第五节　离散型随机变量的分布列及均值、方差

1．随机变量(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有_____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．(2)离散型随机变量：可能取值为_____________________的随机变量，我们称之为离散型随机变量．(3)字母表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如

；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如

.唯一有限个或可以一一列举X，Y，Zx，y，z2．分布列的概念与性质(1)定义：一般地，设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝

，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(2)表示方法：①表格；②概率分布图．(3)性质：①pi

0，i＝1,2,3，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝___.pi≥14．离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn5．离散型随机变量的方差(1)方差和标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的_________，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差____，随机变量的取值越集中；方差或标准差_____，随机变量的取值越分散．6．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝

；(2)D(aX＋b)＝

．偏离程度越小越大aE(X)＋ba2D(X)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确．1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是

(

)A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数解析：选项A、B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.答案：C2．(苏教版选择性必修第二册P106·T2改编)设离散型随机变量X的分布列如下：则p的值为

(

)解析：由分布列性质知：0.1＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.4.所以E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2.D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.2.答案：B6．(人教A版选择性必修第三册P70·T3改编)甲、乙两名工人在一天的生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为甲的废品数分布列乙的废品数分布列X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．解析：由E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，得E(Y)<E(X)，所以乙的技术好．答案：乙层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点随机变量的分布列及其性质

[题点全训]1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为

(

)A．25 B．10C．7 D．6解析：X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.答案：C2．设离散型随机变量X的分布列为若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)＝

(

)A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.答案：A

X01234P0.20.10.10.3m[一“点”就过]离散型随机变量的分布列性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值．(2)利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)离散型随机变量的分布列的求法[典例]一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续抽取，求抽取次数ξ的分布列．[方法技巧]离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；(3)画表格：按规范要求形式写出分布列；(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．

[针对训练]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．重难点(二)离散型随机变量的均值与方差

考法1离散型随机变量的均值与方差[例1]某班级以“评分”的方式鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A，B两地游玩，因目的地A地近，B地远，特制定方案如下：若甲同学去A地游玩，乙、丙同学去B地游玩，各位同学选择出行方式相互独立．(1)求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；(2)求三名同学总得分X的分布列及数学期望E(X)．[方法技巧]求离散型随机变量均值与方差的关键及注意点(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．

考法2利用均值、方差进行决策[例2]

(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列．(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由．[解]

(1)由题意，X的取值分别为0,20,100，则P(X＝0)＝0.2，P(X＝20)＝0.8×0.4＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为(2)由(1)得，先回答A类问题的期望E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.设先回答B类问题累计得分为Y，Y的取值可能为0,80,100，则P(Y＝0)＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×0.2＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为E(Y)＞E(X)，所以应选择先回答B类问题．X020100P0.20.320.48Y080100P0.40.120.48[方法技巧]利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．

[针对训练]1．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差．解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为重难点(三)超几何分布

[典例]电影《长津湖》《我和我的父辈》《五个扑水的少年》在国庆期间集体上映．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档电影，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《长津湖》的有49人，观看了《我和我的父辈》的有46人，观看了《五个扑水的少年》的有34人，统计图如图所示．(1)计算图中a，b，c的值；(2)文化局从只观看了两部电影的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4人中将要观看《长津湖》的人数，求X的分布列．[方法技巧]求超几何分布的分布列的步骤[针对训练]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．1.(创新考查方式)已知随机变量ξ的分布列如表所示．则当a逐渐增大时，E(ξ)－D(ξ) (

)A．一直增大

B．一直减小C．先增大后减小

D．以上均不正确3．(创新命题情境)澳大利亚曾发现一颗28.84克拉的钻石原石，如图(1)