2020年上海市闵行区九年级下学期二模数学试题（解析版）

2020年上海市闵行区九年级下学期二模数学试题 （考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在下列各式中，与是同类项的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可得出答案．【详解】由同类项的概念可知，与是同类项的是，故选：B．【点睛】本题主要考查同类项的概念，掌握同类项的概念是解题的关键．2.方程根的情况（）A.有两个不相等的实数根 B.有一个实数根；C.无实数根 D.有两个相等的实数根【答案】D【解析】【分析】利用根的判别式与0的大小关系即可判断根的情况．【详解】∵∴方程有两个相等的实数根，故选：D．【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．3.在平面直角坐标系中，反比例函数图像在每个象限内，y随着x的增大而增大，那么它的图像的两个分支分别在（）A.第一、三象限 B.第二、四象限C.第一、二象限 D.第三、四象限【答案】B【解析】【分析】直接利用反比例函数的图象和性质即可得出答案．【详解】∵反比例函数图像在每个象限内，y随着x的增大而增大，∴，∴它的图像的两个分支分别在第二、四象限，故选：B．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．4.某同学参加射击训练，共发射8发子弹，击中的环数分别为5，3，7，5，6，4，5，5，则下列说法错误的是（）A.其平均数为5 B.其众数为5C.其方差为5 D.其中位数为5【答案】C【解析】【分析】直接根据平均数，方差，中位数的求法和众数的概念逐一判断即可．【详解】A.其平均数为，故该选项正确；B.5出现的次数最多，所以其众数为5，故该选项正确；C.其方差为，故该选项错误；D.其中位数为，故该选项正确；故选：C．【点睛】本题主要考查同类项的概念，掌握同类项的概念是解题的关键．5.顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（）A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质可知每个角都是直角，说明每组邻边互相垂直，进而可判断出四边形ABCD的对角线互相垂直，由此结合选项即可得出正确答案．【详解】如图，∵四边形EFGH是矩形，，．∵点E,F,H分别为AB,BC,AD中点，∴，，而四个选项中只有菱形的对角线互相垂直，故选：C．【点睛】本题主要考查矩形，菱形的性质，三角形中位线的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．6.下列命题中正确的个数是（）①过三点可以确定一个圆②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米④三角形的重心到三角形三边的距离相等．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】①根据圆的作法即可判断；②先利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断；③根据圆与圆的位置关系即可得出答案；④根据重心的概念即可得出答案．【详解】①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故错误；②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12，∴斜边为,∴它的外接圆半径为，故正确；③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米或1厘米，故错误；④三角形的内心到三角形三边的距离相等，故错误；所以正确的只有1个，故选：A．【点睛】本题主要考查直角三角形外接圆半径，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念，掌握直角三角形外接圆半径的求法，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：______．【答案】-1【解析】【分析】先计算乘方，再计算加法即可．【详解】，故答案为：-1．【点睛】本题主要考查有理数的乘方和加法运算，掌握有理数乘方和加法的运算法则是解题的关键．8.化简：______．【答案】【解析】【分析】先利用分式的基本性质进行通分，然后再进行同分母分式相减即可．【详解】，故答案为：．【点睛】本题主要考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键．9.不等式组的解集是______．【答案】【解析】【分析】先分别解两个一元一次不等式，然后即可确定不等式组的解集．【详解】解①得，，解②得，∴不等式组的解集为，故答案为：．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．10.方程的解是_____________.【答案】x=2【解析】【分析】根据题意可得x=2或x=1，然后根据二次根式的性质舍去x=1.【详解】解：∵，∴x﹣2=0或x﹣1=0，解得x=2或x=1，当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，则原方程的解为x=2.故答案为x=2.【点睛】本题主要考查解方程，二次根式的性质，解此题的关键在于求出的方程的解要使二次根式有意义.11.为了考察闵行区1万名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷30份，那么样本容量是______．【答案】1500【解析】【分析】根据抽取的试卷的本数×每本试卷的份数即可得出答案．【详解】，∴样本容量是1500，故答案为：1500．【点睛】本题主要考查样本容量，掌握样本容量的概念是解题的关键．12.如果向量与向量方向相反，且，那么______．【答案】【解析】【分析】根据题意可知，然后计算即可得出答案．【详解】∵向量与向量方向相反，且，∴，∴故答案：．【点睛】本题主要考查向量的运算，能够根据题意得出是解题的关键．