2023年辽宁省朝阳一中中考数学一模试卷（含解析）

2023年辽宁省朝阳一中中考数学一模试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.

1.百的倒数是（）

A.-MB.A/3C.D.

2.下列图案中，不是中心对称图形的是（）

④©

3.计算：2.V（-3乃3）=（）

A.6x3y3B.-6炉炉C.-6x3y3D.

4.四边形ABC。的对角线互相平分，要使它成为矩形；那么需要添加的条件是（）

A.AB=BCB.AC垂直8。C./A=/CD.AC=BD

5.将分-46分解因式，所得结果正确的是（）

A.b（加-4）B.6"-4）2

C.b（b-2）2D.b（b+2）（b-2）

6.如果一个正多边形的内角和等于720。，那么该正多边形的一个外角等于（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

7.均匀的正方体骰子的六个面上的点数分别为1、2、3、4、5,6,抛掷正方体骰子一次，

朝上的面上的点数不大于2的概率为（）

1119

A.—B.—C.—D.—

6323

8.已知二元一次方程组的解为［'“匕则在同一平面直角坐标系中，直线小y

（x+2y=-2Iy=l

=x+5与直线h：y=4%-1的交点坐标为（）

A.（4,1）B.（1,-4）C.（-1,-4）D.（-4,1）

9.如图，将矩形ABC。沿GH对折，点。落在。处，点。落在AB边上的E处，EQ与BC

相交于点/，若AO=8,AE=4,A8=6,则AEB尸周长的大小为（)

A.8B.10C.12D.6

10.二次函数、=如2+汝+。的图象如图所示，则反比例函数y今与一次函数y=-在

同一坐标系内的大致图象是（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.甲、乙两同学最近的5次数学测验中数学成绩的方差分别是S甲2=2.17,S/=3.45,

则数学成绩比较稳定的同学是.

12.若式子《工在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

13.已知点尸（4+1,-5+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是

14.对于任意的x值都有:焉T?则M，N值为，•

15.己知△4BC的三个顶点坐标为4(5,0)、8(6,4)、C(3,0),将△A8C以坐标

原点O为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标

为.

16.如图，/M4N=90°,点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,

△Az8c与△ABC关于8c所在直线对称，点D,E分别为AC,8c的中点，连接。E

并延长交A1B所在直线于点F,连接A'E.当EF为直角三角形时，AB的长

为.

三、解答题(本大题共9小题，满分72分解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过

程)

17.计算(冗-2022)°+2cos30°-|2-«l-Cl")”.

18.世界读书日是在每年的4月23日，”世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和

写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思

想大师们，保护知识产权.某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书

签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元.调查发现，如果每张书签的售

价每降价0.1元，平均每天可多售出200张.批发商要想平均每天获利270元，求每张书

签应降价多少元.

19.睡眠是人的机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、

视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要.某校为了解本校学生的睡眠情况,

随机调查了40名学生一周（7天）平均每天的睡眠时间x（单位：小时），并根据调查

结果绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图.

（1）分别求出表中相，”的值;

（2）抽取的40名学生睡眠时间的中位数落在的组别是组；

（3）若该校共有1200名学生，请估计该校学生睡眠时间达到9小时及以上的学生人数.

20.在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为丫=戈；②函数表达式为），=/；

③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大

而增大.将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤

放在不透明的盒子8中搅匀.

（I）从盒子4中任意抽出1支签，抽到①的概率是；

（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2张小纸

条上的语句对函数的描述相符合的概率.

21.高楼AB和斜坡CD的纵截面如图所示，斜坡CD的底部点C与高楼AB的水平距离CB

为150米，斜坡CD的坡度（或坡比）/=1：2.4,坡顶。到BC的垂直距离DE=50米，

在点。处测得高楼楼顶点A的仰角为50°,求高楼的高度AB（结果精确到0.1米）.（参

考数据：sin50040.766,cos500—.643,tan500=1.192）

A

CEB

22.如图，AB是的直径，。0弦4C=BC,E是OB的中点，连接CE并延长到点E,使所

=CE,连接A尸交。。于点。，连接BO,BF.

