中考数学几何模型重点突破讲练：专题33 将军饮马模型（教师版）

专题33将军饮马模型【模型1】两点一线1.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度.构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：2.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示：3.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？构图：连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示：4.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：5.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，此时为0，如图所示：【模型2】一定两动1.如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示：2.如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.3.如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示：【模型3】两点两线在直线m、n上分别找两点P、Q，使得PA＋PQ＋QB的值最小.1.A、B两点都在直线的外侧2.一个点在内侧，一个点在外侧3.两个点都在内侧【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（

）A．4 B． C． D．5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，∴DN=BN，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故选：D．【例2】如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．【答案】【分析】根据题意，过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，则OM+ON=NH+ON=NH+NK≥HK，当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．根据矩形性质及图形的对称性，易知，在中，运用勾股定理求得HK的长即可．【解析】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，∵OH∥BC，OH=MN=2，∴四边形OMNH是平行四边形，∴OM=NH，∴OM+ON=NH+ON．∵O点关于BC的对称点是点K，∴ON=NK，∴OM+ON=NH+ON=NH+NK，∵，∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K，∴．

∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，∴OK=AB=8．∵OH=2，，∴，∴OM+ON的最小值是．【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．(1)求直线AB的解析式；(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝2x+4(2)(3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）【分析】（1）设OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求解；（2）将直线AB向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x−2，可得E（0，−2），垂线l2的解析式为y＝−2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为y＝−x＋4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D，作D关于直线y＝−2对称点D，连接DD交y轴于P，交直线y＝−2于Q，此时PD＋PQ＋DQ的最小，根据D（−2，2），D（2，−6），得直线DD解析式为y＝−2x−2，从而P（0，−2），Q（0，−2），故此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值为4．（3）设P（p，2p＋4），N（0，q），而A（−2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，根据中点公式得N（0，−2）；②以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；③以AN、DM为对角线，同理可得N（0，−2）．【解析】（1）解：（1）设OB＝OC＝m，∵OA＝2，∴AC＝m+2，A（﹣2，0），∵S△ABC＝12，∴AC•OB＝12，即m•（m+2）＝12，解得m＝4或m＝﹣6（舍去），∴OB＝OC＝4，∴B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB解析式为y＝2x+4；（2）将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，∵B（0，4），C（4，0），设直线BC解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，由得：，∴D（2，2），作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），设直线D'D''解析式为y＝sx+t，则，解得，∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，∴PD+PQ+DQ的最小值为4．（3）存在，理由如下：设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，如图：此时AD中点即为MN中点，∴，解得，∴N（0，﹣2）；②以AM、DN为对角线，如图：同理可得：，解得，∴N（0，10）；③以AN、DM为对角线，如图：同理可得，解得，∴N（0，﹣2），综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．一、单选题1．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM的值，即可求解．【解析】解：连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A关于BD对称，∴AP=PC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，∵M是BC的中点，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM=，∴PM+PC=AM=．故选B．2．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．【解析】解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小故选：C．3．如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（）A． B． C． D．36【答案】A【分析】从图2知，是的最小值，从图1作辅助线知；接下来求出，设与交于点，则求出，，最后得，所以，选．【解析】解：如下图，在边上取点，使得和关于对称，连接，得，连接，作，垂足为，由三角形三边关系和垂线段最短知，，即有最小值，菱形中，，，在△中，，解得，是图象上的最低点，此时令与交于点，由于，在△中，，又，，又的长度为，图2中是图象上的最低点，，又，，故选：A．4．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（

）A． B．3 C．2 D．4【答案】C【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．【解析】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴B点与C点关于AD对称，∴BM＝CM，∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，∴FC＝2，EF＝2，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故选：C．5．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（

）A．4 B．4.5 C．5.5 D．5【答案】D【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．【解析】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，连接BE，交AC于点N'，连接DN'，∴DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+EN'BD，则BE的长即为DP+PE的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CE=CD-DE=4-1=3，在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∴BE=5，即DP+PE的最小值为5，故选：D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（

