2022年江西省上饶市高考数学一模试卷（理科）（学生版+解析版）

2022年江西省上饶市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）己知集合4={尤2|-2cxW2},B={x*-2x+320},求ADB=（）

A.{x\-2<x^2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,1,2}D.R

2.（5分）已知复数2=霄，则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为-1

B.z的共枕复数为47

C.|z|=5

D.z在复平面内对应的点在第二象限

3.（5分）已知命题p：3xGR,4X<2X,命题q：VxGR,lnx>Q,则下列命题是真命题的为

（）

A.p/\qB.（「p）A（7C.pALq）D.（「p）A（［4）

则工+工的最小值是（

4.（5分）己知x>0,y>0,x+2y=1,）

%y

A.2V2B.3+2V2C.6D.8

1

++

5.（5分）已知函数f（%）=sinx+%3X-3,

A.1B.3C.4D.5

6.（5分）设/（X）为可导函数，且妈吗了=一，则曲线y=/（x）在点（1,

/（1））处的切线斜率为（）

A.2B.-1C.1D.

7.（5分）如右图是一个无盖的正方体盒子展开图，A,B,C,。是展开图上的四点，则在

正方体盒子中，4c与平面48。所成角的余弦值为（）

V6V3V2

A.一B.一cWD.—

3323

8.（5分）如图，在aABM中，BM=3CM,AN=^AM,^AN=XAB+fiAC,则入+p=（）

12

A.4B.-C.孑D.-

77

9.（5分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国

古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠

算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才

北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一

部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、

上面一粒珠（简称上珠）代表5,下面一粒珠（简称下珠）是1,即五粒下珠的大小等于

同组一粒上珠的大小.现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只

能往下拨且每位至多拨I粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被5整除的

概率是（）

梁上珠

档T

框R!TOTTH〉下珠

3321

A.-B.-C.一D.-

4832

10.（5分）△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知下列条件:

①6=3,c=4,8=30°；

②〃=5,b=4,A=30°；

@c—2,b=A/3,B=60°；

④c=12,b=l2,C=120°.

其中满足上述条件的三角形有唯一解的是（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

xy

11.（5分）己知为，尸2分别为双曲线-7-77=1（«>0,/7>0）的左、右焦点，以F1F2

a2b2

为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M,N,设四边形FiNF2M的周

长C与面积S满足S=?C,则该双曲线的离心率的平方为（）

A.2+V2B.8+4V2C・2+2/D.2+8

12.（5分）设。=白，人=c=2/n|^,则。，b,c的大小关系正确的是（）

A.a〈b〈cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

'%+y—340

13.（5分）已知实数羽y满足约束条件卜一2y-3W0,若目标函数z=y-2%的最大值是

JC>m

7,则实数m的值为.

14.（5分）已知曲线C：y=*/,焦点是尸，P是抛物线上任意一点，则点P到焦点F和

到点A（4,1）的距离之和的最小值是.

15.（5分）菱形A8CD中，A8=6,ND4B=60°,将△C8。沿8。折起，C点变为E点，

当四面体E-AB。的体积最大时，四面体E-A3。的外接球的表面积为.

16.（5分）为创建全国文明城市，上饶市政府决定对某小区内一个近似半圆形场地进行改

造，场地如图，以为圆心，半径为一个单位，现规划出以下三块场地，在扇形4OC区域

铺设草坪，△OCD区域种花，△OB。区域养殖观赏鱼，若NAOC=NC。。，且使这三

块场地面积之和最大，则coSZAOC=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）马家柚是上饶市广丰区的特色品牌，因其果大形美，红汁多，果肉甘甜爽口，

而深受大家的喜爱，该地区现有某果农从其果园的马家柚树上随机摘下了100个马家柚

进行测重，其质量（单位：g）分别在[1500,1750）,[1750,2000）,[2000,2250）,[2250,

2500）,[2500,2750）,[2750,3000]中,其频率分布直方图如图所示.

（1）根据频率直方图，估计这100个马家柚的质量的平均数与众数.

