2019年山东省聊城市东阿县中考数学三模试卷（解析版）

2019年山东省聊城市东阿县中考数学三模试卷一、选择题共（10小题，每小题2分）1．（2分）﹣的相反数是（）A． B．﹣3 C．3 D．﹣2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列计算正确的是（）A．5x﹣3x＝2 B．3x•2x＝6x C．5x2+x2＝5x4 D．（x3）2＝x64．（2分）已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径是（）A．3 B．4 C．5 D．85．（2分）如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为（，1），则tanβ等于（）A． B． C． D．6．（2分）某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（）班级1班2班3班4班5班6班人数526062545862A．平均数是58 B．中位数是58 C．极差是40 D．众数是607．（2分）如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A的横坐标是2，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，AC，BD相交于点E，S矩形ODEC＝k，那么点B的纵坐标是（）A． B． C．k D．k8．（2分）方程x2﹣4x﹣4＝0进行配方后，得到的方程是（）A．（x﹣2）2＝8 B．（x+2）2＝8 C．（x﹣2）2＝0 D．（x+2）2＝169．（2分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．1210．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②c＜0；③b2﹣4ac＞0；④4a+2b+c＜0．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）已知x+y＝，xy＝，则x2y+xy2的值为．12．（3分）分解因式：a4﹣16＝．13．（3分）不等式组的解集是．14．（3分）无论a取何值时，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的点，那么4m﹣2n+3的值是．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB＝8，O是BC的中点，⊙O切AB于点D，交AC于点E，连接DE，则DE的长为．16．（3分）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．三、解答题（共72分）17．（5分）计算：﹣12+（﹣3）0﹣（﹣）﹣2．18．（6分）化简求值：÷（x﹣2﹣）．其中x＝﹣3．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．20．（6分）四张卡片，除一面分别写有数字2，2，3，6外，其余均相同，将卡片洗匀后，写有数字的一面朝下扣在桌面上，随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后仍将写有数字的一面朝下扣在桌面上，再抽取一张．（1）用列表或画树状图的方法求两次都恰好抽到2的概率；（2）小贝和小晶以此为游戏，游戏规则是：第一次抽取的数字作为十位，第二次抽取的数字作为个位，组成一个两位数，若组成的两位数不小于32，小贝获胜，否则小晶获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．21．（8分）为了广泛开展“全民健身”活动，某社区2017年投入维修运动场地、安置运动设施、购置运动器材及其他项目的资金共计48.75万元，图①和图②分别反映了2017年投入资金分配和2015年以来购置器材投入资金的年增长率的情况．（1）求扇形统计图中购置器材部分的圆心角的度数；（2）2015年购置器材的资金投入是多少万元？（3）若2018年计划投入购置器材的资金为23.4万元，请补全统计图②．22．（8分）一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D处测得条幅顶端A的仰角∠CDA＝45°，向后退8米到E点，测得条幅底端B的仰角∠CEB＝30°（点C，D，E在同一直线上，EC⊥AC）．请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高AC（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.732，≈1.414）．23．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，CA＝12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF，求的值．24．（11分）如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边△ADE和△DCF，连接AF，BE．（1）BE与AF的数量关系是，位置关系是；（2）如图②，若将条件“两个等边△ADE和△DCF”变成“两个等腰△ADE和△DCF，且EA＝ED＝FD＝FC”，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）若△ADE和△DCF为一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，（1）中的结论仍然成立吗？25．（12分）已知直线y＝kx+b经过点A（0，2），B（﹣4，0）和抛物线y＝x2．（1）求直线的解析式；（2）将抛物线y＝x2沿着x轴向右平移，平移后的抛物线对称轴左侧部分与y轴交于点C，对称轴右侧部分抛物线与直线y＝kx+b交于点D，连接CD，当CD∥x轴时，求平移后得到的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，平移后得到的抛物线的对称轴与x轴交于点E，P为该抛物线上一动点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，是否存在这样的点P，使以点E，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年山东省聊城市东阿县中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题共（10小题，每小题2分）1．（2分）﹣的相反数是（）A． B．﹣3 C．3 D．﹣【分析】直接根据相反数的定义即可得出结论．【解答】解：∵﹣与只有符号不同，∴﹣的相反数是．故选：A．【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（2分）下列计算正确的是（）A．5x﹣3x＝2 B．3x•2x＝6x C．