中考数学几何模型重点突破讲练：专题25 圆中的相交弦模型（教师版）

专题25圆中的相交弦模型【理论基础】相交弦定理如图25-1，已知在⊙O中，弦与弦交于点，点在⊙O内。【证明】如图25-2，连接，，∽【模型变式】如图25-3，已知在⊙O中，为直径，为弦，与相交于点，点在⊙O内。【例1】如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=_________度；的值等于_________．【答案】36【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE=a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解析】解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴∠BEC=∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO=∠BCO，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∴∠CEB=2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠B=36°；∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，∴CE2=EO•BE，设EO=x，EC=OC=OB=a，∴a2=x（x+a），解得，x=a（负值舍去），∴OE=a，∴AE=OA-OE=a-a=a，∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴，∴．故答案为：36，．【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）．【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论，（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出和是等腰三角形，得出BM=MC=FG=CG，MH=HG，进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；（3）过O点作OP⊥AC，由垂径定理得出，再由和平行线分线段成比例定理求出，由勾股定理进而可求BH，再利用相似三角形对应边成比例求出HG，即可得BF长．【解析】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB=AC，∴，∵AE过圆心O，∴，，∴∠BAC=2∠BAE，∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAE，∴∠BAC=2∠ABD；（2）如解图（2），连接OA并延长AO交BC于E，AE交BF于M，连接MC，设，则∵AE=EC，AE⊥BC，∴BM=MC，∴∠MBC=∠MCB，∵BG⊥AC，AE⊥BC，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠HBC+∠ACE=90°，∴，∴，∵，∴，∴∠G=∠CMG，∴CG=CM=BM，∵AC⊥BG，∴MH=HG，∵OA=OC，∴∴，∵，即，∴，∴FG=CG，∴BM=MC=FG=CG，又∵MH=HG，∴BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，∴BF=2HG．（3）过O点作OP⊥AC，如解图（3）∵AO是∠BAC的角平分线，∴点O到AB、AC的距离相等，∴，∵AD=2，CD=3，∴AB=AC=5，∴，即：，∵OP⊥AC，∴，，∵，∴OP//BH，∴，∴，∴，，∵在中，，∵，，∴，∴即：，∴，∴，由（2）得BF=2HG，∴一、单选题1．如图，四边形ABCD内接于圆，已知AC＝BC，延长AD到F使得DF＝BD＝3，已知∠AEB＝90°，且AE：ED＝3：1，则BE的长为（）A．2.5 B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角相等推∠CAD＝∠CBD，结合图的条件证明△ACE∽△BDE，推出，再根据勾股定理求出，结合比例线段表示出，，再根据AC•BE＝9x，列方程解出x即可．【解析】解：∵，∴∠CAD＝∠CBD，∵∠AEB＝∠AEC＝90°，∴△ACE∽△BDE，∴，∵AE：ED＝3：1，∴设DE＝x，AE＝3x，在Rt△BED中，根据勾股定理得，，∴，，∴，AC•BE＝9x，∴，∵AC＝BC，∴，整理得：，解得x1＝3（舍去），x2＝，∴．故选：C．2．如图，已知的半径为3，弦，为上一动点（点与点、不重合），连接并延长交于点，交于点，为上一点，当时，则的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】如图（见解析），先利用解直角三角形可得，再根据圆周角定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，设，从而可得，最后利用二次函数的性质求解即可得．【解析】解：如图，延长交于点，连接，为的半径，，，，在中，，即，，由圆周角定理得：，在和中，，，，即，设，则，且，，由二次函数的性质可知，在内，当时，取最大值，最大值为4，即的最大值为4，则的最大值为，故选：C．3．如图，已知弦与弦交于点，且为的中点，延长交于点，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由两角相等证明△ABE∽△DCE，△PBD∽△PAC，再由相似三角形性质，得到对应边成比例，设EC=x，EB=y，列出方程组，解出x，y，然后求得．【解析】∵∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等）∠E=∠E∴△ABE∽△DCE同理△PBD∽△PAC∴∵P为AB中点∴PA=PB,∴CD=PC+PD=PC+AB=AP+BP=∴设EC=x，EB=y,则，则可得：解得：∴CE+BE=故选：C．二、填空题4．如图，△ABC内接于，AB为的直径，D为上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若，，，则CE的长为______．【答案】【分析】直接证明△BCE∽△DCB，得到，设DE=x，则CE=2x，列出方程即可解决．【解析】∵AB为的直径∴∠ACB=90°∵∠CDB=∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠BCE=∠DCB，∴△BCE∽△DCB，∴，∴，设DE=x，则CE=2x，CD=3x，∴（6）2=2x×3x，∵x＞0，∴x=，∴CE=，故答案为：．5．如图，⊙O的直径AB过的中点A，若∠C＝30°，AB、CD交于点E，连接AC、BD，则＝________________．【答案】【分析】根据已知条件得出∠DCA=∠DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解析】解：∵⊙O的直径AB过的中点A，∴＝，∴DE＝EC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BED＝∠CEA＝90°，∵∠C＝30°，∴∠DCA＝∠DBA＝30°，设DE＝EC＝x，∵∠C＝30°，∴AE＝x，∵∠DBA＝30°，∴BE＝x，∴＝＝；故答案为：．