(1)求证：直线BF是。。的切线：

(2)若AF长为5&，求80的长.

C

23.某商店十月份销售一种成本价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天的销售

量y(件)是售价x(元件)的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表：

售价X(元件)5565

销售量V(件/天)9070

(1)求销售量y与售价x之间的函数关系式；

(2)十月份销售该商品时，售价定为多少元，每天才能获取最大利润？最大销售利润是

多少？

(3)十一月份由于原材科上涨等因素，该商品成本价提高了a元/件(0<a<15),商

品的每天销售量与销售价的关系不变，若商品的销售价不低于成本价，且物价部门规定

售价不得超过80元/件，商店十一月份销售该商品的过程中，获得的销售最大利润能否

为882元？说明理由.

24.综合与实践

问题情境：

在RtZVlBC中，NACB=90°,点O为斜边AB上的动点(不与点A,B重合).

操作发现：

(1)如图①，当AC=BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连接

DE,BE.

①NCBE的度数为；

②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；

探究证明：

(2)如图2,当BC=2AC时，把线段CO绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两

倍，记为线段CE.

①在点。的运动过程中，请判断AO与8E有什么数量关系？并证明；

②若AC=2,在点。的运动过程中，当△C3E的形状为等腰三角形时，直接写出此时△

CBE的面积.

25.综合与探究

如图，抛物线y=-Jf+fer+c与x轴交于A,B两点(点4在点8的左侧)，与y轴交

于点C,点A,C的坐标分别为(-2,0),(0,4),连接AC,BC.点P是y轴右侧

的抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点8的坐标；

(2)连接PA,交直线BC于点。，当线段A。的值最小时，求点P的坐标；

(3)点。是坐标平面内一点，是否存在点Q,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形

为矩形，若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.百的倒数是（）

A.-A/3B.73c._*•D.**

【分析】根据倒数的定义求解即可.

解：声的倒数是浮，

故选：D.

【点评】本题考查了实数的性质，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.

2.下列图案中，不是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后

的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

解：选项A、B、。都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形

重合，所以是中心对称图形，

选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以

不是中心对称图形，

故选：C.

【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后

与自身重合.

3.计算：2x*（-3/>3）=（）

A.6小尸B.-dx2）,C.-6x3y3D.

【分析】单项式乘以单项式，首先系数乘以系数，然后相同字母相乘，最后只在一个单

项式含有的字母照写.

解:原式=2X(-3)xl+2y3=-6x3y3.

故选：C.

【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，解决本题的关键是掌握单项式乘单项式法则.

4.四边形A8CO的对角线互相平分，要使它成为矩形；那么需要添加的条件是()

A.AB=BCB.AC垂直8。C./A=NCD.AC=B。

【分析】先证四边形A8CZ)是平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选

项进行判断即可.

解：•••四边形的对角线互相平分，

四边形ABCD是平行四边形，

A、'：AB=BC,

，平行四边形A8CO是菱形，故选项A不符合题意；

B、\'AC±BD,

平行四边形ABC。是菱形，故选项8不符合题意；

C、：四边形ABC。是平行四边形，

：.ZA=ZC,

，不能判定平行四边形A8CD是矩形，故选项C不符合题意；

二平行四边形ABC。是矩形，故选项。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟

练掌握矩形的判定是解题的关键.

5.将吩-4b分解因式，所得结果正确的是()

A.b(加-4)B.b(b-4)2

C.b(b-2)2D.b(6+2)(6-2)

【分析】直接提取公因式b,进而利用平方差公式分解因式得出答案.

解：b3a(Z>2-4)=b"+2)(Z>-2).

故选：D.

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及平方差公式分解因式，正确应用平方差公式

是解题关键.

