习题课1-立体几何中的综合问题

[解]

(1)证明：取A1B的中点Q，连接PQ，FQ，则PQ∥AB.因为AB∥DC，所以PQ∥DC.又PQ⊄平面A1DC，DC⊂平面A1DC，所以PQ∥平面A1DC.又QF∥A1C，QF⊄平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，所以QF∥平面A1DC.又PQ∩QF＝Q，所以平面PQF∥平面A1DC.因为PF⊂平面PQF，所以PF∥平面A1DC.解决空间角与翻折相结合的问题的关键：一是盯住量，即看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征；二是会转化，根据需要解决的立体几何问题，确立转化目标；三是得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实、公式等解决．[针对训练]如图①，平面四边形ABCD为正方形，E为BC的中点，F为CD的中点．将△CEF沿线段EF折起，使得平面CEF⊥平面ABEFD，得到如图②所示的五棱锥C-ABEFD.(1)在图②中，证明：BD∥平面CEF；(2)在图②中，求平面ACD与平面BCD夹角的正弦值．解：(1)证明：在图①中，BE＝CE，DF＝CF，所以EF∥BD.在图②几何体中，EF∥BD，EF⊂平面CEF，BD⊄平面CEF，所以BD∥平面CEF.(2)取EF的中点O，连接OC.由CF＝CE，可知OC⊥EF.又因为平面CEF⊥平面ABEFD，所以OC⊥平面ABEFD.连OA与BD相交于点M，由正方形的性质可知OA⊥BD，又由EF∥BD，可知OA⊥EF，所以OE，OC，OA两两垂直，故以O为坐标原点，[方法技巧]空间角存在性问题的解题策略借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．

综合考法三空间角中的最值问题[典例]

(2022·济南一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1和平面α，直线AC1∥平面α，直线BD∥平面α.(1)证明：平面α⊥平面B1CD1；(2)点P为线段AC1上的动点，求直线BP与平面α所成角的最大值．[解]

(1)证明：连接A1C1，则B1D1⊥A1C1，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1.又因为AA1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1.因为AC1⊂平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1.同理B1C⊥AC1.因为B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面B1CD1.因为AC1∥平面α，过直线AC1作平面β与平面α相交于直线l，则AC1∥l，所以l⊥平面B1CD1.又l⊂平面α，所以平面α⊥平面B1CD1.[方法技巧]空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、几何体体积等发生变化，进而就有了面积与体积及角度的最值问题.定性分析在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积等的变化规律，求得其最大值或最小值定量分析将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择[针对训练](2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？解：(1)证明：因为侧面AA1B1B为正方形，所以A1B1⊥BB1.又BF⊥A1B1，而BF∩BB1＝B，BF⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1B1⊥平面BB1C1C.又ABC-A1B1C1是直三棱柱，BC＝AB，所以四边形BB1C1C为正方形．取BC中点为G，连接B1G，EG.因为F为CC1的中点，所以BF⊥B1G.又BF⊥A1B1，且EG∥A1B1，所以BF⊥EG.又B1G∩EG＝G，B1G⊂平