6．如图，、、、是上的四个点，，交于点，若，，则_______．【答案】【分析】根据圆周角定理可得根据可得，再利用三角形相似，即可得出答案．【解析】解：，，，，，．，即，．故答案为：．7．如图，已知四边形内接于，半径，对角线AC、BD交于E点，且，，则______．【答案】【分析】连接BO并延长交AD于点F，连接OD，然后根据三角形的相似可以求得CD的长，然后根据勾股定理可以求得AD的长．【解析】解：连接BO交AD于点F，连接OD，∵BA＝BD，OA＝OD，∴BF是线段AD的垂直平分线，∴BF⊥AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即AD⊥DC，∴BF∥CD，∴△BOE∽△DCE，∴，∵AO＝6，EC＝2，∴OB＝6，OC＝6，∴OE＝4，∴，解得，CD＝3，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝12，CD＝3，∴AD＝，故答案为：．8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为___．【答案】9【分析】由圆周角定理可知，又，则可得，从而可得出；由直径所对的圆周角为直角可得；由勾股定理求得的值；由，，可判定，由相似三角形的性质可得比例式，变形即可得出答案．【解析】解：，，，，是的直径，，在中，由勾股定理得：，，，，解得：．，，，，．故答案为：9．9．如图，点、在以为直径的上，且是的中点，与交于点.若，，则CE的长为_____．【答案】5【分析】延长BA、CD交于点G，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，得到△BCD≌△BGD，求得CG＝2CD＝，再证明△CDE∽△CAG，即可求解．【解析】解：延长BA、CD交于点G，∵D是弧AC的中点，∴，∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，又∵BC为直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，∴∠BDC=∠BDG=90°，∵BD=BD，∴△BCD≌△BGD，∴CD=GD，∴CG＝2CD＝4，在Rt△CDE和Rt△CAG中，由于∠ACD是公共角，∵∠CDE＝∠CAG＝90°，∴△CDE∽△CAG，∴，即，解得CE＝5或CE＝﹣8，经检验，都是方程的根据，其中CE＝﹣8不合题意，舍去，故CE的长为5．故答案为：5三、解答题10．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；【问题解决】（3）如图3，在⊙O中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，，则CD的长度．【答案】（1）10，6；（2）证明见解析；（3）6．【分析】（1）根据“十字弦”定义可得弦AB的“十字弦”CD为直径时最大，当CD过A点或B点时最小；（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA，由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得；（3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，设DH=x，由题意可得其它线段的长，在Rt△OEA中，根据勾股定理列方程得出x的值，从而可求CD的长．【解析】解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10，∴弦AB的“十字弦”CD的最大值为10；当CD过A点时，CD长最小，即AM的长度，过O点作ON⊥AM，垂足为N，作OG⊥AB，垂足为G，则四边形AGON为矩形，∴AN=OG，∵OG⊥AB，AB=8，∴AG=4，∵OA=5，∴由勾股定理得OG=3，∴AN=3，∵ON⊥AM，∴AM=6，即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6．（2）证明：如图，连接AD，∵AC=12，DH=7，CH=9，∴CD=CH+DH=16∴，∴∵∠C=∠C，∴△ACH∽△DCA，∴∠AHC=∠CAD∵CD是直径，∴∠CAD=90°，∴∠AHC=90°，∴AH⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”．（3）如图，过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD，则四边形OEHF是矩形，∴OE=FH，OF=EH，设DH=x，∵，AB=CD，则CH=5x，CD=AB=6x，∴FD=AE=3x，∴OE=FH=3x-x=2x，∵半径为，在Rt△OEA中，由勾股定理得，，∴，解得，x=1，∴CD=6×1=611．如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.(1)求证：AHAB=AC2；(2)若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AEAF=AC2；(3)若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断APAQ=AC2是否成立(不必证明).【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）成立.【分析】（1）连接CB，证明△CAH∽△BAC即可；（2）连接CF，证△AEC∽△ACF，根据射影定理即可证得；（3）由（1）（2）的结论可知，AP•AQ=AC2成立．【解析】(1)连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC.∴，即AHAB=AC2.(2)连结FB，易证△AHE∽△AFB，∴AEAF=AHAB，∴AEAF=AC2.(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)(3)结论APAQ=AC2成立.12．如图，是的直径，弦于点，为上一点，，连接分别交，于点，．(1)求证：；(2)若，且，求的长．【答案】(1)见详解；(2)10【分析】（1）连接AC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，根据垂径定理得＝，，所以∠D＝∠ACD，因为，所以，则∠DCF＝∠BAC，∠D＝∠ACD，即可推导出∠F＝∠AGF，得AF＝AG，而∠FAD＝∠BAD，根据等腰三角形的“三线合一”性质得FH＝GH；（2）连接BC，设BE＝m，先证明△AHF△CHD，则，求得CD＝×15＝20，所以CE＝DE＝CD＝10，再证明△BCE△GCE，得GE＝BE＝m，再证明△CEB△AEC，得，列出关于m的方程，求出m的值，即可求得GB的长．【解析】（1）证明：如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，，∴∠D＝∠ACD，∵，∴，∴∠DCF＝∠BAC，∴∠AGF＝∠ACF＋∠BAC＝∠ACF＋∠DCF＝∠ACD，∵∠F＝∠D，∴∠F＝∠AGF，∴AF＝AG，∵∠FAD＝∠BAD，∴FH＝GH．（2）解：如图，连接BC，设BE＝m，根据题意得AF＝15，，∴AG＝AF＝15，∵∠F＝∠D，∠AHF＝∠CHD，∴△AHF△CHD，∴，∵CD＝