6.如果一个正多边形的内角和等于720。，那么该正多边形的一个外角等于()

A.45°B.60°C.72°D.90°

【分析】根据正多边形的内角和定义(«-2)X1800列方程求出多边形的边数，再根据

正多边形内角和为360。、且每个外角相等求解可得.

解：多边形内角和(«-2)X1800=720°,

••〃—6.

则正多边形的一个外角=36°°=60。,

n6

故选：B.

【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.注意掌握多边形内角和定理：

-2)-180°,外角和等于360°.

7.均匀的正方体骰子的六个面上的点数分别为1、2、3、4、5,6,抛掷正方体骰子一次，

朝上的面上的点数不大于2的概率为()

1119

A.—■B.—C.—D.—

6323

【分析】先求出一个均匀的正方体的骰子六个面上的6的个数，再根据概率公式解答即

可.

解：因为一个均匀的正方体的骰子六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6,只有1,2

两面不大于2,

所以抛掷一次向上的面的点数不大于2的概率是苫=2.

63

故选:B.

【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

8.已知二元一次方程组('-丫-'的解为则在同一平面直角坐标系中，直线东

(x+2y=-2{y=l

=x+5与直线/2：y=-1-.r-1的交点坐标为()

A.(4,1)B.(1,-4)C.(-1,-4)D.(-4,1)

【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可.

解：•.•二元一次方程组卜-y=-5的解为卜=-4,

[x+2y=-2Iy=l

直线/i：y=x+5与直线fc：y=1x-1的交点坐标为(-4,1).

故选：D.

【点评】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的

一次函数图象的交点坐标.

9.如图，将矩形A8CZ）沿GH对折，点C落在Q处，点。落在A8边上的E处，EQ与BC

相交于点F，若AZ）=8,AE=4,AB=6,则△E8F周长的大小为（）

【分析】设AH=a,则。-A4=8-a,通过勾股定理即可求出a值，再根据同角

的余角互补可得出从而得出根据相似三角形的周长比

等于对应比即可求出结论.

解：设则。"=A。-AH=8-a,

在中，Z£AW=90",AE=4,AH^a,EH=DH=8-a,

：.EH2=AE2+AH2,即（8-a）2=42+a2,

解得：a=3.

:NBFE+NBEF=90°,NBEF+NAEH=9Q°,

ZBFE=NAEH.

又,：NEAH=NFBE=9Q°,

：.^\EBF^/\HAE,

.C/IEBF_BE=AB-AE二2

••,△的加二AH工

•/C^HAE=AE+EH^-AH=AE+AD=12,

・_2

C^EBF=—C^HAE=8.

故选：A.

【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，

解题的关键是找出△EBFS/VME.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，

通过勾股定理求出三角形的边长，再根据相似三角形的性质找出周长间的比例是关键.

10.二次函数yuar2+队+c的图象如图所示，则反比例函数了三与一次函数y=在

X

同一坐标系内的大致图象是（）

【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定。>0,b>0,由

抛物线与y轴的交点位置确定c<0,然后利用排除法即可得出正确答案.

解：•.•二次函数的图象开口向上,

：.a>0,

'：二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且交y轴的负半轴,

：.b>0,c<0,

ac<0,

反比例函数y=3&的图象必在二、四象限，一次函数y=-or+g的图象必经过一二

x2a

四象限，故A正确.

故选：A.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，

熟知以上知识是解答此题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.甲、乙两同学最近的5次数学测验中数学成绩的方差分别是Si=217,SJ=3.45,

则数学成绩比较稳定的同学是甲.

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定.

解：因为5甲2=2.17<$22=3.45,方差小的为甲，

所以数学成绩比较稳定的同学是甲.

故答案为：甲.

【点评】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，

表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这

组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

12.若式子正立在实数范围内有意义，则x的取值范围是x22.

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.

