设ξ(1)求ξ的分布列；(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.【解题思路】（1）根据题意成活棕榈树的棵数服从二项分布，再求出分布列即可；（2）由题意计算Pξ≤2【解答过程】（1）易知ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，且Pξ=0=CPξ=2=CPξ=4所以ξ的分布列为ξ01234P1883216（2）记“需要补种棕榈树”为事件A，由（1）得，PA所以需要补种棕榈树的概率为1127【变式5-2】（2022秋·辽宁沈阳·高二期末）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．(1)设A类服装单件销售价格为ξ元，B类服装单件销售价格为η元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若P(X≤n)≤0.5(n∈N)【解题思路】（1）根据给定的信息，求出ξ，η的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）求出购买了服装的顾客中购买B类服装的概率，借助二项分布求出n的各个值对应的概率，再比较判断作答.【解答过程】（1）依题意，ξ的可能值为200，170，120，P(ξ=200)=0.3,P(ξ=170)=0.5,P(ξ=120)=0.2，ξ的分布列为：ξ200170120P0.30.50.2ξ的期望E(ξ)=200×0.3+170×0.5+120×0.2=169，η的可能值为300，255，180，P(η=300)=0.2,P(η=255)=0.4,P(η=180)=0.4，η的分布列为：η300255180P0.20.40.4η的期望E(η)=300×0.2+255×0.4+180×0.4=234，设A类服装、B类服装的单件收益分别为X1元，X2元，则X1EX1=E(ξ)−120=49（元），E所以B类服装单件收益的期望大.（2）依题意，X的可能值为0，1，2，3，4，5，显然X~B5,P(X=0)=135=1P(X=3)=C5323因为P(X≤2)=1+10+40243=所以当P(X≤n)≤0.5(n∈N)时，【变式5-3】（2022春·上海闵行·高二期末）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（A1pineSkiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项日．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．(1)求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；(2)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；（2）由已知可得X∼B(5,13)（3）由已知可得复活的人数k∼B(10,1【解答过程】(1)每位运动员进入胜者组的概率为3090=1(2)由已知条件得进入胜者组的人数为X∼B(5,1所以P(X=n)=C5n所以P(X=0)=C50P(X=2)=C52P(X=4)=C54则X的分布列为X012345P32808040101数学期望EX(3)设从败者组选取的10人中有kk∈N∗所以P(k)=C当P(k)最大时，用满足P(k)≥P(k-即C10k1又因为k∈N∗，所以【题型6超几何分布的实际应用】【方法点拨】利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是否服从超几何分布；(3)若服从超几何分布，则求出随机变量的概率及分布列；(4)根据需要列出相关式子并解决问题.【例6】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有X人，求随机变量X的分布列与数学期望.【解题思路】(1)根据分层抽样的定义求出男女会员中喜欢冰雪运动的比例，进而求解；(2)根据超几何分布计算概率.【解答过程】（1）用分层抽样的方法随机抽取36名会员，其中男会员有10001800所以在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有820（2）X可能的取值有0,1,2,3，PPX=2所以X的分布列为X0123P1122814所以X的期望EX【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率；(2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【解题思路】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件A发生的概率.（2）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.【解答过程】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有C2当两名高级导游来自乙旅游协会时，有C3则P所以事件A发生的概率为421（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4.Pξ=0Pξ=1Pξ=2Pξ=3Pξ=4所以，随机变量ξ的分布列为ξ01234P11010205所以，随机变量ξ的数学期望为Eξ=0×【变式6-2】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二期中）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．厨余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率P；(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设X为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．【解题思路】（1）有表格可得总的厨余垃圾总量,以及投入正确的垃圾投放量,即可求解.（2）根据超几何分布,即可得分布列和期望.【解答过程】（1）由题表可得厨余垃圾共有60+20+