5x2+x2＝5x4 D．（x3）2＝x6【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝2x，故A错误；（B）原式＝6x2，故B错误；（C）原式＝6x2，故C错误；故选：D．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．4．（2分）已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径是（）A．3 B．4 C．5 D．8【分析】根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA即可．【解答】解：如图所示：∵OE⊥AB，∴AE＝AB＝4．在直角△AOE中，AE＝4，OE＝3，根据勾股定理得到OA＝＝5，则⊙O的半径是5．故选：C．【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．5．（2分）如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为（，1），则tanβ等于（）A． B． C． D．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵P（，1），∴tanβ＝＝，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．6．（2分）某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（）班级1班2班3班4班5班6班人数526062545862A．平均数是58 B．中位数是58 C．极差是40 D．众数是60【分析】分别计算该组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可．【解答】解：A．＝（52+60+62+54+58+62）÷6＝58；故此选项正确；B．∵6个数据按大小排列后为：52，54，58，60，62，62；∴中位数为：（60+58）÷2＝59；故此选项错误；C．极差是62﹣52＝10，故此选项错误；D.62出现了2次，最多，∴众数为62，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数及极差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及极差后找到正确的选项即可．7．（2分）如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A的横坐标是2，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，AC，BD相交于点E，S矩形ODEC＝k，那么点B的纵坐标是（）A． B． C．k D．k【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得A的纵坐标，即可求得OD的长，即B的横坐标，然后根据OD•BD＝k，即可求得B的纵坐标．【解答】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，∵点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A的横坐标是2，∴A（2，），∴OC＝，∵S矩形ODEC＝OD•OC＝k，∴OD＝，∴B的横坐标为，∵S矩形ODBN＝k，∴OD•BD＝k，∴BD＝k．故选：D．【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．8．（2分）方程x2﹣4x﹣4＝0进行配方后，得到的方程是（）A．（x﹣2）2＝8 B．（x+2）2＝8 C．（x﹣2）2＝0 D．（x+2）2＝16【分析】把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣4x＝4，配方，得x2﹣4x+4＝8，即（x﹣2）2＝8．故选：A．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．9．（2分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】连接DE，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，结合三角形面积计算即可．【解答】解：连接DE，作AF⊥BC于F，如图所示：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC，AH＝FH，∴△ADE∽△ABC，AH⊥DE，∴△ADE的面积＝24×＝6，∴四边形DBCE的面积＝24﹣6＝18，∵HG＝BC，∴DE＝HG，∴△DOE的面积+△HOG的面积＝2×DE×AH＝△ADE的面积＝6，∴图中阴影部分的面积＝18﹣6＝12，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线定理，证明三角形相似是解题的关键．10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②c＜0；③b2﹣4ac＞0；④4a+2b+c＜0．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线开口方向向下知，a＜0，故正确，②由抛物线与y轴交于正半轴知，c＞0，故错误，③由抛物线与x轴有两个不同的交点知，b2﹣4ac＞0，故正确，④如图所示，根据抛物线的对称性知，当x＝2时，二次函数的值大于0，把x＝2代入该函数，得：4a+2b+c＞0，故错误，正确的是①③，共2个，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）已知x+y＝，xy＝，则x2y+xy2的值为3．【分析】根据x+y＝，xy＝，可以求得x2y+xy2的值．【解答】解：∵x+y＝，xy＝，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝＝＝3，故答案为：．【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确因式分解的方法，利用题目中的已知条件解答．12．（3分）分解因式：a4﹣16＝（a+2）（a﹣2）（a2+4）．【分析】根据平方差公式进行分解即可，注意分解因式要彻底．【解答】解：a4﹣16＝（a2﹣4）（a2+4）＝（a+2）（a﹣2）（a2+4）．故答案为：（a+2）（a﹣2）（a2+4）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确记忆平方差公式是解题关键．13．（3分）不等式组的解集是﹣3≤x＜1．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x≥﹣3，由②得，x＜1，故不等式组得解集为：﹣3≤x＜1．