（2）已知按分层随机抽样的方法从质量在[1500,1750）,[2000,2250）的马家柚中抽取

了5个，现从这5个马家柚中随机抽取3个，求这3个马家柚的质量不小于2000g的个

数的分布列与期望.

18.(12分)已知数列｛即｝满足ai=-1,且-而=如却《+1.

(1)求数列｛板｝通项；

(2)记bn=anan+2,求数列｛员｝的前n项和Tn.

19.(12分)在三棱柱ABC-4B1C1中，AB=\,BC=2,ABLAC,BiC_L平面ABC,B\B

与平面ABC所成的角为45°.E,F分别是AC,SC的中点.

(1)求证：EF〃平面ABiCi；

(2)求二面角C-ABi-C的余弦值.

20.(12分)已知圆E：(x+2)2+/=24,动圆N过点F(2,0)且与圆E相切，记动圆圆

心N的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点尸(2,0)的直线相交椭圆C于点例、N,且满足tan/MEN=呼-(E为

3EM-EN

圆E的圆心)，求直线山的方程.

21.(12分)已知函数/(x)=xlnCx+a-1),g(x)=erY+cosx-1,其中e=2.718…为自然

对数的底数.

(1)当。=1时，若过点(相，加)与函数/(X)相切的直线有两条，求机的取值范围；

(2)若xe(0,+8),OWaWL证明：f(x)<g(x).

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清

题号

22.(10分)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为号;(<p为参数)，以坐标

原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos(0-勺=-孝.

(1)分别求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)定点尸(1,-2),直线/与曲线C交于4,B两点，弦AB的中点为°,求.J：；],的

值.

选做题

23.已知函数/(x)=4-\x+2a\,g(x)=[x-l|+|x+l|.

(1)当a=)时,求不等式/1(x)与g(x)的解集；

(2)是否存在实数a,使得不等式/(x)Ng(x)的解集包含[-1,1]?若存在，求a

的取值范围；若不存在，请说明理由.

2022年江西省上饶市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A={x€Z|-2cxW2},B={x\x1-2x+3^0],求ACIB=()

A.{x|-2VxW2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,1,2}D.R

【解答】解：集合A={x€Z|-2VxW2}={-1,0,1,2),

-2x+3^0]=R,

；.AnB={-1,0,1,2).

故选：B.

2.（5分）已知复数z=［黑，则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为-1

B.z的共貌复数为47

C.|z|=5

D.z在复平面内对应的点在第二象限

【解答】解:_5+3t_(5+3i)(lT)_

―1+F-(l+i)(l-0-

.•.z的虚部为-1,故A正确，z的共轨复数为4+i,故B错误,

|z|=J42+(-1)2=g故C错误,

z在复平面内对应的点（4,-1）在第四象限，故。错误.

故选：A.

3.（5分）已知命题p：3xGR,4X<2X,命题q：VAGR,bvc>0,则下列命题是真命题的为

()

A.p/\qB.（-'/?）/\qC.p/\Lq）D.（-'/?）A（q'）

【解答】解：当x=7时，4X<2\故命题p：3xeR,4*<2》为真命题，

当0<x<l时，加x〈0,故命题中VxCR,mr>0为假命题.

.,.pAq为假命题，Lp）八q为假命题，p/\Lq）为真命题，（-'p）ALq）为假命

题.

故选：C.

11

4.(5分)己知x>0,y>0,x+2y=1,则一+一的最小值是()

xy

A.2V2B.3+2V2C.6D.8

【解答】解：因为x>0,y>0,且x+2y=l,

则工+工=(-+-)(x+2y)=3+^+->3+2V2,

xyxyxy

当且仅当§=’且x+2y=1即y=匠=2廿,x=y/2-1时取等号，

故选：B.

5.(5分)已知函数f(x)=sin%+/+1+3,若/(〃)=1,则/(-〃)=()

A.1B.3C.4D.5

【解答】解：函数f(%)=sinx+/+]+3,

f(-x)+f(x)=sin(-x)+(-x)3-]+3+siar+/+1+3

=-sinx-^3--+1sinx+r3+-1+6=6,

若/(〃)=1,则/(-〃)=6-/(〃)=6-1=5,

故选：D.

