中考数学几何模型重点突破讲练：专题13 A字型和反A字型相似模型（教师版）

专题13A字型和反A字型相似模型【模型1】A字型相似模型如图13-1，，要证∽，只要知道即可。【模型2】反A字型相似模型如图13-2，，要证∽，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道或。【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，故选：A．【例2】如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．【答案】【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，即可得出答案；【解析】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．因为．所以，所以．因为D为BC的中点，所以．因为，所以，所以．因为M为AD的中点，所以．所以，所以．解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．因为，所以，所以．因为D为BC的中点，所以．因为M为AD的中点，所以，所以．因为，所以，所以．解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．因为，所以，所以．因为M为AD的中点，所以，所以．因为，所以，所以．因为D为BC的中点，且，所以．解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．在中，因为M为AD的中点，，所以N为AH的中点，即．在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，所以．所以．【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE=2BE，点F在边CB上，CF=2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．（1）EF与AC的数量关系为__________．（2）与的面积比为___________．【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF与AC的数量关系为；（2）与的面积比为．【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得，设，再根据三角形的面积公式分别求出与的面积，由此即可得出答案．【解析】定理证明：点D、E分别是AB、AC的中点，，在和中，，，，，且；定理应用：（1），，在和中，，，，即；（2）如图，过点O作于点M，作于点N，四边形ABCD是矩形，，即，，点O是AC的中点，、是的两条中位线，，设，则，，，，，，，即与的面积比．一、单选题1．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解析】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ACD∽△ADE，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠B=∠DCE，∴△CDE∽△BCD，故共4对，故选：C．2．如图，已知若的面积为，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形的性质得出，代入求出即可．【解析】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，∴，∵△ABC的面积为9，∴，∴S△ADE＝1，故选：A．3．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A． B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】试题解析：由题意得：DE⊥AC，∴∠DEA=90°，∵∠C=∠DEA，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB,∴=,∵A′为CE的中点，∴CA′=EA′，∴CA′=EA′=AE，∴==，∴DE=1.故选D.二、填空题4．如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．【解析】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，∵DE//BC，IG//AB，FH//AC，∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，△FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC，∵，∴FP：IE：PH=1：2：3，∴AI：IE：EC=1：2：3，∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，S△ABC：S△FDP=36：1，∴S△ABC=36×3=108．故答案为:108．5．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为________．【答案】5【分析】由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△DAE：S△CAB=，然后把三角形面积代入计算即可．【解析】解：∵∠ADE=∠C，而∠DAE=∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴S△DAE：S△CAB=，∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，∴△ABC的面积=9+16=25，∴，∴AC=5．故答案为5．三、解答题6．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．【答案】（1），；（2）t＝3或【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【解析】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面积是△ABD面积的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，则有，即，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，则有，即，解得t＝，答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．7．在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围．【答案】【分析】作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，首先结合相似三角形的判定与性质推出和的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．【解析】解：如图所示，作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，整理得：，∵点D在AB上，，∴，，∴抛物线的开口向下，且当时，取得最大值为，当和时，均有，综上分析，的取值范围是．8．中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；（3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解析】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2tcm，∵AC=20cm，∴CP=（20-4t）cm，在Rt△CPQ中，，即；∴秒或秒（2）由题意得，，则，因此的面积为；（3）分两种情况：①当时，，即，解得；②当时，，即，解得．因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似．9．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．【解析】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．10．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）判断CD与⊙O的位置关系；（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．【答案】（1）CD与⊙O相切；（2）．【分析】（1）要判断CD与⊙O的位置关系，可连接OD，判断OD与CD能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF=OF-OE，所以要求EF，只需设法分别求出OF和OE的长度即可；由于AB是⊙O的直径，可以判断出OF与BD平行的位置关系，从而利用和，即可分别求出OF和OE的长度．【解析】（1）CD与⊙O相切．证明：连接OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADO+∠BDO=∠DAO+∠B=90°，∵OF⊥AD，OD=OA，∴∠AOD=2∠AOF，∠DAO=∠ODA．∵∠AOD=2∠B，∴∠ADC=∠B．∴∠ADC+∠ADO=90°．∴OD⊥CD．∴CD是⊙O的切线．∴CD与⊙O相切．（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OCD中，∵，∴，∴．∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∵OF⊥AD，∴OF∥BD．∴且．由，得，．∴．由，得，．∴．∴．11．如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论．【解析】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．12．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．（1）求证：AG与⊙O相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接OA，由OA=OB，GA=GE得出∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE；再由EF⊥BC，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA，最后得出∠GAO=90°求得答案；（2）BC为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF∽△BCA，求得EF、BF的长，进一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的长即可．【解析】（1）连接OA，∵OA=OB，GA=GE∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ABO+∠BEF=90°，又∵∠BEF=∠GEA，∴∠GAE=∠BEF，∴∠BAO+∠GAE=90°，即AG与⊙O相切．（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴∴EF=1.8，BF=2.4，∴OF=OB-BF=5.2．4=2.6，∴OE=．13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【解析】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由得，，∴，∴y＝＝＝；如图3，当3＜x＜4.5时，由得，∴CN＝，∴y＝＝；（3）如图4，∵，∴，∴CG＝CB＝2，∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，当BM＝BE＝5时，9﹣2x＝5，∴x＝2，如图5，当EM＝EB＝5时，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x=，如图6，当EM＝BM时，作MH⊥BE于H，在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝，∴BM＝，∴9﹣2x＝，∴x＝，综上所述：x＝2或或．14．如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：（1）当为___________时，？（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=，根据平行线分线段成比例定理可得，可得出BE=，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得，可得PE=6-，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=，可得出BH=，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t=，∴当t=时，PQ∥AB；故答案为：；（2）如图，过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，∵∠ADB=90°，∴BD2=AB2-AD2=100-64=