解：由题意，得

x-220,

解得

故答案为：工22.

【点评】此题考查了二次根式的意义和性质.概念：式子通（。20）叫二次根式.性质：

二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

13.已知点尸工+1,-q+1）关于原点的对称点在第四象限，则。的取值范围是-1.

【分析】直接利用关于原点对称点的性质以及一元一次不等式组的解法分析得出答案.

解：•.♦点尸（a+1,-■!■+口关于原点的对称点在第四象限，

点尸（a+1,-y+1）在第二象限，

ra+l<（XD

>4+i>o②，

解①得：«<-L

解②得：a<2,

...不等式组的解集为：a<-1.

故答案为：。<-1.

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确解不等式组是解题关键.

2x+7MN

14.对于任意的x值都有=7],则M,N值为-13

x?+x-2x+2

［分析］先计算击Tr得到喏茄翳¥，利用2x+7MN

---------=-----+一~~,得到

X2+X-2X+2X+1

IM+N=2

,解方程组即可得到答案.

h+2N=7

的..HN

解：•~rt一r

x+2x-1

_M(x-l)+N(x+2)

(x+2)(x-1)

一(M+N)x+(2N-M)

(x+2)(x-1)

..2X+7-MN

4

•x'o+x-2=-x-+2---x--1T，

,fM+N=2

"l2N-M=7，

M=-l

解得:

N=3

N

x+2x+1

M(x+1)N(x+2)

(x+1)(x+2)(x+1)(x+2)

_M(x+l)+N(x+2)

(x+1)(x+2)

_(M+N)x+(M+2N)

(x+1)(x+2)'

--2-x-+-7--=--M--+—N-

X2+X-2X+2x+1)

.]'M+N=2

*'1M+2N=7,

[M=-3

解得:

IN=5

故答案为：-1,3.

【点评】此题考查了分式的加法运算，二元一次方程组的解法，熟练掌握分式运算法则

是解题的关键.

15.已知△ABC的三个顶点坐标为A(5,0)、B(6,4)、C(3,0),将△ABC以坐标

原点O为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标为(3,

2)或(-3,-2).

【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为公那

么位似图形对应点的坐标的比等于％或-k解答.

解：•.•点8的坐标为（6,4）,以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为2：1,

.♦.点8的对应点的坐标为（3,2）或（-3,-2）,

故答案为：（3,2）或（-3,-2）.

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是

以原点为位似中心，相似比为女,那么位似图形对应点的坐标的比等于％或-%.

16.如图，NAMN=90°,点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接BC,

△A'8c与△ABC关于BC所在直线对称，点。，E分别为AC,8C的中点，连接。E

并延长交A'8所在直线于点F,连接A，E.当AA'EF为直角三角形时，AB的长为

4行或4.

【分析】当AA'EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当N/TEF=90°时，如图1,根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4,根据直角

三角形斜边中线的性质得：8c=2AE=8,最后利用勾股定理可得48的长；

②当/AAE=90°时，如图2,证明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

解：当△4'EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当NAEF=90°时，如图1,

•.•△A'8c与△ABC关于BC所在直线对称，

.•.A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

•.•点£>,E分别为AC,8c的中点，

：.D.E是aABC的中位线，

J.DE//AB,

ZCDE=ZMAN=90°,

：.ZCDE^ZA'EF,

：.AC//A'E,

：.ZACB=ZA'EC,

・・・NACB=N4EC,

・・.A'C=4E=4,

RtZWCB中，・・・E是斜边BC的中点，

ABC=2A'E=8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC\

.・・A8=782-42=4愿；

②当NA'FE=90。时，如图2,

VZADF=ZA=ZDFB=90Q,

AZABF=90°,

•「△A'8C与△ABC关于BC所在直线对称,

AZABC=ZCBA1=45°,

•••△ABC是等腰直角三角形，

.\AB=AC=4；

综上所述，AB的长为4百或4；

故答案为：4百或4；

【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形

的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过

程）

17.计算（兀-2022）°+2cos30°-|2-正|-g）

【分析】首先计算零指数幕、负整数指数幕、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左

向右依次计算即可.

