高考数学一轮复习 第十六单元 概率 高考达标检测（四十六）古典概型命题2类型-简单问题、交汇问题 理试题

高考达标检测（四十六）古典概型命题2类型——简单问题、交汇问题一、选择题1．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：选C从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)解析：选C骰子的点数为1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为(x，y)，共有6×6＝36个，记两次点数之积为奇数的事件为A，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为P(A)＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).3．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)，则A，B入住同一标间的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)解析：选B记A，B入住同一标间的概率为P，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)共有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90种不同的方法，A，B入住同一标间有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18种不同的方法，∴P＝eq\f(18,90)＝eq\f(1,5).4．(2018·泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,24)C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,24)解析：选C由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).5．高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D.eq\f(7,8)解析：选D高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n＝24＝16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率P＝1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)＝eq\f(7,8).6．a，b，c，d，e是从集合{1,2,3,4,5}中任取的5个元素(不允许重复)，则abc＋de为奇数的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,15)C.eq\f(2,5) D.eq\f(3,5)解析：选C由题意可得a，b，c，d，e是1,2,3,4,5这5个数，将这5个数分组可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分10组，其中能使abc＋de为奇数的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，(245,13)，共有4组，所以abc＋de为奇数的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).7．抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a，b，则eq\f(a,2)<|b－a2|<6－a成立的概率为()A.eq\f(13,36) B.eq\f(5,18)C.eq\f(7,36) D.eq\f(5,36)解析：选C由题意知(a，b)的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，设“eq\f(a,2)<|b－a2|<6－a成立”为事件A，则事件A包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7种，故P(A)＝eq\f(7,36).8．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：选D对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).二、填空题9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．解析：由任何三点不共线，则共有Ceq\o\al(3,8)＝56个三角形，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，所以构成直角三角形的概率P＝eq\f(24,56)＝eq\f(3,7).答案：eq\f(3,7)10．从－1,0,1,3,4这五个数中任选一个数记为a，则使曲线y＝eq\f(7－3a,x)的图象在第一、三象限，且满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3>9，,x－a<0))无解的概率为________．解析：曲线y＝eq\f(7－3a,x)的图象在第一、三象限，且满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3>9，,x－a<0))无解，即7－3a>0且a≤3，所以a<eq\f(7,3)，所以a可取－1,0,1，由古典概型的概率公式，得P＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)11．从eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为________．解析：当方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m＜0，n＞0，所以方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x轴上的双曲线时，m＞0，n＞0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4种，所以所求概率P＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)12．设集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上一个点P(a，b)，设“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(0≤n≤4，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的值为________．解析：由题意知，点P的坐标的所有情况为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9种．当n＝0时，落在直线x＋y＝0上的点的坐标为(0,0)，共1种；当n＝1时，落在直线x＋y＝1上的点的坐标为(0,1)和(1,0)，共2种；当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点的坐标为(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3种；当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点的坐标为(1,2)，(2,1)，共2种；当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点的坐标为(2,2)，共1种．因此，当Cn的概率最大时，n＝2.答案：2三、解答题13．有一枚正方体骰子，六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，规定抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后面向上的那一个数字．已知b和c是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)．(1)若先抛掷骰子得到的数字是3，求再次抛掷骰子时，函数y＝f(x)有零点的概率；(2)求函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)记“函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点”为事件A，由题意知，b＝3，c＝1,2,3,4,5,6，∴所有的基本事件为(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6个．当函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点时，方程x2＋bx＋c＝0有实数根，即Δ＝b2－4c≥0，∴c≤eq\f(9,4)，∴c＝1或2，即事件A包含2个基本事件，∴函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点的概率P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)由题意可知，所有的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．记“函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数”为事件B.∵y＝f(x)的图象开口向上，∴要想使函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数，只需－eq\f(b,2)≤－3即可，解得b≥6，∴b＝6.∴事件B包含的基本事件有6个．∴函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).14．学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力．学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为A，B，C三个等级，其统计结果如下表：语言表达能力文字组织能力ABCA220B1a1C01b由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为C的学生的概率为eq\f(3,10).(1)求a，b的值；(2)从测试成绩均为A或B的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率．解：(1)依题意可知，语言表达能力或文字组织能力为C的学生共有(b＋2)人，所以eq\f(b＋2,10)＝eq\f(3,10)，a＋b＝3，解得b＝1，a＝2.(2)测试成绩均为A或B的学生共有7人，其中语言表达能力和文字组织能力均为B的有2人，设为b1，b2，其余5人设为a1，a2，a3，a4，a5.则基本事件空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)}．所以基本事件空间总数为21.选出的2人语言表达能力和文字组织能力均为B的有(b1，b2)．所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率P＝1－eq\f(1,21)＝eq\f(20,21).1．若x∈A的同时，还有eq\f(1,x)∈A，则称A是“好搭档集合”，在集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“好搭档集合”的概率为()A.eq\f(7,31) B.eq\f(7,32)C.eq\f(1,4) D.eq\f(8,31)解析：选A由题意可得，集合B的非空子集有25－1＝31个，其中是“好搭档集合”的有：{1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，2，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，共7个，所以该集合是“好搭档集合”的概率为P＝eq\f(7,31).2．“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801­2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：累积净化量(克)(3,5](5,8](8,12]12以上等级P1P2P3P4为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化