13.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为__________；【答案】【解析】分析：根据“所求概率=圆形阴影区域的面积和正方形纸片的面积之比”结合题中所给数据进行计算即可.详解：由题意可得：P（针头扎阴影区域）=.故答案为：.点睛：知道“针头扎在阴影区域内的概率=圆形阴影区域的面积和正方形纸片的面积之比”是解答本题的关键.14.把直线向左平移2个单位后，在y轴上的截距为5，那么原来的直线解析式为______．【答案】【解析】【分析】根据一次函数图象的平移规律得出平移后的解析式，然后通过“平移后的直线在y轴上的截距为5”得到一个关于b的方程，解方程可求出b的值，进而可求出原来的直线的解析式．【详解】直线向左平移2个单位后的直线解析式为，∵平移后的直线在y轴上的截距为5，∴，解得，∴原来的直线的解析式为，故答案为：．【点睛】本题主要考查直线的平移，掌握直线的平移规律及截距的求法是解题的关键．15.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC=2︰3，那么DB︰AC=______．【答案】【解析】【分析】过点A作交CB的延长线于点E，先证明四边形AEBD是平行四边形，则有，进而将所求转化为求，然后利用得出，再证明，则有，设，则，进而利用可求出的值，则答案可求．【详解】如图，过点A作交CB的延长线于点E，，∴四边形AEBD是平行四边形，∴．，，．，．，，．，，，．设，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，能够作出辅助线并将所求转化成角的正切值是解题的关键．16.七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为______米．（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】先根据题意画出图形，然后设，通过特殊角的三角函数值表示出AD，然后利用，解出x的值即可得到答案．【详解】如图，A点为塔顶，B点为塔底，C点为无人机的位置，过点C作交AB于点D，则BD的长度即为所求．设，，．在中，，，解得，∴，即此时无人机距离地面的高度为米，故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．17.已知点（，y1），（，y2），（2，y3）在函数（）的图像上，那么y1、y2、y3按由小到大的顺序排列是________．【答案】【解析】【分析】先根据二次函数的解析式计算出对称轴，然后结合图象根据点与对称轴距离的远近判断函数的大小即可．【详解】二次函数的对称轴为，∵，∴二次函数开口方向向上，且距离对称轴越远函数值越大．∵-1距1有2个单位长度，距离1有个单位长度，2距离1有1个单位长度，，∴,故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．18.如图，已知在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点B落在点B1处，点C落在点C1处，且BB1⊥AC．联结B1C和C1C，那么△B1C1C面积等于______．【答案】【解析】【分析】先根据题意画出图形，然后根据等腰三角形三线合一得出绕点A顺时针旋转的角度，然后证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得出和，再根据锐角三角函数求出的长度，最后利用求面积即可．【详解】如图，∵，，，∴绕点A顺时针旋转60°得到，．，是等边三角形，，．，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，能够画出图形并求出旋转角是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：．【答案】【解析】【分析】根据完全平方公式，分母有理化以及分数指数幂的运算法则进行计算即可．【详解】解：原式【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．20.解方程组：【答案】【解析】【详解】x2-2xy-3y2="0"(x-y)2-4y2=0又因：x-y=2代入上式4-4y2=0y=1或y=-1再将y=1、y=-1分别代入x-y=2则x=1、x=3∴21.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．（1）求CD的长；（2）求点C到ED的距离．【答案】（1）CD=5；（2）【解析】【分析】（1）过A点作AF⊥BC于点F，通过等腰三角形三线合一求出BF的长度，进而求出的值，再通过垂直平分线求出BE的长度，在Rt△DEB中利用即可求出BD的长度，进而CD的长度可求；（2）过C点作CH⊥ED于点H，通过平行线的判定得出CH∥AB，则有，进而可求出CH的长度，则点C到ED的距离可求．【详解】解：（1）过A点作AF⊥BC于点F．∵AB=AC=6，BC=4，AF⊥BC，∴BF=FC=2，∠BFA=90°．∴在Rt△ABF中，．∵DE垂直平分AB，AB=6，∴AE=BE=3，∠DEB=90°．在Rt△DEB中，，∴BD=9，∴CD=BD-BC=5．（2）过C点作CH⊥ED于点H．∵CH⊥ED，AB⊥ED，∴∠DEB=∠DHC=90°，∴CH∥AB，∴．∵BE=3，BD=9，CD=5，∴，∴点C到ED的距离CH为．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，锐角三角函数，平行线的判定和平行线分线段成比例，掌握等腰三角形的性质，锐角三角函数，平行线的判定和平行线分线段成比例是解题的关键．22.上海市为了增强居民的节水意识，避免水资源的浪费，全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量达到年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和价格见下表．