椭圆的几何性质高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆的简单几何性质oyB2B1A1A2F1F2cab知识回顾：椭圆的定义、标准方程是什么？平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。标准方程为其中，解析几何研究的主要问题是什么？（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程。（2）通过方程，研究平面曲线的性质。

下面通过椭圆的两种标准方程，研究椭圆的性质观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？F1F2M0xyA1A2B1B2

-a≤x≤a,-b≤y≤b

∴椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成的矩形中，如图所示：oyB2B1A1A2F1F2cab二、新课讲解：1、椭圆的范围：由x2.椭圆的对称性中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

oxy在之中，把（）换成（），方程不变，说明：椭圆关于（）轴对称；椭圆关于（）轴对称；椭圆关于（）点对称；故，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心P2(-x，y)P1(x，y)P3(x，-y)P4(-x，-y)3.椭圆的顶点

oxyB2B1A1A2︱︱F1F2*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长分别等于2a和2b

。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(0,-b)(a，0)(-a，0)3、椭圆的顶点：令x=0，得y=？说明椭圆与y轴的交点为（），令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点为（）。0,±b±a,0*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。特征三角形4、椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：0<e<1①e越接近1，c

就越接近a，请问：此时椭圆的变化情况？[2]e与a,b的关系:用e表示，即(e用来刻画椭圆扁平程度的量)②e

越接近0，c

就越接近0，请问：此时椭圆又是如何变化的？

e

越接近1，c

就越接近a，b就越小，此时椭圆就越扁e

越接近0，c就越接近0，

b就越大，此时椭圆就越圆小结一：基本元素oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2基本量：a、b、c、e、（共四个量）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）基本线：对称轴（共两条线）请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系）同学们对椭圆性质对比归纳标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.解：把已知方程化成标准方程：

因此，椭圆的长轴和短轴长分别为2a=10和2b=8,两个焦点分别为F1（-3，0）和F2（3，0），四个顶点分别为A1(-5，0)、A2(5，0)、B1(0，-4)、B2(0，4)。这里a=5，b=4，xyOx012345y43.93.73.22.40列表：例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点P(－3，0)，Q(0，－2)；（3）长轴长等于20，离心率等于.解：（1）由椭圆的几何性质可知，点P、Q分别为椭圆长轴和短轴的一个端点.为所求椭圆的标准方程.（2）经过点解：设椭圆的标准方程则故所求椭圆的标准方程为（2）经过点（3）长轴长等于20，离心率等于.解：注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤:⑴定位;⑵定量1.本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。2.了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系,这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助,为以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。3.在本节学习中,我们从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件,需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。为以后解析几何的学习奠定基础。4.在本节课中,我们运用了几何性质,待定系数法来求解椭圆方程,在解题过程中,准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。小结反思，升华素养3.1.2椭圆的简单几何性质（2）1.范围方程中的x、y的范围分别是：______、______。这说明了椭圆位于直线______和________围成的矩形里。2.对称性________是椭圆的对称轴；_________是椭圆的对称中心；__________叫椭圆的中心椭圆与x、y轴的交点有________________________；因为x、y轴是该椭圆的对称轴，所以四个交点又叫椭圆的______。_________叫长轴，________叫短轴。|x|≤a|y|≤bx=±ay=±b

x、y轴

原点椭圆的对称中心A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1A2B1B2顶点线段A1A2线段B1B212yxFFO椭圆几何性质：|A1A2|=2a，|B1B2|=2b，在Rt△OB2F2中，|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2，4.离心率椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率.3.顶点根据的性质说出的性质图形范围顶点对称性方程A1(-a,0)、A2(a，0)、B1(0,-b)、B2(0,b)关于x、y轴对称，关于原点对称|x|≤a;|y|≤b|x|≤b;|y|≤aA1(0,-a)、A2(0,a)、B1(-b,0)、B2(b,0)关于x、y轴对称，关于原点对称

yxoF1F2

yxoF1F2A2A1B1B2A1A2B!B2离心率A复习练习15实际应用：求椭圆标准方程例1.如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm.试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm).Hd实际应用：求椭圆标准方程变式.解：..FF’xyO.M推广探究椭圆的第二定义：若平面内动点M..FF’xyO.M拓展探究：教材P116阅读材料椭圆的第二定义：若平面内动点M.F.M说明：椭圆的两个定义，是从不同的角度反映了椭圆的特征.一般地，如果遇到动点到两个定点的距离问题，应联想到椭圆的第一定义；如果遇到动点到一个定点及一条定直线的距离问题，应联想到椭圆的第二定义.定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.椭圆的第一定义：平面内与两个F1..F2MF1OF2xyM

椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径。|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0

|MF2|＝a-ey0

|MF1|＝a+ey0

xF1F2yOM拓展xy.解：(1)由知，∵

P(x,y)是椭圆上的一个动点，∴当x=0即点P为椭圆短轴端点时，

当即点P为椭圆长轴端点时，（法二）∵

P(x,y)是椭圆上的一个动点，∴

可设则当时，当时，解：(2)由椭圆第二定义得，..F2F1xyO.P由知，∴当x=0即点P为椭圆短轴端点时，

当即点P为椭圆长轴端点时，(焦半径公式)xF1F2MOyAB..例3.拓展探究D

典型例题求椭圆的离心率的值(或范围)变式训练1：若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求椭圆C的离心率.解:在△PF1F2,∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,∴∠F1PF2=60°,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,长轴长为2a,巩固练习变式训练2：若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求椭圆C的离心率的取值范围.探究一:求椭圆离心率的值(或范围)PAOC2(1)已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取值范围.(2)如图所示,设直线y=2x与椭圆的一个交点为P,则点P横坐标为c,连