6.(5分)设/(x)为可导函数，且△止哭二组=一1，则曲线y=/(x)在点(1，

Ax-^O

/(I))处的切线斜率为()

A.2B.-1C.ID.

【解答】解：因为/(x)为可导函数，且嬲"DU；-2Ml=

则lim"1??一2-)x2=2f(1)=-1,

△x->o2AX」

所以，(1)=-i,即为曲线)，=/(x)在点(1,/⑴)处的切线斜率，

故选：D.

7.(5分)如右图是一个无盖的正方体盒子展开图，A,B,C,。是展开图上的四点，则在

正方体盒子中，AC与平面AB。所成角的余弦值为()

【解答】解：把民形图还原成正方体，4,B,C,。如图所示,

：.AC与平面ABO所成角即为NC4B,

设正方体的棱长为1,则AB=V^,AC=V3,

.•.在RtZWBC中，cos/C4B=%=,=孚.

V6

在正方体盒子中，AC与平面ABD所成角的余弦值为手.

故选：A.

8.(5分)如图，在/XABM中，BM=3CM,众=yAM,若AN=AAB+(1AC,贝U入+|i=()

【解答】解：AN=^AM=(AB+BM)

3T

打2T8+52x^BC

2T3TT

=沙8+](AC-AB)

^3ATC-^1ATB

1Q9

故A+p=—y+y=yy

故选：D.

9.（5分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国

古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠

算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才

北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一

部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……

上面一粒珠（简称上珠）代表5,下面一粒珠（简称下珠）是1,即五粒下珠的大小等于

同组一粒上珠的大小.现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只

能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被5整除的

概率是（）

阳劈懵T用

【解答】解：从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数有32个,

分别为：

11,15,51,55,101,105,501,505,110,150,510,550,

1001,1005,5001,5005,1010,1050,5010,5050,1100,1500,5100,5500,

2,20,200,2000,6,60,600,6000,

其中算盘表示的整数能够被5整除包含的整数有24个，分别为:

15,55,105,505,110,150,510,550,1005,5005,1010,1050,5010,5050,1100,

1500,5100,5500,20,200,2000,60,600,6000,

则算盘表示的整数能够被5整除的概率为尸=g=*

故选：A.

10.（5分）△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知下列条件：

①b=3,c=4,3=30°；

②。=5,b=4,A=30°；

③c=2,b=遍,B=60°；

④c=12,b=\2,C=120°.

其中满足上述条件的三角形有唯一解的是（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

bc

【解答】解：对于①，ZVIBC中，b=3,c=4,8=30°,由正弦定理得一一=——,

sinBsinC

349i

即一=—：=sinC=4>4=sin30°,满足条件的角C有2个，故三角形有两个解；

sm30°sinC§乙

45o

对于②，ZXABC中，（j=5,b=4,A=30°,由正弦定理一一=-——;得sinB=<

sinBsm30°5

1=sin30°,又b〈a,所以满足条件的角B只有一个，故三角形有一解；

bcV32

对于③，△ABC中，由正弦定理一^=—7得：-7T=—T=>sinC=l,即。=90°,

sinBsinCsinC

2

故三角形有一解；

对于④，ZVIBC中，c=12,6=12=z^ABC为等腰三角形，又C=120°,故△A8C无解.

故选：C.

