重难点02分数运算之“规律探究”（解析版）

重难点02分数运算之“规律探究”【考点剖析】一．填空题（共4小题）1．（2020秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a*b＝，则（*）*2＝．【分析】先计算出*＝，再计算（*）*2＝*2即可．【解答】解：∵a*b＝，∴*＝＝＝＝，∴（*）*2＝*2＝＝＝×＝．故答案为：．【点评】本题主要考查有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则．2．（2022秋•松江区期中）已知：；；；…；请根据这个规律计算＝．【分析】根据题意，把互为相反数的项合并即可．【解答】解：＝...+＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了分数的混合运算，掌握题目给出的规律是解答本题的关键．3．（2019秋•浦东新区期中）＝＝﹣＝以上过程，是逆用异分母分数减法的方法得到．采用该方法同样可得：＝请直接计算+++++++＝．【分析】根据题目中式子的特点进行变形可以解答本题．【解答】解：原式＝+…++＝＝，故答案为：．【点评】本题考查分数的基本性质，解答本题的关键是利用分数的基本性质变形进行计算．4．（2019秋•浦东新区期中）阅读理解：，，…阅读以上材料后计算：＝81．【分析】先拆项，再抵消，依此计算即可求解．【解答】解：原式＝（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（+++++++）＝81+（﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣）＝81+＝81．故答案为：81．【点评】此题考查了分数的混合运算，关键是熟悉＝﹣的知识点．二．解答题（共12小题）5．（2022秋•徐汇区期末）计算：．【分析】设＝a，则＝a﹣，＝a﹣，进一步代入求得答案即可．【解答】解：设＝a，则＝a﹣，＝a﹣，原式＝（a﹣）（a﹣）﹣a×（）＝a2﹣（+）a+1﹣a×（）＝a2﹣（）a+1＝a2﹣a2+1＝1．【点评】此题考查分数的混合运算，抓住数字的特点，利用整体思想解决问题．6．（2020秋•浦东新区期中）阅读理解题第1个等式：＝＝1﹣；第2个等式：＝＝；第3个等式：＝＝；……观察以上等式，请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：＝＝﹣；（2）计算：+……+．【分析】（1）仿照已知等式得到第5个等式即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可求出值．【解答】解：（1）∵第1个等式：＝＝1﹣；第2个等式：＝＝；第3个等式：＝＝；……∴第5个等式：＝＝﹣．故答案为：＝＝﹣；（2）+……+＝×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）＝×（1﹣）＝×＝．【点评】本题考查数字的变化类、分数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．7．（2022秋•青浦区期中）*表示一种运算：规定它的含义是a*b＝（3+a）﹣（b+2）．请计算：（1）3*2的值；（2）4*5的值．【分析】（1）先根据定义列出算式3*2＝（3+2）﹣（2+2），再进一步计算即可；（2）先根据定义列出算式4*5＝（3+4）﹣（5+2），再进一步计算即可．【解答】解：（1）3*2＝（3+2）﹣（2+2）＝5﹣4＝1；（2）原式＝（3+4）﹣（5+2）＝（3+4）﹣（5+2）＝7﹣7＝＝．【点评】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是掌握分数的混合运算顺序和运算法则．8．（2022秋•浦东新区校级期中）阅读理解：+＝＝；+＝＝；+＝＝．（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分子为1的分数的和的形式．＝；＝．（2）利用以上所得的规律进行计算：﹣+﹣+﹣+﹣+﹣．【分析】（1）直接利用已知运算规律，进而计算得出答案；（2）直接利用已知运算规律将原式变形，进而计算得出答案．【解答】解：（1）＝＝；＝＝．故答案为：；．（2）﹣+﹣+﹣+﹣+﹣＝1+﹣﹣+﹣﹣﹣﹣＝1﹣＝．【点评】此题主要考查了分数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9．（2022秋•奉贤区校级期中）先阅读，再答题：；；．（1）根据以上材料，请写出：＝；＝﹣；（2）计算：．【分析】（1）根据题目中的式子，得出规律：＝﹣，再根据这个规律即可写出相应的结果；（2）根据规律：＝﹣计算出相应的结果．