分档户年用水量（立方米）自来水价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米）第一阶梯0-220（含220）1.921.70第二阶梯220-300（含300）3.301.70第三阶梯300以上4.301.70注：1．应缴纳水费=自来水费总额+污水处理费总额2．应缴纳污水处理费总额=用水量×污水处理费×0.9仔细阅读上述材料，请解答下面问题，并把答案写在答题纸上：（1）小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费元；（2）小静家全年缴纳的水费共计1000.5元，那么2019年全年用水量为立方米；（3）如图所示是上海市“阶梯水价”y与用水量x的函数关系，那么第二阶梯（线段AB）的函数解析式为，定义域．【答案】（1）345；（2）270；（3），．【解析】【分析】（1）用水量100立方米处于第一阶梯，直接利用应缴纳水费=自来水费总额+污水处理费总额计算即可；（2）先判断出用水量处于第几阶梯，然后设2019年全年用水量为x立方米，列出方程求解即可；（3）先求出用水量220立方米时的水费，然后利用待定系数法求解析式即可，定义域根据图象直接可得．【详解】（1）（元）∴用水量100立方米应缴纳水费345元；（2）当用水量为220立方米时，应缴水费为（元）当用水量为300立方米时，应缴水费为（元）∴全年缴纳的水费共计1000.5元，说明用水量处于第二阶梯，设2019年全年用水量为x立方米，根据题意得解得∴2019年全年用水量为270立方米；（3）由（2）可知，当时，，设线段AB的解析式为将代入解析式中得解得∴线段AB的解析式为，定义域为．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及一次函数的应用，掌握待定系数法并能够理解题意是解题的关键．23.如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=AB，点F为CE的中点，点G在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且∠DFC=∠EGC．（1）求证：CG=DG；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）首先证明△ECG≌△DCF，则有CG=CF，因为CF=CE，则有CG=CD，则结论可证；（2）延长AG、BC交于点H，首先证明△ADG≌△HCG，则有AG=HG，然后根据直角三角形斜边中线有AG=HG=EG，进而得出∠CDF=∠DAH，进一步可证△ADG∽△DMG，则有，即，又因为CG=DG即可证明结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，CE=AB，∴AB=CD=EC．又∵∠DFC=∠EGC，∠FCD=∠GCE，∴△ECG≌△DCF，∴CG=CF．∵点F为CE的中点，∴CF=CE，∴CG=CD，即：CG=DG．（2）延长AG、BC交于点H．∵△ECG≌△DCF，∴∠CEG=∠CDF，DG=CG．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAH=∠H，∠ADC=∠DCH．∴△ADG≌△HCG，∴AG=HG．∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴AG=HG=EG．∴∠CEG=∠H，∴∠CDF=∠DAH．又∵∠AGD=∠DGM，∴△ADG∽△DMG．∴，∴又∵CG=DG，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；（3）如果∠OAC=135°，求m的值．【答案】（1）；（2）；（3）m的值为2【解析】【分析】（1）先求出m=1时点A的坐标，进而可得到这条“子抛物线”的解析式；（2）先根据A点坐标求出“子抛物线”的解析式和AB,OB的长度，然后令x=0求出y值即可得到C点坐标，进而可求出BC的长度，最后利用即可求解；（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F,首先证明△AED≌△DFO，则有AE=DF，DE=OF，设AE=n，那么DF=n，BE=m+n=OF=ED，通过OB=EF得到，然后再通过得到，将两个关于m,n的方程联立即可求出m的值．【详解】解：（1）∵点A在上，点A的横坐标为m，∴A（m，m2），当m=1时，，∴A（1，1），∴这条“子抛物线”的解析式为．（2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB=m，OB=m2．∴“子抛物线”的解析式为．令x=0，，∴点C的坐标（0，），，∴．在Rt△ABC中，．（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F．∵∠OAC=135°，∴∠OAD=45°．又∵OD⊥CA，∴∠AOD=∠OAD=45°，∴AD=OD，，．，∴△AED≌△DFO，∴AE=DF，DE=OF．设AE=n，那么DF=n，BE=m+n=OF=ED．又∵OB=EF，∴．又，∴∠BCA=∠ADE，∴．解方程组，得，（舍去）∴m的值为2．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的应用，子抛物线的定义，掌握全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义是解题的关键．25.如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．【答案】（1）∠CBG=15°；（2）（）；（3）CG的长为12【解析】【分析】（1）连接OQ，根据正六边形的特点和内角和求出∠EBC=60°，然后通过弧之间的关系得出∠BOQ=∠EOQ=90°，又因为BO=OQ，得出∠OBQ=∠BQO=45°，最后利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ即可求出答案；（2）在BE上截取EM=HE，连接HM，首先根据正六边形的性质得出是等边三角形，则有EM=HE=HM=y，∠HME=60°，从而有∠C=∠HMB=120°，然后通过等量代换得出∠GBC=∠HBE，由此可证明△BCG∽