x2y2

11.（5分）己知四，尸2分别为双曲线=1（a>0，b>0）的左、右焦点，以F1F2

a2b2

为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M,N,设四边形FiNF2M的周

长C与面积S满足S=^C,则该双曲线的离心率的平方为（）

A.2+V2B.8+4V2C.2+2鱼D.2+V3

【解答】解：如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设M（xi,yi）,

由圆与双曲线的对称性可知，点M与点N关于原点对称，可得：SAF1F2M=S"】F2N，

因为圆是以为乃为直径，所以圆的半径为c,

rxj_2_y3_2=

因为点M(XI,yi)在圆上，也在双曲线上，所以有，Mb2,

t%i2+yi2=c2

2222222

联立化简可得：Z?(c-)-ayr=ab,

22222222

整理可得：bc—ab=by1+ayT,

h2

2

/=c2yl,yi=­f

则有：S=2sMM2M=2c•%=2b2,

因为S=3C,所以2b2=3c,C="，

因为C=\MF]i+\MF\2+\NF]i+\NF\2=2(|MF|I+|MF|2),

可得IM&l+IMFzl=等，

2b之

因为|MQi-|MF|2=2m联立]|MKI+IMF2I=弁，

IMF/-\MF2\=2a

b4—4

可得：IMF/•|MFz|=匕

»4_A

因为Fl尸2为圆的直径，可得：|MFi『+=|F/2『，即4a2+2幺*-=4。2,

2«4+C4-4a2c2=0,2+e4-4^2=0,

所以离心率的平方为：e2=处烂=2土近，

又e>l,则e2=2+VL

故选：A.

12.(5分)设。=击，力=c=2"器，则。，b,c的大小关系正确的是()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

001

【解答】解：对a,b,c同时取以e为底的指数，即比较a=#°2,/,=7,c=1.022大

小，

fe=7001=(V7)°02<a=e°02,

c=1.022=(1+002)2,

令/(x)=/-(1+Jt)2,则，(x)=炭-2(1+x),/'(x)=d-2,

.♦.xV/nx时，/'(x)<0,f(x)递减，

,:f(/〃2)=-21n2,f(0)=-1,

二(0,/〃2)上，(x)<0,即f(x)递减，则在(0,-2)上f(X)</(0)=0,

...由0.026(0,/H2),则f(0.02)<0,gpa=e002<c=1.022.

综上，h<a<c.

故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

%+y-3<0

13.(5分)已知实数x,y满足约束条件卜—2y—3W0,若目标函数z=y-2九的最大值是

X>m

7,则实数□的值为•

仔+y—340

【解答】解：画出不等式组卜一2y-3W0表示的平面区域，如图所示：

\x>m

目标函数z=y-2x可化为y=2x+z,

平移目标函数，当目标函数过点A时，z取得最大值，

由.1_y_3=0,解得A（m,3-nt）,

所以Z的最大值为Zmax=3-m-2机=3-3加，

令3-3相=7,解得m=一/

故答案为：

14.（5分）已知曲线C：y=1x2,焦点是F,P是抛物线上任意一点，则点尸到焦点F和

到点A（4,1）的距离之和的最小值是4.

【解答】解：曲线C：y=1x2,抛物线的标准方程为：/=4），，

如图：F（0,1）,准线），=-1,A在抛物线外，

点P到焦点尸和到点A（4,1）的距离之和的最小值是忸用=4.

15.（5分）菱形A8CD中，A8=6,ND4B=60°,将△CBO沿8D折起，C点变为E点,

当四面体E-A8Q的体积最大时，四面体E-A3。的外接球的表面积为60n.

【解答】解：如图所示，

当平面CB。，平面ABD时，四面体E-A8O的体积最大，

分别从△EBZ）和△ABO的外接圆圆心Oi,<92作其面的垂线，交于点。，即为外接球球

心，

因为M为B。中点，AD=AB,所以AM_LB£）,

因为平面EBD_L平面ABD,平面E8DA平面ABD=BD,

所以AM_L平面EBD,

因为EMu平面EBC,所以AM_LEM,

因为OiM=O?M

所以四边形OOiMS为正方形.

由题意可得△AB。，△E8。都为等边三角形，

所以NA8Z）=60°,AM=EM=6sin60°=3V3,

所以EOi=力出=|•6•sin60°=2遮，

故。Oi=遮，在RtAOOiE中，UE?=（2百）2+（V3）2=15,

故四面体E-ABD的外接球的面积为4irOE2=60TT,

故答案为：60IT.

16.（5分）为创建全国文明城市，上饶市政府决定对某小区内一个近似半圆形场地进行改

造，场地如图，以为圆心，半径为一个单位，现规划出以下三块场地，在扇形AOC区域

铺设草坪，△OCZ）区域种花，△02。区域养殖观赏鱼，若/AOC=NC。。，且使这三

V17-1

块场地面积之和最大，则eSNA0C=.