解：（冗-2022）°+2cos30,-|2-向|-（y）-2

=1+2X）-4

=1+73-2+73-4

=2M-5.

【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幕，负整数指数暴，特殊角三角函数值，

绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和

写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思

想大师们，保护知识产权.某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书

签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元.调查发现，如果每张书签的售

价每降价01元，平均每天可多售出200张.批发商要想平均每天获利270元，求每张书

签应降价多少元.

【分析】设每张书签应降价x元，则每张可获利（0.5-x）元，平均每天可售出（2000x+500）

张，利用批发商销售书签平均每天获得的利润=每张的销售利润X平均每天的销售量，

即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论.

解：设每张书签应降价x元，则每张可获利（0.5-%）元，平均每天可售出50（）+台乂

200=(2000x+500)张，

依题意得：(0.5-x)(2000x+500)=270,

整理得：1期2-25X+1=0,

解得：Xi=0.2,X2=0.05.

答：每张书签应降价0.2元或0.05元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

19.睡眠是人的机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、

视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要.某校为了解本校学生的睡眠情况,

随机调查了40名学生一周(7天)平均每天的睡眠时间x(单位：小时)，并根据调查

结果绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图.

(1)分别求出表中加，〃的值;

(2)抽取的40名学生睡眠时间的中位数落在的组别是C组:

(3)若该校共有1200名学生，请估计该校学生睡眠时间达到9小时及以上的学生人数.

【分析】(1)用40乘3组所占比例可得求出，〃的值，再用40减去其它各组人数即可

得出〃的值；

(2)根据中位数的定义即可求解；

(3)用样本估计总体即可.

解：(1)由题意可得，，徵=40X30%=12,

故”=40-4-12-20=4；

(2)由题意可知，抽取的40名学生睡眠时间的中位数落在的组别是C组，

故答案为：C；

(3)1200X^^=720(名),

40

答：估计该校有720名学生睡眠时间达到9小时.

【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，求出样本容量，利用数

形结合的思想是解答本题的关键.

20.在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为>=》；②函数表达式为)=炉；

③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大

而增大.将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤

放在不透明的盒子B中搅匀.

(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是-1:

(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子8中任意抽出1支签.求抽到的2张小纸

条上的语句对函数的描述相符合的概率.

【分析】(1)直接根据概率公式求解即可；

(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

解：(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是

故答案为：

(2)列表如下:

①②

③①③②③

④①④②④

⑤①⑤②⑤

由表知，共有6种等可能结果，其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的

①③、①⑤、②④这3个，

所以2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为?=《.

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件：解

题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

21.高楼AB和斜坡CD的纵截面如图所示，斜坡CD的底部点C与高楼AB的水平距离CB

为150米，斜坡CQ的坡度(或坡比)/=1：2.4,坡顶。到BC的垂直距离£>E=50米，

在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为50°,求高楼的高度A8（结果精确到0.1米）.（参

考数据：sin50°—.766,cos50°=0.643,tan50°g1.192）

A

CEB

【分析】过点。作OF,AB,垂足为F,根据题意可得。E=8尸=50米，DF=BE,先利

用斜坡C。的坡度，求出CE的长，从而求出BE,。尸的长，然后在RtZ\A。尸中，利用

.DE=1

"CE2"4，

ACE=2.4DE=2.4X50=120（米），

•.,BC=150米，

：.DF=BE=BC-CE=150-120=30（米），

在RtZ\AOF中，ZADF=50°,

：.AF=DF-tan50°^30X1.192=35.76（米），

.*.AB=BF+A/=50+35.76Q85.8（米），

高楼的高度AB为85.8米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的

已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

22.如图，A8是的直径，。0弦AC=BC,E是OB的中点，连接CE并延长到点E,使EF

=CE,连接A尸交。。于点。，连接80,BF.