故答案为：﹣3≤x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．14．（3分）无论a取何值时，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的点，那么4m﹣2n+3的值是5．【分析】由于a不论为何值此点均在直线l上，令a＝0，则P（﹣1，﹣3）；令a＝1，则P（0，﹣1），设此直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），把两点代入即可得出其解析式，再把Q（m，n）代入即可得出m与n的数量关系，进而可得出结论．【解答】解：由于a不论为何值点P均在直线l上，当a＝0，则P（﹣1，﹣3）；当a＝1，则P（0，﹣1），∴设此直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，解得，∴此直线的解析式为：y＝2x﹣1，∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m﹣1＝n，即2m﹣n＝1，∴4m﹣2n+3＝2（2m﹣n）+3＝5．故答案为：5．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB＝8，O是BC的中点，⊙O切AB于点D，交AC于点E，连接DE，则DE的长为2．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，解直角三角形即可求得OB，进而求得BD、AD，作OE′⊥AC于E′，根据交平分线的性质得出OD＝OE′，即可证得E和E′共点，进一步证得DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理即可求得DE．【解答】解：连接OA、OD、OE，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵O是BC的中点，∴AO⊥BC，∠OAB＝∠OAC，∴OB＝AB＝×8＝4，∵⊙O切AB于点D，∴OD⊥AB，∴BD＝OB＝×4＝6，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣6＝2，作OE′⊥AC于E′，∵∠OAB＝∠OAC，OD⊥AB，OE′⊥AC，∴OD＝OE′，∵OD＝OE，∴E和E′共点，∴OE⊥AC，同理，EC＝6，则AE＝2，∵＝＝＝，∴DE∥BC，∴＝＝，∵BC＝2OB＝8，∴DE＝2，故答案为2．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，证得DE∥AB是解题的关键．16．（3分）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为6．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，交AC于P点．此时PD+PE的最小值＝BE，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的边长为6，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】解：设BE与AC交于点P，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的边长为6，∴AB＝6．又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6．故所求最小值为6．故答案为：6．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．三、解答题（共72分）17．（5分）计算：﹣12+（﹣3）0﹣（﹣）﹣2．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+1﹣4＝﹣4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6分）化简求值：÷（x﹣2﹣）．其中x＝﹣3．【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．【解答】解：÷（x﹣2﹣）＝÷＝÷＝•＝，当x＝﹣3时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．【分析】（1）根据判别式公式，求出该一元二次方程的判别式△，得到△＞0恒成立，即可得证，（2）根据根与系数的关系，结合“方程的两根之和等于3”，列出关于k的一元一次方程，求出k值，代入原方程，解之即可．【解答】（1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3．当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0．所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式．20．（6分）四张卡片，除一面分别写有数字2，2，3，6外，其余均相同，将卡片洗匀后，写有数字的一面朝下扣在桌面上，随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后仍将写有数字的一面朝下扣在桌面上，再抽取一张．（1）用列表或画树状图的方法求两次都恰好抽到2的概率；（2）小贝和小晶以此为游戏，游戏规则是：第一次抽取的数字作为十位，第二次抽取的数字作为个位，组成一个两位数，若组成的两位数不小于32，小贝获胜，否则小晶获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）将所有可能的情况在图中表示出来，再根据概率公式计算可得；（2）计算出和为大于32和不大于32的概率，即可得到游戏是否公平【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图知共有16种等可能结果，其中两次都恰好抽到2的有4种结果，所以两次都恰好抽到2的概率为．（2）这个游戏公平．因为P（小贝获胜）＝P（小晶获胜）＝．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．21．（8分）为了广泛开展“全民健身”活动，某社区2017年投入维修运动场地、安置运动设施、购置运动器材及其他项目的资金共计48.75万元，图①和图②分别反映了2017年投入资金分配和2015年以来购置器材投入资金的年增长率的情况．（1）求扇形统计图中购置器材部分的圆心角的度数；（2）2015年购置器材的资金投入是多少万元？（3）若2018年计划投入购置器材的资金为23.4万元，请补全统计图②．【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以求得购置器材部分的圆心角的度数；（2）根据题意和条形统计图中的数据可以求得2015年购置器材的资金投入是多少万元；（3）根据条形统计图中的数据可以求得2018年购置器材投入资金的年增长率，从而可以补全统计图②．