专题06 函数的概念、性质及应用（2）（原卷版）

【原卷版】专题06函数的概念、性质及应用（2）第5章函数的概念、性质及应用【课本目录】5.1函数：5.1.1函数；5.1.2函数的表示方法；5.2函数的基本性质：5.2.1函数的奇偶性；5.2.2函数的单调性；5.2.3函数的最值；5.3函数的应用：5.3.1函数关系的建立；5.3.2用函数观点求解方程与不等式；5.3.3用二分法求函数的零点；*5.4反函数：5.4.1反函数的概念；5.4.2反函数的图像；本章内容提要1.函数的概念：（1）设集合是一个非空的实数集，对内的任意给定的实数，按照某种法则,都有唯—确定的实数值与之对应，这种对应关系称为集合上的一个函数.（2）定义域和对应法则是函数的两个重要要素.函数的值域由其定义域和对应法则决定.两个函数的定义域和对应法则都相同（未必形式相同）时，两个函数是相同的.（3）函数的图像是表示两数性质的直观有力的工具.2.函数的性质：（1）如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个偶函数；如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个奇函数.奇性及偶性分别刻画了函数图像关于原点及轴的对称性.（2）对于定义在上的函数，设区间是上的任意给定的两个自变量的值，当时，如果总成立,就称函数在区间上是严格增函数；如果总成立,就称函数在区间上是严格减函数.这种单调性刻画了函数图像上升或下降的趋势.（3）设函数在处的函数值是.如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式,那么叫做函数的最小值；如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式，那么叫做函数的最大值.最大值与最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标.3.函数的应用：（1）在建立函数关系时，需要注意其定义域.（2）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段.（3）依靠函数，可以用动态的观点来考察方程的求解，以及不等式的求解.*4.反函数：（1）反函数来源于解关于的方程所得到的对应关系.（2）如果函数在定义域上不同的处所取到的函数值也不相同，那么就有反函数.在定义域上严格单调的函数必存在反函数.（3）函数的图像与其反函数的图像关于直线轴对称。题型1、函数关系的建立与初步应用例1、（1）某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时（2）一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．①求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；②由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．【说明】以上主要考查函数模型在实际中的应用，解题的关键是根据题意求出函数的解析式，考查应用能力和计算能力；函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题；题型2、函数的零点及其求法例2、（1）函数f(x)＝(lgx)2－lgx的零点为（2）判断下列函数零点的个数．①f(x)＝x2－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,8)；②f(x)＝lnx＋x2－3.又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个；【说明】1、探究函数零点的两种求法：（1）代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点；（2）几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点；2、判断函数零点个数的四种常用方法：（1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．（2）画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．（3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．（4）转化成两个函数图象的交点个数问题；题型3、判断或证明函数零点的存在性例3、（1）证明：函数f(x)＝2x＋x在R上有零点.（2）求证：函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点.【说明】1、若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断；2、利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图象进行判定；题型4、判断零点所在的区间例4、（1）f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)（2）若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于【说明】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法：1、解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．2、利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(bf(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．3、数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断；题型5、对二分法概念的理解例5、（1）下列函数中不能用二分法求零点的是()（2）用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.【说明】运用二分法求函数的零点应具备的条件：1、函数图象在零点附近连续不断；2、在该零点左右两侧函数值异号；只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点；题型6、会用二分法求方程的近似解例6、（1）用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1)．（2）用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确到0.1)；【说明】1、用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则：（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)；（2）取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值；2、利用二分法求方程的近似解的步骤：（1）构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z；（2）利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；（3）区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点；题型7、已知函数零点个数求参数的取值范围例7、（1）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是()A.[－1，0) B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)（2）若f(x)＝2x(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则实数a的取值范围是题型8、由一元二次方程根的分布确定参数的取值范围例8、（1）已知方程x2＋2mx＋2m＋1＝0的两不等实数根均在区间(0，1)内，则实数m的取值范围为________.（2）已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两个实数根，其中一个根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；题型9、对反函数概念的理解与求解例9、（1）已知，则=【说明】反函数的定义；当然，先求，再求也可，但不如利用互为反函数的对应法则之间的关系简单。（2）已知函数，则=；=；【说明】1、对反函数关联的进一步了解；并由上题解答或从互为反函数两者间的联系，则可归纳得；；2、求反函数的步骤（1）明确原函数的定义域；（2）原函数的值域；（3）解关于的方程，得；（4）交换与.得到；标明反函数的定义域，即（2）中求出的值域.；题型10、对反函数图象特征与性质的理解例10、（1）若函数的图像过点，则的图像经过点【说明】本题主要考查了原函数与反函数的图像特征；就是：两点关于直线对称的数量特征；（2）设，其中常数；①设，，求函数()的反函数；②求证：当且仅当时，函数为奇函数；【说明】本题考查反函数的求法和奇函数的判定与性质，涉及指数函数的性质和指数运算；关键是要注意通过求原函数的值域确定反函数的定义域，再就是注意（2）中的证明的逻辑方向是双向的，证明为奇函数，必有时可以使用多种方法，要灵活运用；题型11、与函数应用相关的新颖题新高考下，高考数学命题遵循课程标准，深化基础性考查，注重数学本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力，加强情境化设计，增强题目的开放性．新情境、新设问、新题型等都成为新高考的一个特色．机械刷题、套路解题已远远达不到新高考的要求，减少刷题、减少套路，重思维、提能力；例11、设a是函数f(x)＝2x－logeq\f(1,2)x的零点，若x0>a，则f(x0)的值满足()A.f(x0)＝0 B.f(x0)<0C.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定例12、已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为()A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.b>a>c例13、若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是____________________例14、[x]表示不超过xx0是方程lnx＋3x－15＝0的根，则[x0]＝()A.2B.3 C.4 D.5例15、在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最少称多少次能保证一定可以发现这枚假币？题型12、与函数应用相关的综合题例16、若函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|x－1|＋m有零点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)C．[－1,0) D．(0，＋∞)例17、设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2)) B．[－1,0]C．(－∞，－2] D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，＋∞))例18、若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．例19、已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________________________例20、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x|，x≤m，,|lgx|＋1，x>m，))其中0≤m<1；（1）当m＝0时，求函数y＝f(x)－2的零点个数；（2）当函数y＝f2(x)－3f(x)的零点恰有3个时，求实数m的取值范围；一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.2、小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为元3、用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是_______________4、已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．5、函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．6、若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________________7、函数的反函数为8、已知14C的半衰期为5730年(是指经过5730年后，14C的残余量占原始量的一半).设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：b＝ae－kx，其中x表示经过的时间，k14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今_____________年(已知log20.767≈－0.4).9、函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是10、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4，0<x≤1，,x2－4x＋3，x>1))和函数g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是二、选择题（共4小题每小题4分，满分16分）11、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是（）A.(－3，－1)和(2，4)B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2)D.(－∞，－3)和(4，＋∞)12、函数f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零点的个数是()A.0B.1 C.2 D.313、已知函数f(x)的图象如图，则f(x)零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，314、已知函数f(x)的图象是连续不间断的，有如下的x，f(x)对应值表x1234