(1)求证：直线B尸是OO的切线;

(2)若A尸长为5匹，求8。的长.

【分析】(1)连接OC.根据全等三角形的判定与性质可得/FBE=/COE,再由圆周

角定理及切线的判定方法可得结论；

(2)由圆周角定理及三角函数可得tan/OBF=2，设F£>=x,则BO=2x,AD=4x,从

2

而可得答案.

【解答】(1)证明：如图，连接OC

：.BE=OE,

在△BE尸和△OEC中，

'BE=OE

-NBEF=N0EC，

EF=EC

:.△BEg/\OEC(SAS),

NFBE=乙COE,

又；AC=BC,O为直径48的中点,

：.ZCOE=90°,

：.ZFBE=90°,

而08是圆的半径，

••.8F是OO的切线；

(2)解：如图，由(1)知：BF=OC,NFBD+NABD=90°,

IanZBAF=—,

2

:AB是直径，

:.NBDA=NBDF=90°,

：.ZBAF+^ABD=90°,

NDBF=ZBAF,

：.tanZDBF=—,

2

设FD=x,则BD=2x,AD=4x,

.'.AF=5x—5yf2>

：,x=近，

:.BD=2近.

【点评】此题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理

是解决此题的关键.

23.某商店十月份销售一种成本价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天的销售

量y(件)是售价x(元件)的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表：

售价X(元件)5565

销售量y(件/天)9070

(1)求销售量y与售价x之间的函数关系式;

(2)十月份销售该商品时，售价定为多少元，每天才能获取最大利润？最大销售利润是

多少？

(3)十一月份由于原材科上涨等因素，该商品成本价提高了a元/件(0<«^15),商

品的每天销售量与销售价的关系不变，若商品的销售价不低于成本价，且物价部门规定

售价不得超过80元/件，商店十一月份销售该商品的过程中，获得的销售最大利润能否

为882元？说明理由.

【分析】(1)根据一次函数过(55,99)(65,70)可求出函数关系式，然后验证其它

数据是否符合关系式，进而确定函数关系式；

(2)先求出总利润卬与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确

定何时获得最大利润；

(3)根据题意得，w=(x-50-a)(-2x+200)=-2x2+(300+2。)x-10000-200a,

把x=80,”=882代入函数解析式，解方程即可得到结论.

解：(1)设关系式为y=Ax+b,

(55k+b=90

把(55,99)(65,70)代入得:

I65k+b=70

fk=-2

解得

lb=200

.'.y--2x+200,

即销售量y与售价x之间的函数关系式为y=-Zr+200；

(2)设总利润为卬元,

根据题意得，w=(x-50)(-Zr+200)=-2?+300%-10000=-2(x-75)2+1250,

"."a--2<0,

.•.当x=75时，w有最大值，最大值为1250,

答：当售价定为75元时，每天获取最大利润，最大利润为1250元;

(3)设总利润为w元,

根据题意得，w=(x-50-a)(-2x+200)=-2F+(300+2。)x-10000-200A,

二对称轴为直线=300：2a150+a

2X(-2)4~1~

2<0,

抛物线的开口向下，

当党包>80,即10<aW15时，在对称轴左侧w随x的增大而增大，

：xW80,

.•.当x=80时，卬最大=882,

即-2X802+(300+2“)X80-10000-200a=882,

解得：«=7.95<10(舍去)；

当吟包〈80，即0<忘10时，

...当X二誓生时，卬最大=882,

Vw=-2x2+(300+2a)x-10000-200a=-2(x-^y3-)2-*ya2-50a+1250-

12

••ya-50a+1250=882.

解得“1=8,放=92(舍去)，

综上，当4=8时，可获得最大利润为882元.

【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，掌握总利润等于总收入减去总成本,

然后再利用二次函数求最值是解题的关键.