【解答】解：（1）360°×（1﹣10%﹣26%﹣24%）＝144°，即扇形统计图中购置器材部分的圆心角的度数是144°；（2）设2015年购置器材的资金投入是a万元，a（1+50%）（1+30%）＝48.75×（1﹣10%﹣26%﹣24%），解得，a＝10，即2015年购置器材的资金投入是10万元；（3）[23.4﹣48.75×（1﹣10%﹣26%﹣24%）]÷[48.75×（1﹣10%﹣26%﹣24%）]×100%＝20%，即2018年购置器材投入资金的年增长率为20%，补全的统计图②如右图所示．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（8分）一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D处测得条幅顶端A的仰角∠CDA＝45°，向后退8米到E点，测得条幅底端B的仰角∠CEB＝30°（点C，D，E在同一直线上，EC⊥AC）．请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高AC（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.732，≈1.414）．【分析】设AC＝x米，根据等腰三角形的性质用x表示出CD，根据正切的定义列式计算，得到答案．【解答】解：设AC＝x米，则BC＝（x﹣10）米，在Rt△ACD中，∠CDA＝∠CAD＝45°，所以CD＝AC＝x，在Rt△ECB中，CE＝CD+DE＝x+8．所以tan∠CEB＝，即＝tan30°＝．解得，x＝≈34.59．答：楼高AC约为34.59米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，CA＝12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF，求的值．【分析】（1）连接OD，证OD⊥AC即可．（2）可通过△BEF∽△BCA，从而根据相似比求得EF：AC的值．【解答】（1）证明：连接OD，∵∠C＝90o∴∠DBC+∠BDC＝90°又∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC．∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB．∴∠ODB+∠BDC＝90o∴∠ODC＝90°又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．（2）解：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径．设⊙O的半径为r，∵AB2＝BC2+CA2＝92+122＝225，∴AB＝15．∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠C＝90o∴△ADO∽△ACB．∴＝，即＝．∴r＝．∴BE＝．又∵BE是⊙O的直径，∴∠BFE＝90°∴△BEF∽△BAC．∴＝＝＝．【点评】本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，利用相似三角形得出线段间的比例关系进而求出线段的长是解题的关键．24．（11分）如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边△ADE和△DCF，连接AF，BE．（1）BE与AF的数量关系是AF＝BE，位置关系是AF⊥BE；（2）如图②，若将条件“两个等边△ADE和△DCF”变成“两个等腰△ADE和△DCF，且EA＝ED＝FD＝FC”，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）若△ADE和△DCF为一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，（1）中的结论仍然成立吗？【分析】（1）根据正方形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理证明△BAE≌△ADF，根据全等三角形的性质得出结论；（2）根据边边边定理证明△EAD≌△FDC．根据边角边定理证明△BAE≌△ADF．则BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，与（1）的证明方法相似，可得结论．（3）与（2）的证明方法相似，证明即可．【解答】解：（1）AF＝BE；AF⊥BE．理由如下：如图①所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，∵△ADE和△DCF是等边三角形，∴∠DAE＝∠CDF＝60°，AE＝AD，DF＝CD，∴AE＝DF，∠BAE＝∠ADF＝150°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAF＝90°，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠AMB＝90°，∴AF⊥BE；故答案为：AF＝BE，AF⊥BE．（2）结论成立．证明：如图②，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90°．在△EAD和△FDC中，，∴△EAD≌△FDC（SSS）．∴∠EAD＝∠FDC．∴∠EAD+∠DAB＝∠FDC+∠CDA，即∠BAE＝∠ADF．在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS）．∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF．∵∠DAF+∠BAF＝90°，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠AMB＝90°，∴AF⊥BE．（3）所画图形如图③，第（1）问的结论成立，理由如下：在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC（SSS），∴∠EAD＝∠FDC．∴∠BAD+∠EAD＝∠ADC+∠FDC．即∠BAE＝∠ADF．在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴AF＝BE，∴∠ABE＝∠DAF．∵∠DAF+∠BAF＝90°，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠AMB＝90°，∴AF⊥BE．【点评】本题是四边形综合题目，考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．25．（12分）已知直线y＝kx+b经过点A（0，2），B（﹣4，0）和抛物线y＝x2．（1）求直线的解析式；（2）将抛物线y＝x2沿着x轴向右平移，平移后的抛物线对称轴左侧部分与y轴交于点C，对称轴右侧部分抛物线与直线y＝kx+b交于点D，连接CD，当CD∥x轴