71

【解答】解：设/Aoc=e,则NCOO=O,根据题意易知ee（0,-）,,：OD=OB,△

为等腰三角形，则/OQB=NOB£>,

又；ZODB+ZOBD,

：.ZCOD=ZODB=ZOBD=6,

:.OC//DB,

・••则三块场地的面积和为S=,8+初1)0+5sin(TT-26)=^0+^sin0+^sin(20),0G

71

(0,—),

2

贝ijS，=^+^cos0+cos20=2cos20+^cos0—0E(0,]),

令S'=0,cos0=组工或cos0=(舍)

OO

设中为cos0=^所对应的角，

71

：y=cos。在06(0,-)上单调递减，

2

/.0G(0,tp)时，S单调递增.

A0e(<p,-)时，S单调递减.

2

.•.当cose=乌二时，面积最大.

O

故答案为：上V1丁7-1.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)马家柚是上饶市广丰区的特色品牌，因其果大形美，红汁多，果肉甘甜爽口，

而深受大家的喜爱，该地区现有某果农从其果园的马家柚树上随机摘下了100个马家柚

进行测重，其质量(单位：g)分别在[1500,1750),|1750,2000),[2000,2250),[2250,

2500),[2500,2750),[2750,3000]中，其频率分布直方图如图所示.

(1)根据频率直方图，估计这100个马家柚的质量的平均数与众数.

(2)已知按分层随机抽样的方法从质量在[1500,1750),[2000,2250)的马家楠中抽取

了5个，现从这5个马家柚中随机抽取3个，求这3个马家柚的质量不小于2000g的个

数的分布列与期望.

【解答】解：（1）由频率分布直方图知蜜柚质量在各段的频率依次为0.1,0.1,0.15,0.4,

0.2,0.05,

估计这100个马家柚的质量的平均数=

1500+1750八1,1750+200012000+22502250+2500

Ax0.4

2X0.1+---------------x0.1+2x0.15+2

+2500+2750x()2+2750+3000

2x0.05=2287.5.

2250+2500

众数==2375.

2

（2）质量落在［1500,1750）和［2000,2250）中的频率分别是0.1和0.15,其马家柚个

数依次为10,

15.分层抽样的方法抽取5个马家柚,则［1500,1750）中抽取2个，［2000,2250)中抽

取3个.

设这3个马家柚的质量不小于2000g的个数为X,则X的取值分别为1,2,3.

P(X=1)=粤=焉P(X=2)=绛=东P(X=3)=q=卷

egiu《1Ueg1U

X的分布列为：

X123

P361

101010

E(X)=1x+2x+3x

18.（12分）已知数列｛。〃｝［两足m=-1,且-1.

（1）求数列｛〃”｝通项；

（2）记加求数列｛加｝的前〃项和Tn.

【解答】解：（1）将“〃+15+1两边同时除以5+1,

-11

可得:----=——1,

an+lan

11

即------=-l(n6N*)

an+lan

则数列｛;｝是以-1为公差的等差数列，

an

1

可得：—=—1+(n-1)(—1)=-n,

解得：an=-^；

(2)由(1)可得：勾=小击，

则有：%=吴一击),

ml.11.,A1、，/I1、，z11、।,11、•11j,11

则〃=2[(1_@)+(2_4)+0一5)+一(口一帝)+(同一用)]=2[1+2_帝_

1_3__1_______1九(3九+5)

九+2」1—42(九+1)2(n+2)—4(n4-l)(n+2),

19.(12分)在三棱柱A3c-4&C1中，AB=1,BC=2,ABLAC,31cl.平面ABC,B\B

与平面ABC所成的角为45°.E,尸分别是AC,81c的中点.

(1)求证：E/〃平面A81C1；

(2)求二面角C-ABi-C的余弦值.

【解答】解：(1)证明：因为E,尸分别是AC,81c的中点，所以EF〃ABi.

