专训12.1 全等三角形的性质-简单数学之2021-2022学年八年级上册考点专训（解析版）（人教版）

专训12.1全等三角形的性质一、单选题1．如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据全等三角形的性质进行计算即可．【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠2=∠1=180°-58°-72°=50°，故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．2．如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意易得，，然后问题可求解．【详解】解：∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．3．如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠A＝20°，∠B＝∠CEB=65°．则∠DFA的度数为（）A．65° B．70° C．85° D．110°【答案】B【分析】利用全等三角形的性质可得∠DCE=∠ACB，然后利用三角形内角和定理可得∠DCA的度数，利用三角形外角与内角的关系可得答案．【详解】证明：∵△ABC≌△DEC，∠CEB=∠B=65°，∴∠DCE=∠ACB，∠D=∠A=20°，在△BEC中，∠CEB+∠B+∠ECB=180°，∴∠ECB=180°-65°-65°=50°，∴∠DCA=∠ECB=50°，在△DFC中，∠DFA=∠DCA+∠D=50°+20°=70°．故选：B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．4．已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得，，，可得；，可得，由大角对大边可得；利用，可得，即，由上可得正确选项．【详解】解：≌，，，，，．，，．．，，即．．，．故选：B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．5．如图，，，，则的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】D【分析】根据全等三角形的性质得到∠A=∠D=65°，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠A=∠D=65°，∴∠C=180°-∠ABC-∠A=35°，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．6．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′DEB′BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（）A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．α+β＝150° D．β﹣α＝60°【答案】A【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，再利用三角形外角性质得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB＝∠C′MC，而根据三角形内角和定理，三角形外角性质和等角代换，进一步变形后即可得到答案．【详解】解：延长C′D交AC于M，如图，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，∵C′D∥B′E，∴∠AEB′＝∠C′MC，∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+∠B′＝180°﹣3α，∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B'＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α，即：2α+β＝180°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质和灵活运用平行线的性质是解题的关键．7．如图，△ABE≌△ACD，BC＝10，DE＝4，则DC的长是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】由全等三角形的性质可得BE＝CD，即可求解．【详解】解：∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∴BE+CD＝BC+DE＝14，∴2CD＝14，∴CD＝7，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是本题的关键．8．如图，△ABD≌△CDB，且AB，CD是对应边．下面四个结论中不正确的是（）A．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD B．△ABD和△CDB的周长相等C．△ABD和△CDB的面积相等 D．AD∥BC，且AD=BC【答案】A【分析】全等的两个三角形一定能够完全重合，故面积、周长相等．AD和BC是对应边，因此AD=BC．【详解】解：∵△ABD≌△CDB，AB，CD是对应边，∴∠ADB=∠CBD，AD=BC，△ABD和△CDB的面积相等，△ABD和△CDB的周长相等，∴AD∥BC，则选项B，C，D一定正确．由△ABD≌△CDB不一定能得到∠ABD=∠CBD，因而∠A+∠ABD=∠C+∠CBD不一定成立，故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质的应用，做题时要结合已知与图形上的条件进行思考．9．已知△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝30°，则∠E的度数是（）A．30° B．120° C．60° D．90°【答案】A【分析】由全等三角形对应角相等可得∠E=∠B，由此可得到正确答案.【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=∠B=30°∴∠E=∠B=30°故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记相应的概念是解题的关键．10．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（）A．30° B．35° C．45° D．60°【答案】A【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD=120°，然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数．【详解】解：如图，

∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，

∴六边形花环为正六边形，

∴∠ABD==120°，

而∠CBD=∠BAC=90°，

∴∠ABC=120°-90°=30°．

故选：A．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n-2）•180°（n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．11．如图，已知，平分，若，，则的度数是（）A．50° B．44° C．34° D．30°【答案】C【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD,再求出∠B,然后利用全等三角形的性质求∠E即可．【详解】解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝30°，∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，∴∠BCA＝116°，∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝34°，故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．12．下列命题中不正确的是（）A．全等三角形的对应高相等 B．全等三角形的面积相等C．全等三角形的周长相等 D．周长相等的两个三角形全等【答案】D【分析】根据全等三角形的定义，全等三角形的面积相等，周长相等，对应的高相等，据此判断即可．【详解】如图所示，∵△ABC≌△EFG，∴AC=EG，∠A=∠E，∵∠ADC=∠EHG=90°，∴△ADC≌△EHG，∴DC=HG，∴全等三角形的对应高相等，正确，∴选项A不符合题意；∵△ABC≌△EFG，∴AC=EG，AB=EF，BC=FG，∴AB+BC+CA=EF+FG+GH，∴全等三角形的周长相等，正确，∴选项C不符合题意；根据前面的证明，得AB=EF，DC=HG，∴，∴全等三角形的面积相等，正确，∴选项B不符合题意；如等腰三角形的腰长为5，底边为2，周长为12，等边三角形的边长为4，周长为12，但两个三角形不会全等，∴选项D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，从周长，面积，对应高的角度加深对全等三角形的理解，这是解题的关键．13．如图，两个三角形全等，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：∵两个三角形全等，且是b、c两边的夹角，∴=58°故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确识图、掌握全等三角形的性质是关键．14．如图，，若，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形内角和定理和全等三角形的性质计算即可．【详解】解：∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∵∠DAC=25°，∴∠EAC=∠EAD-∠DAC=45°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=70°+45°=115°，故选：D．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．15．如图所示，，，，的延长线交于点F，交于点G，，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ACB，∠D=∠B，再根据邻补角的定义求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°，∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-105°=75°，由三角形的内角和定理得，∠1+∠D=∠CAD+∠ACF，∴∠1+30°=15°+75°，解得∠1=60°，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．16．如图，，，，点在线段上，以速度从点出发向点运动，到点停止运动．点在射线上运动，且．若与全等，则点运动的时间为（）A． B． C．或或 D．或【答案】D【分析】分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：当时，，点的速度为，；当时，当，点的速度为，故选：．【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．17．如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为（）A．2 B．3 C．2或3 D．2或【答案】D【分析】根据题意，可以分两种情况讨论，第一种△CAP≌△PBQ，第二种△CAP≌△QBP，然后分别求出相应的a的值即可．【详解】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ，∵AC=6，AB=14，∴PB=6，AP=AB-AP=14-6=8，∴BQ=8，∴8÷a=8÷2，解得a=2；当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，．∵AC=6，AB=14，∴BQ=6，AP=BP=7，∴6÷a=7÷2，解得a=，由上可得a的值是2或，故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答．二、填空题18．如图，的边与直线重合，将沿着直线向右平移6个单位长度得到．若，则的长度是______．【答案】11【分析】根据三角形全等和平移的性质求解即可．【详解】解：∵沿着直线向右平移6个单位长度得到，∴，，又∵，∴，∴．故答案为：11．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，平移的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，平移的性质．19．如图，两个三角形全等，则∠α的度数是____【答案】50°【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠α=50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．20．如图，中，点D、点E分别在边、上，连结、，若，，且的周长比的周长大6．则的周长为______【答案】12【分析】设AC=4a，AB=6a，BC=8a，根据全等三角形的性质得到AD=BD，AE=BE，再设AE=BE=x，则EC=8a-x，由题意得方程18a-12a=6，即可求解．【详解】解：∵AC:AB:BC=2:3:4，∴设AC=4a，AB=6a，BC=8a，∵△ADE≌△BDE，∴AD=BD，AE=BE，再设AE=BE=x，则EC=8a-x，△ABC的周长=AC+AB+BC=4a+6a+8a=18a，△AEC的周长=AC+AE+EC=4a+x+8a-x=12a，由题意得：18a-12a=6，解得：a=1，∴△AEC的周长为12，故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．21．如图，与相交于点E，若，则等于___________．【答案】【分析】根据全等三角形的性质得到∠DBC=∠ACB=40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【详解】解：∵△ABC≌△DCB，∠ACB=40°，∴∠DBC=∠ACB=40°，∴∠BEC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-40°-40°=100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和的定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．22．已知，且的面积等于12，如果，那么边上的高是_______．【答案】6【分析】根据全等三角形的性质得到的面积等于12，结合BC可得BC边上的高．【详解】解：∵，的面积等于12，∴的面积等于12，∵BC=4，∴BC边上的高是=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形面积相等．23．如图，，，，则的度数为________．【答案】【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】解：，．，，．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．如图：，，，那么的长为__．【答案】3【分析】由全等的条件即可得EF=7，由CF=EF-EC即可求得结果．【详解】，，，，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，题目很简单．25．如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝_____．【答案】3【分析】先利用线段和差求EF＝BE﹣BF＝4，根据全等三角形的性质BC=EF，再结合线段和差求出FC可得答案．【详解】解：∵BE＝5，BF＝1，∴EF＝BE﹣BF＝4，∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，∴CF＝BC﹣BF＝4-1=3，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的性质，线段和差,解题的关键是根据全等三角形的性质得出BC=EF．26．如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是______°．【答案】60【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=30°，∵∠AMF是△MFC的一个外角，∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，故答案为：60．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．27．如图，△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′的值为_____．【答案】1：4【分析】根据题意可先求出∠ACB的度数，然后根据全等的性质分别求出∠BCA′，∠BCB′的值即可得出结论．【详解】解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∴∠ACB＝180°×＝100°，∵△A′B′C≌△ABC，∴∠A′CB′＝∠ACB＝100°，∴∠BCB′＝180°﹣∠ACB＝180°﹣100°＝80°，∠BCA′＝∠ACB﹣∠A′CB′＝100°﹣80°＝20°，∴∠BCA′：∠BCB′＝20°：80°＝1：4．故答案为：1：4．【点睛】本题考查全等三角形的性质，理解并熟练运用全等三角形的性质是解题关键．28．如图，，且，，，____．【答案】95【分析】由全等三角形的性质可得，进而可求出，然后利用三角形外交的性质求解即可．【详解】解：，，，，，，故答案为：95．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．29．如图，三角形中，，将三角形沿方向平移的长度得到三角形，且，，，则图中阴影部分的面积是______．【答案】26【分析】先根据平移的性质得到△ABC≌△DEF，BE=AD=4，BC=EF=8，则BG=5，再证明S阴影部分=S梯形BEFG.然后根据梯形的面积公式计算即可．【详解】解：∵三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，∴△ABC≌△DEF，BC=EF=8，AD=BE=4∴BG=BC-CG=8-3=5，∵S阴影部分+S△DBG=S△DBG+S梯形BEFG，∴S阴影部分=S梯形BEFG=（5+8）×4=26．故答案为：26．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．30．如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________．【答案】110°【分析】由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答可求∠BFC的度数．【详解】解：设∠C′=α，∠B′=β，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，∴∠CDB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．∵C′D∥EB′∥BC，∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．则α+β=75°．∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．故答案为：110°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．31．如图所示，ΔBKC≌ΔBKE≌ΔDKC，BE与KD交于点G，KE与CD交于点P，BE与CD交于点A，∠BKC=134°，∠E=22°，则∠KPD=__________．

