4.3.1等比数列的概念 课件

第四章数列2023-2024学年人教A版高中数学选择性必修第二册教学课件★★4.3.1等比数列的概念我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的?请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:9,92,93,‧‧‧,9l0①;100,1002,1003,‧‧‧,10010②;5,52,53,‧‧‧,5l0③.2.《庄子•天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”,那么从第1天开始,各天得到的“棰”的长度依次是

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是

2,4,8,16,32,64,‧‧‧.⑤4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)5,a(1+r)6.⑥从第2项起，每一项与它的前一项的比是一个不为0的常数.1.等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示.

例如数列①~⑥的公比依次为9,100,5,0.5,2,1+r.等比数列的符号语言：2.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2=ab.1.判断下列数列是否是等差数列.如果是，写出它的公差.课本P31探究你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等比数列{an}的首项为a1,公差为q,根据等比数列的定义,可得∴a2=a1q，a3=a2q

=a1q2，a4=a3q=a1q3，‧‧‧‧‧‧∴an=a1qn-1

(n≥2).又a1=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立.因此，首项为a1,公差为q的等比数列{an}的通项公式为思考

在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系?例1若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.变式在等比数列{an}中，(1)a1＝1，a4＝8，求an；(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.例2已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.等比数列{an}的通项公式：等差数列{an}的通项公式：例3

数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80,第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.a1a3a5a7q2820.22.已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.3.在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝60.求a1和公比q.416500.080.0032课本P314.对于数列{an},若点(n,an)(n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c,q为常数，且c≠0,q≠0,q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论.课本P315.已知数列{an}是等比数列.

(1)a3,a5,a7是否成等比数列?为什么?a1,a5,

a9呢?(2)当n>1时,an-1,an,an+1是否成等比数列?为什么?

当n>k>0时,an-k,an,

an+k是等比数列吗?课本P31

例4

思考已知b>0且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列

是否一定是等比数列?如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列?2.设数列{an},{bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列，若是，证明结论；若不是，请说明理由.课本P341．等比数列的单调性公比q单调性首项a1q>10<q<1q=1q<0a1>0a1<0递增数列递减数列常数列摆动数列递减数列递增数列2.等比数列的项与序号的关系两项关系多项关系等比数列的性质：3．在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为(

)A．9B．－9C．±9D．181．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当q>1时，{an}为递增数列．(

)(2)当q＝1时，{an}为常数列．(

)(3){an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap.(

)(4)若等比数列{an}的公比是q，则an＝amqm－n(m，n∈N*).(

)×√××√√注意：在等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同.练习：CB例6有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．√变式一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(

)A．13项B．12项C．11项D．10项

例7

用10000元购买某个理财产品一年.(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到1元)?(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)?

变式某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，到2031年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为(

)参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71A．14.8万B．15.5万

C．16.3万D．17.1万√解：因为该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利计算，且每年收益5%，∴10年后的资产总额为10×(1＋5%)10.∵1.0510≈1.63，∴10×(1＋5%)10≈16.3(万元).故选C.1.求满足下列条件的数:

(1)在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列;

(2)在160与－5中间插入4个数，使这6个数成等比数列.课本P343.某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆(精确到1)?4.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240.这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少(精确到0.01)?课本P345.已知数列{an}的通项公式为

，求使an取得最大值时n的值.课本P34小结：1.等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示.等比数列的符号语