又ERt平面ABiCi,ABiu平面ABiCi,所以EF〃平面A81C；

(2)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A点作平行于B1C的直线为z轴，建立空

间直角坐标系，如图所示，

在△48C中，AB=\,BC=2,ABLAC,所以AC=g,

因为BiCL平面ABC,所以BC是Bi8在平面ABC内的射影，

所以/BiBC就是B18与平面ABC所成的角，又B1B与平面A8C所成的角为45°,

所以/818C=45°,所以BC=BC=2,

所以4(0,0,0),C(0,V3,0),Bi(0,V3,2),G(一1,2k，2),AC=(0,

V3,0),值=(0,V3,2),ACr=(-1,2技2).

设平面ACBi的一个法向量为蔡=(1,0,0),

设平面ACiBi的一个法向量为蔡=(a,b,c),则二,i=°Ay/3b+2c=0

1一a+2.y/3b+2c

,n-4G=0=0

令b=2,则£=(22,-V3).

—>—>ms-_2757

Vcos\{m,n)\=|由图示知二面角c-ABi-Ci为锐角,

I而向19

2\/57

••・二面角CTBL。的平面角的余弦值为卞.

20.(12分)已知圆E：(x+2)2+y2=2%动圆N过点F(2,0)且与圆E相切，记动圆圆

心N的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点尸(2,0)的直线机交椭圆C于点何、N,且满足tanNMEN=呼-(E为

3EM-EN

圆E的圆心)，求直线小的方程.

【解答】解：(1)因为点尸(2,0)在圆E：(x+2)2+)2=24内，所以，圆N内切于圆E,

设圆N的半径为r,则［怨!=2、一I二|幽+|叫=2->附|,

l|/vrI=r

所以N点的轨迹是以E、尸为焦点长轴长为2遍的椭圆，

X2V2

设椭圆方程为：—r4-77=h>0),

a2b2

则Q=V6,C=2,从而b=V2,

x2y2

故点N的轨迹。的方程为二十==1.

62

(2)①当直线机的斜率存在时，设〃?：y=k(x-2),M(xi,y\)>N(x2,”)

%2y2

代入式+万=1整理得(3必+1)/-12右+g6=0,

12k2121(2-6

则+x=2,*%2=7

23必+13/+1

222

所以，|MN|=y/1+k-I%1—x2|=V1+fc•>/(%1+x2)—4X1X2="代产)

3k+1

点E到直线m的距离d=兽=

Jl+k2

m3\EM\­\EN\cos^MEN=8遍•器:温，

TTOA

所以，\EM\-\EN\sinAMEN=1V6=S^EMN=^瓜

2

,18l2V6(l+k)|4k|8r

而〃EMN=W"N|-d，：.\MN\-d=^46,即-­-f===-V6,

,J3/cz+lVl+fcz3

解得k=土苧，此时m：y=(x+2)；

②当直线，"的斜率不存在时，，加x=2,

直线〃?交椭圆于点M(2,萼)、N(2,-坐).

也有tan/MEN=呼经检验,上述直线m均满足京-EN^0.

3EM-EN

综上：直线m的方程为x+Ky+2=0、x-V5y+2=0或x=2.

21.(12分)已知函数/(x)=xln(x+tz-1),g(x)=e'4cos%-1,其中e=2.718…为自然

对数的底数.

(1)当。=1时，若过点(相，〃7)与函数/(尢)相切的直线有两条，求机的取值范围；

(2)若居(0,+8),OWaWl,证明：/(X)Vg(x).

【解答】解：(1)当。=1时，/(x)=xlnx,过点(m,in)与函数f(x)相切于点P(xo,

yo),

则/(x)=阮什1,/./nxo+1=x°^nx°—m,

XQ-Tfl

化为：m=声~,(XO21),

LTIXQ

令h(x)_£h'(x)一Ex-l

q一》£h^x)-ln2x‘

可得在(0,1),(1,e)时、h'(x)<0；xG(e,+°°)时，hf(无)>0.

・・・函数/zG)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,e)上单调递减，在区间(e,+

8）上单调递增.

h(e)—e,

•••过点(〃?，m)与函数f(x)相切的直线有两条,

.•.直线丫=，"与人(x)=备的图象有两个交点，

可得用〉e