）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对【答案】B【解析】思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．答案详解：如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．7．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．【解析】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4，在Rt△ECD中，EC==4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A． B．2 C．2 D．3【答案】A【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【解析】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故选：A．二、填空题9．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．【答案】【分析】先设出矩形的边长，将AQ和CQ表示出来，再通过作对称点确定△AGQ的周长最小时的G点位置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可．【解析】解：设DC=，DQ=AD=x，∴∵矩形ABCD，∴∠D=∠DCB=∠B=90°，，∴，如图，作Q点关于BC的对称点E，连接AE交BC于点M，∴GQ＝GE，CQ=CE=∴AQ+QG+AG=，∴当A、G、E三点共线时，△AGQ的周长最小，此时G点应位于图中的M点处；∵矩形ABCD中，∠QCG=90°，∴E点位于QC的延长线上，∴CE∥AB，∴，即，故答案为：．10．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．【答案】3【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及，对线段长度进行等量转化即可．【解析】解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点、，连接、、、、，其中分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得周长的最小的位置．由对称性可知：，，为等边三角形的周长===3故答案为：311．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是________．【答案】【分析】如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．当D、P、M共线时，值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行线的性质即可解决问题．【解析】解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，∴PB+PM=PD+PM当D、P、M共线时，的值最小，∵CM=BC=2∵∠ABC=120°，∴∠DBC=∠ABD=60°∴△DBC是等边三角形，∵BC=6，∴CM=2，HM=1，DH=，在Rt△DMH中，∵CM∥AD∴∴故答案为：．12．如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．【答案】【分析】当连接BE，交AD于点P时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．【解析】解：连接BE∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点C关于AD的对应点为点B，∴BE就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴BE是△ABC的中线，∴CE＝AC＝2，∴即EP+CP的最小值为，故答案为：．13．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．【答案】6【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论．【解析】解：连接BE，与AD交于点M．∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，则BE就是EM+CM的最小值．∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值为6，故答案为：6．14．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．【答案】10【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【解析】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，∴BN＝ND，∴DN＋MN＝BN＋MN，连接BM交AC于点P，∵点N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故答案为：10．三、解答题15．如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）【答案】（1）图见解析，km；（2）图见解析，km．【分析】（1）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，连接PB，此时PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；（2）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AC于点P，连接PB，PD，点P即为所求，设PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．【解析】解：（1）如图1中，点P即为所求．过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E．则四边形ACDE是矩形，∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），∵AB＝AB′＝4km，∴EB′＝AE+AB′＝12（km），∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．（2）如图2中，点P即为所求，设PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，∴42+x2＝82+（14﹣x）2，解得x＝∴AP＝（km）．16．如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8华里北7华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少?【答案】17华里【分析】作出A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，则就是最短路线，根据垂直平分线的性质，得出，根据勾股定理得出，即可求出最短路径．【解析】解：作出A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，则就是最短路线，如图所示：，，，∵MN垂直平分，∴，∵在中，，∴，∴（华里）．答：牧童所走的最短里程是17华里．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．(1)画出关于轴对称的；(2)在轴上找一点，使的值最小（保留作图痕迹），并写出点的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析，的坐标为．【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，即可作出；（2）作出点B关于x轴的对称点B2，连接B2C，交x轴于P，点P即为所求做的点．【解析】（1）解：解：（1）如图所示，即为关于轴对称的三角形．（2）解：如图所示，点P即为所求做的点，点的坐标为．18．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．（1）画出△ABC关于直线MN对称的．（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）【答案】（1）画图见解析；（2），；（3）画图见解析【分析】（1）分别确定关于对称的对称点再顺次连接从而可得答案；（2）根据在坐标系内的位置直接写其坐标与的长度即可；（3）先确定关于的对称点，再连接交于则从而可得答案.【解析】解：（1）如图1，是所求作的三角形，（2）如图1，为坐标原点，则

（3）如图2，点即为所求作的点.19．如图，一次函数y＝kx﹣6过点A（﹣2，﹣2），与y轴交于点B．(1)求一次函数表达式及点B坐标；(2)在x轴上找一点C，连接BC，AC．当BC＋AC最小时，①请直接写出点C的坐标为______；②请直接写出直线BC的函数表达式为______；③在坐标轴上找点D，连接BD，CD，使S△ABC＝S△BCD，请直接写出点D的坐标为_____．【答案】(1)y=-2x-6，B（0，-6）(2)①（-，0）；②y=-4x-6；③或或（0，-2）或（0，-10）【分析】（1）利用待定系数法即可求得一次函数的解式，进入求得B的坐标；（2）①作B关于x轴的对称点为（0，6），连，交x轴于点C，此时BC+AC最小，用待定系数法求出，进一步求出C点坐标；②利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；③求得△ABC的面积，然后根据三角形面积公式得CD和BD的长度进而即可求得D的坐标．【解析】(1)解：∵一次函数y＝kx﹣6过点A（﹣2，﹣2）∴-2=-2k-6，解得k=-2∴y=-2x-6∴B（0，-6）(2)①B点关于x轴的对称点是，连接交x轴于点C，此时AC+BC最小，设直线的解析式为y=ax+b，则解得∴y=4x+6∴当y=0时，x=-，∴点C（-，0）故答案为：（-，0）②设直线BC的解析式为y=mx+n，则，解得∴y=-4x-6故答案为：y=-4x-6③∵A（-2，-2），B（0，-6），C∴当D在x轴时，，即∴CD=1∴点D为或当D在y轴上时，即∴BD=4∴点D为（0，-2）或（0，-10）故答案为：或或（0，-2）或（0，-10）20．教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为____．(3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____．【答案】(1)见解析；(2)；(3)【分析】（1）根据菱形的性质先得出，进而证明是等边三角形．（2）先证明四边形ACED是菱形，再求出，用勾股定理即可求出OE的长．（3）先找出点A的对称点，根据对称性得到PC＋PE的最小值为AE的长，利用勾股定理求出AE的长即可．【解析】（1）四边形ABCD是菱形，∴AD//BC，．，．四边形ABCD是菱形，．是等边三角形．（2）四边形ABCD是菱形，∴AD//BC，又∵DE//AC，四边形ACED是平行四边形，由（1）可得，故四边形ACED是菱形；则，，∠BDC=30°，OA=2，则．（3）如图所示，过A作BE的垂线交BE于点F，连接AE，A点关于BD的对称点为点C，则PC＋PE的最小值为AE；为等边三角形，，，，则PC＋PE的最小值为．21．如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．(1)求点C的坐标；(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)点C的坐标为(2)(3)存在，点Q的坐标为：，，，【分析】（1）由待定系数法求出直线的解析式为，然后联立直线与直线，即可求出点C的坐标；（2）如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，当、、三点共线时，四边