【答案】114°【分析】在△BKC中，求得∠CBK=24°，利用三角形的外角性质得到∠KPD=∠EAP+22°，再利用三角形的外角性质∠EAP=∠ABC+∠ACB=48°+44°=92°，即可求解．【详解】∵ΔBKC≌ΔBKE≌ΔDKC，∴∠CBK=∠EBK=∠D，∠BCK=∠BEK=∠DCK=22°，

在△BKC中，∠BKC=134°，∠BCK=22°，∴∠CBK=180°-134°-22°=24°，则∠CBK=∠EBK=∠D=24°，∵∠KPD=∠EAP+∠E=∠EAP+22°，而∠EAP=∠ABC+∠ACB=48°+44°=92°，∴∠KPD=92°+22°=114°．故答案为：114°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质及全等三角形的性质等知识点；正确利用三角形的外角性质是解答本题的关键．三、解答题32．如图，已知，点、在线段上．（1）线段与的数量关系是：_________，判断该关系的数学根据是：（用文字表达）；（2）判断与之间的位置关系，并说明理由．【答案】（1）相等（或写），全等三角形的对应边相等；（2），见详解【分析】（1）根据全等三角形的性质即可解答（2）根据两个三角形全等得，然后根据等角的补角相等，得出，根据平行的判定条件：内错角相等，两直线平行即可证明【详解】（1）∵∴AD=BC根据全等三角形的对应边相等故答案为：相等（或写）全等三角形的对应边相等（2）猜想：．理由：∵，∴，∵∠ADB=180°－∠ADF∠CBD=180°－∠CBE∴，∴故答案为【点睛】本题考察全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，以及平行四边形的判定条件：内错角相等，两直线平行，熟练掌握性质和判定是解题的关键33．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．（1）当DE=9，BC=5时，线段AE的长为，（2）已知∠D=35°，∠C=60°，求∠AFD的度数．【答案】（1）；（2）130°．【分析】（1）由△ABC≌△DEB，可得从而可得答案；（2）由△ABC≌△DEB，∠C=60°，∠D=35°，可得再利用三角形的外角的性质求解从而可得答案．【详解】解：（1）△ABC≌△DEB，DE=9，BC=5，故答案为：（2）△ABC≌△DEB，∠C=60°，∠D=35°，∠D=35°，【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．34．如图，是直角坐标系轴上一点，动点从原点出发，沿轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以为直角顶点在第一象限内作等腰．设点的运动时间为秒．（1）若轴，求的值；（2）如图2，当时，坐标平面内有一点（不与重合）使得以、、为顶点的三角形和全等，请直接写出点的坐标．【答案】（1）1.5；（2）（8，−3），（3，7），（11，1）【分析】（1）由AB∥x轴，可找出四边形ABCO为长方形，再根据△APB为等腰三角形可得知∠OAP＝45°，从而得出△AOP为等腰直角三角形，由此得出结论；（2）分类讨论：①△ABP≌△MBP，②△ABP≌△MPB，③△ABP≌△MPB，分别求解，即可．【详解】解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如