【解答】解：（1）根据以上材料，请写出：＝，＝﹣，故答案为：，﹣；（3）计算：原式＝＝＝．【点评】本题考查了分数的混合运算，能够根据阅读材料得出规律＝﹣（n为正整数）是解题的关键．10．（2020秋•浦东新区校级期中）计算：．【分析】利用公式1+2+3+••••••+n＝将各分母变形，再利用拆项的方法将每个分数变成两个分数之差后进行运算即可．【解答】解：∵1+2＝，1+2+3＝，1+2+3+4＝，1+2+3+4+5＝，••••••，1+2+3+•••••••+99+100＝，∴＝＝+••••••+＝1﹣＝．【点评】本题主要考查了分数的混合运算，根据题目特点利用拆项的方法解答是解题的关键．11．（2019秋•虹口区期末）先阅读，再答题＝＝1﹣，＝＝﹣，＝＝﹣，＝＝﹣……根据你发现的规律，试写出（1）＝﹣；（2）＝﹣；计算：++++++．【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果；（2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果；计算：根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果．【解答】解：（1）＝﹣，故答案为：9，11；（2）＝﹣，故答案为：﹣；++++++＝﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝＝．【点评】本题考查分数的性质，解答本题的关键是利用分数的性质进行拆分简化问题．12．（2019秋•浦东新区校级期中）先阅读，再答题．因为：……将上面的式子反过来，有等式：等式：（1）根据以上材料，请写出：＝；（2）计算：（3）计算：【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果；（2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果；（3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果．【解答】解：（1）＝，故答案为：；（2）原式＝1﹣+…+＝1﹣＝；（3）原式＝×（1﹣++…+）＝（1﹣）＝＝．【点评】本题考查分数的基本性质和混合运算，解答本题的关键是明确分数混合运算的计算方法．13．（2019秋•松江区期中）阅读理解题+＝＝；+＝＝；+＝＝．（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式：＝+；＝+．（2）利用以上所得的规律进行计算：﹣+﹣+﹣．（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：﹣+﹣．【分析】（1）利用题干中的规律即可得出结论；（2）将写成的形式，写成的形式，写成的形式，写成的形式，写成的形式后再进行运算即可得出结论；（3）将所求式子的分子扩大2倍后即可按照（2）的方法计算，最后将结果除以2即可．【解答】解：（1）∵，∴．∵，∴．故答案为：；；；；（2）根据规律把、、、、表示成两个分数的和的形式为：＝，＝，＝，＝，＝，∴﹣+﹣+﹣＝﹣（）+（）﹣（）+（）﹣（）＝＝+（）+（）＝＝1﹣＝；（3）﹣+﹣＝×（）＝×[（）﹣（）+（）﹣（）]＝（）＝（）＝＝．【点评】本题主要考查了分数的混合运算，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．14．（2020秋•普陀区期中）阅读理解：+＝＝，+＝＝；﹣＝＝，﹣＝＝．（1）请在理解上面计算方法的基础上填空：+＝＝；﹣＝＝；（2）利用以上所得的规律进行计算：﹣﹣﹣+﹣．【分析】（1）由上面的题例，发现规律，直接填空即可．（2）逆运用题例规律，把题中分数写成两个分数和的形式，加减求和即可．【解答】解：（1）+＝＝；﹣＝＝；故答案为：6，7，6，7，6，7；7，8，8，7，7，8．（2）﹣﹣﹣+﹣＝+﹣（﹣）﹣（﹣）﹣（+）+（+）﹣（﹣）＝+﹣+﹣+﹣﹣++﹣+＝+＝+＝＝．【点评】本题考查了分数的四则混合运算，理解题哩找到规律是解决本题的关键．若m、n是不为0的相邻正整数（m＜n），则+＝，﹣＝；反之亦成立．15．（2021秋•嘉定区期末）数学有用，数学有趣，数学有美．其中的有趣、有用与优美时常体现于数学的内部．请在观察下面等式特点的过程之中体会数学之趣、欣赏数学之美．①，②＝，③﹣＝，……可以发现：上述三个算式之中的两个分数的差等于这两个分数的积．（1）请认真观察、归纳上述三个算式的共同特点，再写出其中的三个主要特点；（2）请你再写出两个具有（1）中所归纳的这些特点的算式．【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）仿照所给的等式的规律进行求解即可．