24.综合与实践

问题情境：

在Rt^ABC中，NAC8=90°,点。为斜边A8上的动点(不与点A,B重合).

操作发现：

(1)如图①，当AC=BC时，把线段C。绕点C逆时针旋转90。得到线段CE,连接

DE,BE.

①/C8E的度数为45°；

②探究发现和8E有什么数量关系，请写出你的探究过程；

探究证明：

(2)如图2,当BC=2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两

倍，记为线段CE.

①在点。的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；

②若AC=2,在点。的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△

CBE的面积.

@AD=BE,由△ACD之ZiBCE,即可得AO=BE；

(2)①证明△ACOS/XBCE,及得角•铛嘘故AD^BE；

BCCEBE22

②过C作CF_LAB于F,CG_LBE于G,AC=2,BC=2AC,得BC=4,AB=2娓,即

cosZABC=-^-=-7=^

得s…。=£=：=逅=组RL此，可得CF

AB2V55BCAB2巡5BC

BF=^^~,从而CG=BF=为区,BG=CF=-^^,(I)当CB=CE时,

5555

/XCBE的面积为工-X-^区义为区=丝；(H)当BC=BE时,/XCBE的面积为£X

2555

BE,CG=Ax4X登叵=16代(HI)当CE=8E时，设BE=CE=f,可得户=(-^^-)

2555

2+(f-库亚■)2,解得BE=2遥，的面积为4<G・BE=4><a^X2y=8.

5225

解：(1)①,・•线段C。绕点。逆时针旋转90°得到线段CE,

，/DCE=90°,DC=CE,

VZACB=90°,

・•・NACD=NBCE,

*：AC=BC,

：./\ACD^/\BCE(SAS),

AZCBE=ZCAD=45°,

故答案为:45°；

②AD=BE,理由如下：

由①知△AC。丝△8CE,

：.AD=BE；

(2)①AD=^BE，理由如下：

'：BC=2AC,CE=2CD,

.AC_CD_1

••而FW，

VZACB=ZDCE=90a,

ZACD+ZDCB=NDCB+NBCE,

/ACD=NBCE,

：.XACDs△BCE,

.AC二CD二AD二1

'*BC"CE"BE

•••AD=yBE；

②过C作CELA8于尸，CG_L8E于G,如图：

,.,AC=2,BC=2ACf

-'-BC=4,AB=7he。+BC?=2病,

AC_2_V5_CP4_2遥BF

/.sinZABC====cosZABC=—

AB2V55BCAB27T——5BC

.CF_V5BF_275

'，"4T*，"45"

•••四边形CGBF是矩形，

：.CG=BF=^^-,BG=CF=&叵,

55

(I)当CB=CE时，如图：

：.BE=2BG=^-&-,

5__

.•.△C8E的面积为上X苴叵X苴匡=丝

2555

(II)当8c=BE时，如图:

此;时BE=BC=4,

ACBE的面积为X3E・CG=4X4X卫返=理逅

2255

(III)当CE=3七时，如图:

E

________G

/1\s\.

/I\

/I\

/I\

JFD5

设BE=CE=t,则EG=t-

5

在RtZXCEG中，

1=(对32+9延_)2,

55

解得，=2,

**•BE=2>J"^,

二△CBE的面积为工CG•BE=工XX2小=8,

225

综上所述，ACBE的面积为孕或里豆或8.

55

【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判

定与性质，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用.

25.综合与探究

如图，抛物线尸-小2+法+<:与x轴交于A,B两点(点4在点8的左侧)，与y轴交

于点C,点A,C的坐标分别为(-2,0),(0,4),连接AC,BC.点P是y轴右侧

的抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点8的坐标；

(2)连接PA,交直线BC于点D,当线段AD的值最小时，求点P的坐标；

(3)点。是坐标平面内一点，是否存在点Q,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形

为矩