【解答】解：（1）分母相差1，分子相同都为两个分母差的两个分数的差，等于这两个分数的乘积；分母相差2，分子相同都为两个分母差的两个分数的差，等于这两个分数的乘积；分母相差3，分子相同都为两个分母差的两个分数的差，等于这两个分数的乘积（答案不唯一）；（2）﹣＝×，﹣＝×（答案不唯一）．【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，分数的混合运算，解答的关键是理解清楚所给的规律并灵活运用．16．（2021秋•长宁区校级期中）；；（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）＝+＝，＝+＝．（2）利用以上所得的规律进行计算：【分析】（1）直接利用已知运算规律进而计算得出答案；（2）直接利用已知运算规律将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：（1）＝+＝；＝+＝；故答案为：+，；+，；（2）原式＝1+﹣（+）+（+）﹣（+）+（+）﹣（+）+（+）﹣（+）＝1﹣＝．【点评】此题主要考查了分数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【过关检测】一、解答题1．（2022秋·上海·六年级专题练习）阅读例题后，完成计算：例：．计算：．【答案】【分析】根据材料方法被除数和除数提取公因式，再约掉它化简即可．【详解】【点睛】本题主要是理解例题中的计算方法，并且应用到实际计算中，这也是分数运算中的一种简便的运算方法．2．（2022秋·上海·六年级专题练习）阅读例题后，完成计算：例：．计算：．【答案】3【分析】根据题给出的运算方法进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要是理解例题中的计算方法，并且应用到实际计算中，这也是分数运算中的一种简便的运算方法，解决本题的关键是计算过程中不出错．3．（2023·上海·六年级假期作业）请观察下列各式，再答题：

(1)填空：（）(2)计算：【答案】(1)4(2)【分析】（1）先观察算式的变化规律，进而即可求解；（2）把原式化为，即可求解．【详解】（1）解：∵

，∴，故答案为：4；（2）解：===．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，找到算式的运算规律是关键．4．（2022秋·上海普陀·六年级统考期中）观察下列等式：；；；运用以上规律，回答下列问题：(1)填空：—；(2)计算：；(3)计算：(4)＝．（直接写出答案）【答案】(1)17，20(2)(3)(4)【分析】（1）由等式规律填空即可；（2）由等式规律计算即可；（3）类比，则，以此规律计算即可；（4）类比，则，以此规律计算即可．【详解】（1）解：（2）解：；（3）解：（4）解：【点睛】本题考查分数的加减及乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．（2022秋·上海杨浦·六年级统考期中）从下面选择合适的图形编号填在等式内，并照图写出相应的分数加减算式．(1)图号和算式分别为________，__________________________．(2)图号和算式分别为________，__________________________．(3)从下面选择合适的图形编号填在等式内，在内“+”或“−”，使等式成立．（本题填的图形编号．“+”、“−”均不重复使用）（所有供选择的图形如下）【答案】(1)④，；(2)①，；(3)．【分析】（1）根据分数的意义可知，第一个三角形平均分成4份，阴影部分1份表示为，第二个三角形平均分成两份，阴影部分1份表示为，列式为，再根据分数的意义找出相符图号即可；（2）根据分数的意义可知，第一个三角形平均分成8份，阴影部分占7份，表示为，第二个三角形平均分成8份，阴影部分占3份，表示为，列式为，再根据分数的意义找出相符图号即可；（3）根据分数的意义可知，等号后面的三角形平均分成8份，阴影部分占3份，表示为，要找到三个分数，使其和差等于即可．【详解】（1）解：第一个三角形平均分成4份，阴影部分1份表示为，第二个三角形平均分成两份，阴影部分1份表示为，列式为，而图号④中的三角形平均分成4份，阴影部分占3份，表示为，符合题意，故答案为：④，；（2）解：第一个三角形平均分成8份，阴影部分占7份，表示为，第二个三角形平均分成8份，阴影部分占3份，表示为，列式为，而图号①中的三角形平均分成4份，阴影部分占2份，表示为，符合题意，故答案为：①，；（3）解：根据分数的意义可知，等号后面的三角形平均分成8份，阴影部分占3份，表示为，同理可得，①表示，②表示，③表示，④表示，⑤表示，⑥表示，⑦表示，⑧表示，∵，∴．【点睛】本题通过图形考查了学生对于分数意义的理解与应用，以及分数的加减运算，正确理解分数的意义是解题的关键．6．（2023·上海·六年级假期作业）每个假分数可以写成一个自然数与一个最简真分数的和（例如），真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（，），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，，，所生成的自然数组为请根据上述阅读材料填空；(1)由假分数生成的自然数组是{______}（请写出解题过程）(2)已知某个假分数所生成的自然数组为，那么这个假分数是______．（直接写出答案）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据生成的自然数组的定义即可求解；（2）根据生成的自然数组的定义逆推即可求解．【详解】（1）∵，，，，，∴假分数生成的自然数组是，（2）∵这个假分数所生成的自然数组为，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了假分数化为带分数，倒数的定义，掌握新定义运算是解题的关键．7．（2022秋·上海长宁·六年级上海市复旦初级中学校考期中）求的值，我们可以用下面的方法：∵∴原式这种方法称为拆项法，它的特点是拆项后能产生相反数，在计算过程中抵消，用这种方法计算下列两题．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据例题利用拆项法进行计算即可求解；（2）原式先去括号，然后加上，再利用拆项法进行计算即可求解．【详解】（1）；（2）．【点睛】本题考查了分数的加减混合运算，理解题意，根据拆项法计算是解题的关键．8．（2023·上海·六年级假期作业）阅读理解：；；(1)请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分子为1的分数的和的形式．______；______．(2)利用以上所得的规律进行计算；【答案】(1)，(2)【分析】（1）参照所给算式，将所求分数的分子写成两数之和的形式，分母写成同样两个数之积的形式，即可求解；（2）利用所给算式，将所求式子的每一项都拆分成两个分子为1的分数的和形式，再化简即可．【详解】（1）解：，，故答案为：，；（2）解：．【点睛】本题考查分数的拆分，掌握分数的基本性质，从所给材料中找出规律是解题的关键．9．（2021秋·上海嘉定·六年级统考期中）三千多年前埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为单位分数．对于分子不是1的分数，埃及人将它们转化成分子是1的分数再计算，如何将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个很有意义的问题．例如：

(1)请模仿上例将下列单位分数拆成2个不同的单位分数之和：(2)请观察

根据观察结果写出（n为大于1的正整数）(3)根据（2）中的结论，请计算：【答案】(1)；(2)，(3)【分析】（1）根据所给例子改写即可；（2）由所给例子可知，先把分子、分母乘以比分母大1的数再改写即可；（2）根据（2）中结论变形，裂项相消即可．【详解】（1），．故答案为：，；（2）．故答案为：，（3）∵，∴，∴．【点睛】本题考查了分数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．10．（2022秋·上海·六年级专题练习）阅读例题后，完成计算：例：．计算：．【答案】3【分析】分别把和化成假分数，然后再把除法化成乘法来计算求解．【详解】解：．【点睛】本题主要是理解例题中的计算方法，并且应用到实际计算中，这也是分数运算中的一种简便的运算方法．11．（2022秋·上海徐汇·六年级上海市第四中学校考阶段练习）思考探究(1)分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如：；仿照上例分别把分数和分拆成两个不同的单位分数之和①；②．(2)在上例中，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据以上分析，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数之和？（至少写出两种）【答案】(1)①；②(2)，（答案不唯一）【分析】（1）①仿照例子将拆成和，再约分即可；②仿照例子将改写成，再拆成和，再约分即可；（2）结合（1）和题干，即得出；再由，又可得出；（答案不唯一）（1）①；②．故答案为：，；（2）∵，，∴．∵，∴，即．【点睛】此题考查了分数性质的灵活应用，掌握同分母分数相加以及约分方法是解题关键．12．